Zoeppritz方程推导过程

Zoeppritz方程的推导一．波函数设有一平面谐纵波入射到两种半无限弹性介质的分界面上。在这种情况下，波不仅会折回到入射介质中传播，而且会透射到另一种介质中传播；即同时存在反射波和透射射波。反射波和透射波中都包含纵波和横波两种成份。P波在介质分界面上的反射和透射情况如图所示：关于位函数我们首先看：沿任意方向传播的平面波。设是一个任意取定的单位方向矢量。（1）下面来看沿方向的平面波，或称三维平面波的波函数形式。三维平面波的波函数满足三维波动方程，即：（2）这里我们通过和一维平面波函数类比，可以得出三维平面波函数的形式。我们知道，在一维平面波的情况下，空间任意一点上的波函数值只取决于。于是沿正方向传播的平面波的波函数为。其中的实际上是从原点至点所在波面的垂直距离，即（一维平面波的传播方向的单位矢量为。在三维平面波情况下，这一距离应为。因此，将一维平面波函数中的以代替应该可以得到三维平面波的波函数）即：（3）同一维平面波一样，式中的为波沿方向的传播时间。代表一个沿的正方向传播的平面波。同理，代表一个沿的负方向传播的平面波，在一般情况下，沿任意方向传播的平面波的波函数可写成：（4）二．平面简谐波：平面简谐波是是波函数为简谐形式的平面波，也是数学上最容易处理的一种波。因此，在研究波的传播问题时经常使用简谐波假定。沿正方向传播的平面简谐波的波函数可写成：

（5）或（6）上面两式分别代表的是余弦形式和正弦形式的平面简谐波。我们最常使用的是指数形式的平面简谐波（7）通过取上式的实部或虚部即可得到余弦形式或正弦形式的平面简谐波的波函数。上面各波函数中的称为波的振幅，因为波函数值总是在和之间变化。下面讨论波函数中其他各量的意义及它们之间的关系。为此，首先“固定”时间变量以考查波剖面的情况。不难验证，（8）这表明，波剖面的值每隔距离重复一次。因此我们将这个量称为波长，记为，同时，把称为波数。可见波数就是距离内所含的波长个数。再“固定”空间变量以考查振动图的情况。容易看出，（9）这说明，振动图的值每隔时间重复一次。因此将这个量称作周期，记为，由此可见，周期即为波传播一个波长距离所用的时间。另外，其中和分别为频率和圆频率。利用上面得到的各量之间的关系，可将平面简谐波的波函数写成如下等价形式：

（10）沿任意方向传播的平面简谐波的波函数可写为（11）因此二维平面波的波函数可以写成：=（12）我们可以写出入射P波、反射波P波、反射SV波、透射P波和透射SV波的位函数：（13）（14）(15)(16)(17)上式中，，，（18）且有（19）由此可得反射和透射定律（斯奈尔定律）如下：（20）另外，由图可见：，，，，在介质I中，总的位函数为（21）（22）在介质中，总的位函数为（23）（24）三．边界条件我们知道，介质分界面处的边界条件为位移连续和应力连续。因此，可写出本问题的边界条件如下：在Z=0处（25）四．位移连续：地震波在传播过程中质点振动的位移可以分解为其标量位的梯度与与其矢量位的旋度之和的形式，有：（26）同时（27）设（28）将式（26）按梯度和旋度公式展开，得到的3个分量为：（29）研究空间传播的平面波时，一般情况下选择直角坐标系，可使得波前面与一个坐标轴（如轴）平行，此时方向余弦。这样，波前面在轴方向上无限延伸，波函数与坐标无关，于是有此时，式（29）中对的导数项变为0，则式（29）变为：（30）这说明位移分量可以分为两部分其中一部分时位于平面内的位移分量和，它们只与和有关，含有波和波成份；另一部分是垂直于平面的位移分量，它只与和有关。且只含有波成份。这一结果表明，可将波和波作为一组与波分开来处理。我们在讨论波和波时使用位函数和然后由（30）式过渡到位移。为简单起见，记。（31）和满足下面的波动方程：（32）五．应力连续：首先由虎克定律有：（33）（34）虎克定律阐述了应力和应变的关系。再看应变的定义式：（35）（36）应变的定义式阐述了应变和位移的关系。再由位移和位移位的关系式：（37）体应变的关系式：（38）（39）（40）由以上各式可得到：将（37）式代入上式得到：式中：，故而故所以而（波函数满足波动方程）故（41）=（42）六．反射系数和透射系数以下的工作是使波函数满足上面的边界条件，为此将（21）~（24）式代入（25）式，并整理。首先代（25）式的第一式有：由于故上式变为：将，，，，并且代入上式：（43）代入（25）式的二式有：由于故上式变为：，，，，，，，且故：(44)应力连续故代入(25)式第三式有：=+因为，，，，，，，，且，故上式变为：=(45)代入(25)式的四式：=由于，，，，，，，，，，且，故上式变为：（46）联立（43）（44）（45）（46）有（47）由斯奈尔定律可得：代入（47）式中的第三式，并将其方程组的各项同除，得（48）此方程组称为（Knott）方程，它反映了各波的位函数振幅之间的关系。其中的、、和分别为P波的反射系数，SV波的反射系数，P波的透射系数，SV波的透射系数。上述的反射