高中数学 正弦函数、余弦函数的性质16 新人教A必修4

人教A版高中数学必修4.正弦函数、

余弦函数的性质.y=sinx,x∈RxyO-11π2π-π-2π-3π3π4π-4πyy=cosx,x∈RxO-114π-4π.(1)周期性对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有

f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期..正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.y=sinx,x∈RxyO-11π2π-π-2π-3π3π4π-4π.yy=cosx,x∈RxO-114π-4π余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π..例2求下列函数的周期:解:(1)因为3cos(x+2π)=3cosx所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为2π(2)因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为4π例2求下列函数的周期:.π2π4π这些函数的周期与解析式中哪些量有关?与自变量的系数有关.求下列函数的周期练习.探究函数y=Asin(wx+j)及函数y=Acos(wx+j)的周期(其中A,w,j为常数,且A≠0,w>0)的周期仅与自变量的系数有关.如何利用自变量的系数表示上述函数的周期呢?令z=wx+j,z∈Ry=Asinz,z∈R及y=Asinz,z∈R的周期都是2π自变量x只要并且至少要增加到函数值才能重复出现.是使等式成立的最小正数函数y=Asin(wx+j),x∈R及函数y=Acos(wx+j)x∈R的周期.思考“如果函数y=f(x)的周期是T,那么函数y=f(ωx)的周期是”能否成立？令z=ωx有y=f(z)且周期为Ty=f(ωx)的周期是.(2)奇偶性正弦函数是奇函数y=sinx,x∈RxyO-11π2π-π-2π-3π3π4π-4πyy=cosx,x∈RxO-114π-4π关于原点对称关于y轴对称sin(-x)=-sinx余弦函数是偶函数cos(-x)=cosx.(3)单调性x···0······π···sinxyxO1-1-1↘0↘1↗0↗-1正弦的一个周期上.正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间上都是减函数,其值从1减小到-1.x-π······0······πsinx余弦的一个周期上[-π,π]yxO1-1-1↘0↘1↗0↗-1.余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间上都是减函数,其值从1减小到-1.(4)最大值与最小值正弦函数当且仅当x=_____________时取得最大值1,当且仅当x=_____________时取得最小值-1;余弦函数当且仅当x=_____________时取得最大值1,当且仅当x=_______________时取得最小值-1..例3下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.(1)y=cosx+1,x∈R;(2)y=-3sin2x,x∈R.解:(1)使函数y=cosx+1,x∈R取得最大值的x的集合,就是使函数y=cosx,x∈R取得最大值的x的集合{x|x=2kπ,k∈Z}取最小值时x的集合{x|x=(2k+1)π,k∈Z}.(2)令z=2x,使函数y=-3sinz,z∈R取得最大值的z的集合是由因此使函数y=-3sin2x,x∈R取得最大值的x的集合取得最小值的x的集合.例4利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小:分析:利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,可以用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小..解:(1)因为正弦函数y=sinx在区间上是增函数,所以.(2)因为且函数y=cosx,x∈[0,π]是减函数,所以.例5求函数的单调递增区间函数y