V4第三章-非稳态热传导-2014

第三章非稳态热传导13-1

非稳态导热的基本概念★非稳态导热：温度场随时间变化的导热过程。

★非稳态导热的类型：（1）周期性非稳态导热：（2）非周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下发生的导热过程，如内燃机汽缸壁的导热、一年四季大地土壤的导热等。

在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，例如热处理工件的加热或冷却、太阳辐射加热建筑物墙体等。一、非稳态导热的基本概念非稳态导热周期性非稳态导热非周期性非稳态导热正规状况阶段非正规状况阶段2★非稳态导热过程的主要特性（以平壁为例）：（1）任何的非稳态导热均伴随加热或冷却的过程。（2）在一般的非稳态导热问题中，物体内部的温度不均匀。非稳态导热过程存在着有区别的两个不同阶段——非正规状况阶段（初始阶段）和正规状况阶段。

首先，物体紧挨高温表面部分温度很快上升，其它部分仍保持原来温度，如曲线HBD所示。

随着时间的推移，温度变化波及的范围不断扩大，经一定时间以后，右侧表面的温度也逐渐升高，图中曲线HCD、HE~HF、HG。存在右侧面不参与和参与换热过程的两个阶段。（3）在热量传递的过程中，由于本身温度变化要积聚或消耗热量。每一个与热流方向相垂直的截面上的热流量也是处处不等的。(不能用热阻分析法)3理论上，非稳态导热问题可以从导热微分方程式出发，结合特定的初始条件和边界条件，获得所需的解。二、非稳态导热过程的求解：非稳态导热研究的目的：确定瞬时的温度场分布；一段时间间隔内物体的导热热流量。初始条件边界条件导热微分方程定解条件某一导热问题的数学描述唯一解对于一维及多维问题，在特定的条件下可以从分离变量法出发，推导出工程应用的线算线——诺谟图。42023/2/45环境（边界条件）对系统温度分布的影响是很显著的,这里以一维非稳态导热过程（也就是大平板的加热或冷却过程）为例来加以说明。假设一块厚度为2δ的大平板，导热系数为λ,初始温度为t0，突然将其置于温度为

的流体中冷却，表面传热系数为h。则存在两个热阻，导热热阻和边界对流热阻1/h。这两个热阻的相对值会有三种不同情况，对应非稳态温度场在平板中也会有三种不同情况：三、第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响t∞ht∞hxt0平板冷却问题初始温度t0第三类边界条件52023/2/46（1）即对流换热热阻远小于平板内的导热热阻，可认为平壁表面温度一开始就和流体温度基本相同，第三类边界条件转化为第一类边界条件。此时传热热阻主要是导热热阻，因此平壁内部存在温度梯度，并随时间推移，平壁总体温度逐渐降低。6（2）即对流换热热阻远大于导热热阻，此时传热热阻主要是边界对流换热热阻，因而可认为同一时刻平壁内部温度是相同的，而平壁表面和流体间存在明显温差，这一温差随着时间推移和平壁总体温度降低而逐渐减小。7由于物体内部的温度几乎是均匀的，这也就说物体的温度场仅仅是时间的函数，而与空间坐标无关。我们称这样的非稳态导热系统为集总参数系统（一个等温系统或物体）。8即对流换热热阻与导热热阻是同一数量级，二者都不可忽略。因而一方面平壁表面与流体存在温差，同时平壁内部也存在温度梯度。（3）9由上可见，平壁的非稳态温度分布完全取决于导热热阻与对流热阻的比值，因此，定义导热热阻与换热热阻的比值为毕渥（Biot）数Bi。Bi为无量纲数。毕渥数Bi10当Bi数很小时，同一时刻平壁内部温度分布近似均匀，求解非稳态导热问题变得简单，温度分布只与时间有关，与空间位置无关，这就是集总参数法的基本思想。11毕渥数是导热分析中的一个重要的无量纲准则，它表征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换热热阻的对比关系。类似于Bi数这种表征某一类物理现象或物体特征的无量纲数称为特征数，也称为准则数。特征数中的几何尺度称为特征尺度。毕渥数中，δ为特征长度，但注意特征长度δ是平板厚度的一半！12集总参数法本质:忽略物体内部导热热阻的简化分析方法。Bi03-2零维非稳态导热－集总参数法毕渥数Bi0，导热热阻可忽略，温度分布仅与时间相关，而与空间坐标无关（空间简化成一点）。简化为零维问题。集总参数法集总参数法的导热微分方程：初始条件：零维问题（空间简化为一点后），内热源＝界面换热量。零维问题不含空间导数，无边界条件NOTICE:定义过余温度：13下角标V表示以l=V/A为特征长度分离变量初始条件令V/A=l无量纲特征数傅里叶数毕渥数,无量纲特征数14傅里叶数的物理意义：

