求向量组地秩与极大无关组(修改整理)

实用标准文案求向量组的秩与最大无关组一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法： 为阶梯形矩阵【定理】 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩 .(三秩相等)①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵 A；②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵 B；③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩．【例1】求下列向量组 a１=(1,2,3,4) ，a2=(2,3,4,5) ，a3=(3,4,5,6) 的秩.解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵 A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求 .因为阶梯形矩阵的列秩为 2，所以向量组的秩为 2．解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.精彩文档实用标准文案因为阶梯形矩阵的行秩为 2，所以向量组的秩为 2．、求向量组的最大线性无关组的方法方法1逐个选录法给定一个非零向量组 A： 1, 2,⋯, n①设 1 0，则 1线性相关，保留 1②加入 2，若 2与 1线性相关，去掉 2；若 2与 1线性无关，保留 1 ， 2；③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组T T T【例2】求向量组： 1 1,2, 1 , 2 2,3,1 , 3 4,1,1 ,的最大无关组解：因为a1非零，故保留 a1取a2，因为a1与a2线性无关，故保留 a1，a2取a3，易得a3=2a1+a2，故a1，a2，a3线性相关。所以最大无关组为a1，a2方法2 初等变换法【定理】 矩阵A经初等行变换化为 B，则B的列向量组与 A对应的列向量组有相同的线性相关性 .证明从略,下面通过例子验证结论成立 .向量组： 1=(1,2,3) T, 2=(-1,2,0) T, 3=(1,6,6) T精彩文档实用标准文案由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法：（1）列向量行变换①把向量组的向量作为矩阵的 列向量组成矩阵A；②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵 B；③A中的与B的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组．【例3】求向量组 ：1=(2,1,3,-1) T, 2=(3,-1,2,0) T, 3=(1,3,4,-2) T,4=(4,-3,1,1) T 的秩和一个最大无关组,并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。解 以 1, 2, 3, 4为列构造矩阵 A,并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩：23141-13-31-13-3A1,2,3113305-51001-12,424105-5100000310210-11-20000知r(A)=2, 故向量组的最大无关组含 2个向量而两个非零行的 非零首元分别在第 1,2列,故 1, 2为向量组的一个最大无关组精彩文档实用标准文案1-101事实上，1，2知r(1,2)=2,故1,2线性无关0000102-13,4用01-12为把1,2线性表示,把A变成行最简形矩阵A00B000000记矩阵B=(1, 2, 3, 4),因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性， 因此向量 1, 2, 3, 4与向量 1,2, 3, 4之间有相同的线性关系。210而310112,4122022100000因此 3=2 1- 2, 4=- 1+2 2【例4】求下列向量组的一个最大无关组，其中：1 1, 2,0,3 2 2, 5, 3,6 3 0,13,0 , 4 2, 1,4, 7 5 5, 8,1,2 .解：以给定向量为 列向量作成矩阵 A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵 B精彩文档实用标准文案再利用初等行变换，将 B再化成行最简形矩阵 C.初等矩阵 A,B,C用最大线性无关组表示其它向量的方法为：初等变换行作为①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A；求秩无关B中见②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；线性无关C做陪③把阶梯形 B进行初等行变换化为行最简形矩阵 C；④根据行最简形矩阵列向量的分量，用最大无关组表示其它向量．精彩文档实用标准文案【例5】求向量组 ，， ，的秩和一个最大无关组 .精彩文档实用标准文案解：精彩文档实用标准文案(1) 当 且时， ，故向量组的秩为 3，且 是一个最大无关组；精彩文档实用标准文案(2) 当 时，，故向量组的秩为 3，且是一个最大无关组；精彩文档实用标准文案(3) 当 时，若，则 ，此时向量组的秩为 2，且 是一个最大无关组 .若精彩文档实用标准文案，则 ，此时向量组的秩为 3，且 是一个最大无关组 .（2）行向量列变换同理,也可以用向量组中各向量为 行向量组成矩阵（即列向量的转置矩阵） ,通过做初等列变换来求向量组的最大无关组。精彩文档实用标准文案【例6】求向量组 ，， ，， 的一个最大无关组.精彩文档实用标准文案解：以给定向量为 行向量作成矩阵 A，用初等列变换将A化为行最简形:（行向量列变换 ）精彩文档实用标准文案由于 的第1，2，4个行向量构成的向量组线性无关，故是向量组的一个最大无关组 .方法3 线性相关法 （了解）若非零向量组 A： 1, 2,⋯, n线性无关，则A的最大无关组就是 1, 2,⋯, n若非零向量组 A线性相关，则 A中必有最大无关组二、对于抽象的向量组，求秩与最大无关组常利用一些有关的结论，如：1、若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示，则(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩、等价向量组有相同的秩精彩文档实用标准文案3、秩为 的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的最大无关组精彩文档实用标准文案【例7】设向量组 的秩为.又设精彩文档实用标准文案， ，求向量组 的秩.精彩文档实用标准文案解法1：由于，且 ，精彩文档实用标准文案所以，精彩文档实用标准文案故向量组 与等价，从而的秩为 .精彩文档实用标准文案解法2：将 看做列向量，则有，其中精彩文档实用标准文案可求得0，即可逆，从而可由 线性表示，精彩文档实用标准文案由已知 可由线性表示，故这两个向量组等价，即它们有相同的秩 .精彩文档实用标准文案【例7】设向量组(Ⅰ)： 和向量组(Ⅱ)：的秩分别为和 ，而向量精彩文档实用标准文案组(Ⅲ)： 的秩为 .证明：.精彩文档实用标准文案证