B组第04章 刚体的转动

第四章刚体的转动24-1

刚体的定轴转动4-2

力矩转动定律转动惯量4-3

角动量角动量守恒定律本章目录4-4

力矩作功刚体定轴转动的动能定理物理学第五版3*4-7

万有引力的牛顿命题*4-6刚体进动*4-5

刚体的平面平行运动*4-8

经典力学的成就和局限性物理学第五版4

刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体．（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）刚体的运动形式：平动、转动．⑴刚体是理想模型⑵刚体模型是为简化问题引进的．说明：4-1

刚体的定轴转动5

刚体平动质点运动

平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同．

特点：各点运动状态一样，如：等都相同．6转动：分定轴转动和非定轴转动刚体的平面运动

7刚体的一般运动可看作：随质心的平动绕质心的转动+的合成8沿逆时针方向转动一刚体转动的角速度和角加速度角位移

角坐标沿顺时针方向转动<0q0>q角速度矢量

方向:右手螺旋方向P’(t+dt).OxP(t)r.9角加速度

刚体定轴转动(一维转动)的转动方向可以用角速度的正、负来表示.10(1)

每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；(2)

任一质点运动均相同，但不同；定轴转动的特点

(3)

运动描述仅需一个坐标．11二匀变速转动公式

刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动

当刚体绕定轴转动的α=常量时，刚体做匀变速转动．12三角量与线量的关系13

例1在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动后其转速随时间变化关系为：,式中．求：(1)t=6s

时电动机的转速．(2)起动后，电动机在t=6s

时间内转过的圈数．(3)角加速度随时间变化的规律．14(2)

电动机在6s内转过的圈数为解(1)

将t=6s

代入(3)

电动机转动的角加速度为15例2在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动．开始时，它的角速度，经300s

后，其转速达到18000r·min-1

．转子的角加速度与时间成正比．问在这段时间内，转子转过多少转？解令，即，积分得16当t=300s

时17由得在300s内转子转过的转数END18

1

一飞轮半径为0.2m、转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经30s

停止转动．试求：(1)角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；(2)制动开始后t=6s

时飞轮的角速度；(3)t

=6s

时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度．课堂练习：19P*O:力臂

对转轴Z

的力矩

一力矩用来描述力对刚体的转动作用．4-2

力矩转动定律转动惯量20O讨论

（1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量

其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩21O（2）合力矩等于各分力矩的矢量和

（3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消．22

例1

有一大型水坝高110m、长1000m，水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示.求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点Q且与x轴平行的力矩.QyOxyOhxL23

解设水深h，坝长L，在坝面上取面积元，作用在此面积元上的力yOhxyQyOxL24令大气压为，则代入数据，得yOhxyL25QyOyh

对通过点Q的轴的力矩代入数据，得：26补充例题一质量为m、长为L的均匀细棒，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒与桌面的摩擦因素为,求棒转动时受到的摩擦力矩的大小。xodxx27解xodxx28O二转动定律

（1）单个质点与转轴刚性连接29（2）刚体

质量元受外力，内力外力矩内力矩O30

刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.转动定律定义转动惯量O31讨论（2）（3）（1）

不变转动定律32三转动惯量J

的意义：转动惯性的量度.

转动惯量的单位：kg·m233

质量离散分布

J的计算方法

质量连续分布

：质量元34

对质量线分布的刚体：：质量线密度

对质量面分布的刚体：：质量面密度

对质量体分布的刚体：：质量体密度：质量元

质量连续分布刚体的转动惯量35O´O

解设棒的线密度为，取一距离转轴OO´

为处的质量元

例2一质量为、长为

的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.O´O如转轴过端点垂直于棒36ORO

例3一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O

并与盘面垂直的轴的转动惯量.

解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环而圆环质量所以圆环对轴的转动惯量37刚体的转动惯量与以下三个因素有关：（3）与转轴的位置有关．（1）与刚体的体密度

有关．（2）与刚体的几何形状及体密度

的分布有关．说明38四

平行轴定理

质量为

的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为

的转轴的转动惯量CO39质量为m，长为L的细棒绕其一端的JP圆盘对P

轴的转动惯量OO1d=L/2O1’O2O2’40竿子长些还是短些较安全？

飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？41(2)为瞬时关系(3)转动中与平动中地位相同(1)

,与方向相同说明

转动定律应用42

例4

质量为mA的物体A

静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为mB

的物体B上，B

竖直悬挂．滑轮与绳索间无滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？(2)

物体B

从静止落下距离y时，其速率是多少？43解

(1)

用隔离法物体分别对各物作受力分析，取坐标如图．ABCOO44OO45解得：46如令，可得

（2）

B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率47稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动．试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度．例5一长为l、质量为m匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动．由于此竖直放置的细杆处于非m,lOmgθ48

解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得式中得m,lOmgθ49由角加速度的定义代入初始条件积分得m,lOmgθEND501、一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮质量为m，绳下端挂一物体，物体所受重力为P,滑轮的角加速度为β1，若将物体去掉而以与P相等的力直接向下拉绳子，滑轮的角加速度β2

将(A)

不变(B)

变小(C)

变大(D)

无法判断Pβ1β2RR课堂练习：51

2、如图：一定滑轮两端分别悬挂质量都是m的物块A和B，图中R和r，已知滑轮的转动惯量为J，求A、B两物体的加速度及滑轮的角加速度．mmrRT1T2ABβ523

一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为0

，设它所受阻力矩为M=-k

(k为常数)，求圆盘的角速度从0变为0/2

所需的时间．解53

力的时间累积效应：冲量、动量、动量定理．

力矩的时间累积效应：冲量矩、角动量、角动量定理．4-3

角动量角动量守恒定律54一质点的角动量定理和角动量守恒定律质点运动描述刚体定轴转动描述551质点的角动量

质量为的质点以速度在空间运动，某时对

O

的位矢为，质点对O的角动量大小

的方向符合右手法则角动量单位：kg·m2·s-156

质点以作半径为

的圆运动，相对圆心

作用于质点的合力对参考点O

的力矩，等于质点对该点O

的角动量随时间的变化率.2

质点的角动量定理57质点角动量定理的推导58

质点的角动量定理：对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.

