高中数学 3.1.1两角差的余弦公式3 新人教A必修4

小明在作业中遇到了一个问题，需要求cos15°的值，可惜忘记带计算机了，怎么办呢？小明不假思索就很快的写出了如下做法。

解：∵cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°

=

你认为他做对了吗？.

探究：如何用任意角α，β的正弦、余弦值来表示cos(α-β)呢？

你认为公式会是cos(α-β)=cosα-cosβ吗？..怎样联系单位圆上的三角函数线来探索公式？.思考1：如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P1,∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？MPP1Oxycos(α－β)=OM.思考2：如何用线段分别表示sinβ和cosβ？PP1OxyAsinβcosβ.思考3：cosαcosβ＝OAcosα，它表示哪条线段长？sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段长？PP1OxyAsinαsinβcosαcosβBC.思考4：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？sinαsinβcosαcosβPP1OxyABCMcos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.xyPP1MBOAC+11.上述推理能说明对任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ成立吗？.怎样联系向量的数量积去探索公式？.-111-1α-β

BAyxoβα∵

∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ思考：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A、B，则向量、的坐标分别是什么？其数量积是什么？..对于任意角α、β都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α－β))

此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α－β的余弦值之间的关系．称为差角的余弦公式．记作：C(α－β)．.分析：怎样把15°表示成两个特殊角的差？变式：求sin75°的值.例1：利用差角余弦公式求cos15°的值．解：cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°√3212√64√2+√22=

×+

×=√22.1．利用公式C(α-β)证明：(2)cos(2-α)=cosα．(1)cos(

-α)=sinα;2证明：(1)左边=coscosα+sinsinα22=0×cosα+1×sinα=sinα=右边(2)左边=cos2cosα+sin2

sinα=1×cosα+0×sinα=cosα=右边.

分析：由C(α-β)和本题的条件，要计算cos(α-β)，还应求什么？cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ已知已知应求应求

例2：已知sinα＝，α∈(，)，cosβ=-,β是第三象限角，求cos(α-β)的值．542135.例2：已知sinα＝，α∈(，)，cosβ=-,β是第三象限角，求cos(α-β)的值．542135

解：由sinα＝，α∈(，)，得542√cosα=-1-sin2α=-1-()2=-5453√又由cosβ=-

，β是第三象限的角，得135√sinβ=-1-cos2β=-1-()2=-√1351312所以cos(α-β)=cosβcosα+sinβsinα=(-)×(-)+×(-)=-54541351356533

思考：如果去掉这个条件，对结果和求解过程会有什么影响？.2．已知cosα=-

，α∈(，)，求cos(-α)的值．532444原式=coscosα+sinsinα√

sinα=

1-cos2α=

1-(-)2

=5354√解：由cosα=-

，α∈(，)，得53245√22=

×(-)+

×=√2253√210.3．已知sinθ=，θ是第二象限角，求cos(θ-)的值．1715333原式=cosθcos

+sinθsin

解：由sinθ=，θ是第二象限角，得1715√cosθ=-1-sin2θ=-

1-()2

=-√1715178√321234√3-8+15=-

×+

×

=1781715.原式=cosβcosα+sinβsinα4．已知sinα=-，α∈(

，

)，cosβ=，β∈(，2)，求cos(β-α)的值．32234323解：由sinα=-，α∈(

，

)，得3223√cosα=-1-sin2α=-

1-(-)2

=-32√√53由cosβ=，β∈(，2)，得4323√sinβ=-1-cos2β=-

1-()2

=-43√√7412=×(-

)+(-

)×(-)=√5343√7432√5√7-3+2.

思考题：已知α，β均为锐角，且α>β，cosα=，cos(α-β)=，求cosβ的值．53√3

1010＝cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)cosβ＝cos[α-(α-β)]．解：cosα=，sin(α-β)＝．√101054√10