恒矢量

3

质点的角动量守恒定律冲量矩59

例1

一半径为R

的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为m

的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上的点A

(该点在通过环心O

的水平面上)，然后从A点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦略去不计．求小球滑到点B

时对环心O

的角动量和角速度．60

解小球受力、作用,的力矩为零，重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理61考虑到得由题设条件积分上式62

课堂练习人造地球卫星绕地球作椭圆运动，地球位于椭圆的一个焦点O上。如图，问卫星经过近地点P1和远地点P2时，哪一时刻的速度大？（要求定量回答）63二刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1刚体定轴转动的角动量O64对定轴转的刚体，2

刚体定轴转动的角动量定理质点mi受合力矩Mi(包括Mi

ex、Mi

in

)合外力矩65刚体非定轴转动的角动量定理3

刚体定轴转动的角动量守恒定律，则若=常量

对定轴转的刚体，受合外力矩M，从到内，角速度从

变为

，积分可得：66

角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.

内力矩不改变系统的角动量.

守恒条件若不变，不变；若变，也变，但不变.讨论

在冲击等问题中常量67

许多现象都可以用角动量守恒来说明.花样滑冰跳水运动员跳水

直升飞机的尾翼为什么要安装螺旋桨？68请看：猫刚掉下的时候，由于体重的缘故，四脚朝天，脊背朝地，这样下来肯定会摔死。请你注意，猫狠狠地甩了一下尾巴，结果，四脚转向地面，当它着地时，四脚伸直，通过下蹲，缓解了冲击。那么，甩尾巴而获得四脚转向的过程，就是角动量守恒过程。为什么猫从高处落下时总能四脚着地？69

例3

质量很小长度为l

的均匀细杆，可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动．当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率

垂直落在距点O为

l/4

处，并背离点O

向细杆的端点A

爬行．设小虫与细杆的质量均为m．问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?l/4O（不讲）70解虫与杆的碰撞前后，系统角动量守恒71由角动量定理考虑到72

例4一杂技演员M由距水平跷板高为h

处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一端的演员N弹了起来．问演员N可弹起多高?ll/2CABMNh73设跷板是匀质的，长度为l，质量为

，跷板可绕中部支撑点C

在竖直平面内转动，演员的质量均为m．假定演员M落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞．解碰撞前M落在

A点的速度碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度74M、N和跷板组成的系统，角动量守恒ll/2CABMNh75解得演员N以u起跳，达到的高度：END761

轻绳一端系着质量为m的质点，另一端穿过光滑水平桌面上的小孔O用力拉着，质点原来以等速率作半径为r的圆周运动，问当拉动绳子向正下方移动到半径为r/2时，质点的角速度多大？mrr/2O补充例题：77解m转动中，所受力矩M=0．得常矢量mrr/2O78

被中香炉惯性导航仪（陀螺）

角动量守恒定律在技术中的应用

79自然界中存在多种守恒定律

动量守恒定律—空间平移对称能量守恒定律—时间平移对称角动量守恒定律—空间转动对称电荷守恒定律—量子力学的相移对称质量守恒定律宇称守恒定律—空间反演对称801、陀螺若，则在重力矩作用下，陀螺将绕垂直于板面的轴转动，即倒地。(2)当时，重力矩将改变的方向，而不改变的大小(因)。最终效果：陀螺绕竖直轴旋转—

旋进旋进角速度三、旋进—角动量定理的应用举例（不讲）812.车轮的旋进（演示）讨论：

改变的方向，旋进方向是否改变？改变配重G，对旋进有什么影响？用外力矩加速（或阻碍）旋进，会发生什么现象？823.回转仪实验：如图所示的杠杆陀螺仪。当陀螺仪高速旋转时，移动平衡物B，杆不会倾斜，而是在水平面内绕O旋转。这种运动称为旋进运动，它是在外力矩作用下产生的回转效应。834、抛体的旋进c5、旋进现象在自然界广泛存在：地球的旋进；用电子在外磁场中的旋进解释物质的磁化的本质；…...84力的空间累积效应：

力的功、动能、动能定理．力矩的空间累积效应：

力矩的功、转动动能、动能定理．4-4

力矩作功刚体定轴转动的动能定理85力矩的功一力矩作功86二力矩的功率比较三转动动能87四刚体绕定轴转动的动能定理——刚体绕定轴转动的动能定理比较

88

例1

留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速率ω作匀速转动．放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动．设唱片的半径为R，质量为m，它与转盘间的摩擦系数为μ，求：(1)唱片与转盘间的摩擦力矩；(2)唱片达到角速度ω时需要多长时间；(3)在这段时间内，转盘的驱动力矩做了多少功？89Rrdrdlo

解(1)

如图取面积元ds=drdl，该面元所受的摩擦力为此力对点o的力矩为90

于是，在宽为dr的圆环上，唱片所受的摩擦力矩为Rrdrdlo91(3)

由

可得在0

到t的时间内，转过的角度为(2)

由转动定