Fo为两个时间之比，是非稳态导热过程的无量纲时间。毕渥数的物理意义：

Bi为物体内部的导热热阻与边界处的对流换热热阻之比。[s][m2][m2/s]讨论：（1）集总参数法中的毕渥数BiV与傅里叶数FoV以l=V/A为特征长度。无限大平板、圆柱及球体的V/A值厚度为的平板大平壁上下和前后端面的传热常可忽略,故传热面积就是2A15无限大平板无限长圆柱球半径为的圆柱半径为的球体（2）对于形状如平板、柱体或球的物体，只要满足BiV≤0.1M，就可以使用集总参数法计算，偏差小于5％。

与形状有关的无量纲量16令，c称为时间常数。当＝c时，物体的过余温度达到初始过余温度的36.8%

——时间常数反映物体对周围环境温度变化响应的快慢，时间常数越小，物体的温度变化越快。

热电偶的时间常数越小越好，因为越小，热电偶越能迅速地反映被测流体的温度变化。

（3）时间常数17（4）在0~

时间内物体和周围环境之间交换的热量

上式是对物体被冷却的情况而导出的，但同样适用于被加热的场合，只是为使换热量恒取正值而应将式中的改为例3-1例3-2影响时间常数大小的主要因素：物体的热容量cV和物体表面的对流换热条件hA。

18例3-1一支温度计的水银泡呈圆柱形，长20mm，内径为4mm，温度为将其插入储气罐中测量气体温度。设水银泡同气体间的表面传热系数水银泡外薄玻璃的作用可忽略不计，试计算此条件下温度计的时间常数，并确定插入5分钟后温度计读数的过余温度为初始过余温度的百分之几？水银物性参数为，解:首先检验是否可用集总参数法。考虑到水银泡柱体的上端面不直接受热，故可以采用集总参数法。圆柱：M=0.5，0.1M=0.0519时间常数为即经过5分钟后温度计读数的过余温度为初始过余温度的13.3%。也就是说，在这段时间内温度计的读数从上升到流体温度的86.7%。20例3-2合金钢滚珠的直径d=5mm，初始温度t0=450℃，密度7822kg/m3，比热容444J/(kgK)，导热系数为38W/(mK)。放入tf=30℃的油中冷却，表面传热系数h=120W/(m2K)。试求时间常数，冷却到100℃所需时间以及允许采用集总参数分析方法求解的最大滚珠直径。假设：(1)常物性，(2)表面传热系数恒定，(3)冷却介质保持恒温。解：分析：考虑到小体积金属材料的特点，具备采用集总参数分析方法的可能性。适用集总参数法时间常数球：M=1/321滚珠的温度降低到100℃所需要的时间为以误差5％(Bi=0.1M)为依据，采用集总参数方法求解的最大滚珠直径为讨论：(1)把滚珠与油之间的表面传热系数当作常数是一种近似处理。随着滚珠温度逐步降低，h的数值会变化。(2)如果在空气中冷却，应考虑辐射的影响。(3)集总参数分析方法认为物体内的温度始终均匀。若果真如此，物体内部的热量还传得出去吗？223-3一维非稳态导热的分析解t∞ht∞hxt0平板加热问题第三类边界条件一维非稳态导热微分方程及定解条件：边界条件初始条件一、简单几何形状及边界条件时的温度场分析解考察厚度2的无限大平壁的情况。设、a为已知常数；=0时温度为t0；突然把两侧介质温度降低为t并保持不变；已知壁表面与介质之间的表面传热系数为h。23t∞ht∞hxt0定义过余温度：分离变量法求解抛物线型偏微分方程24注意：，δ

为平板的半宽解的形式为无穷级数，难于计算，可以简化吗？解为：其中μn为方程的根，称为特征值。25可以仅取

n＝1，误差小于1％平板中心x＝01212当Fo>0.2，该比值与时间无关，表明该非稳态导热处于正规状况（充分发展）阶段26二、0～τ时间间隔的导热量Q的计算：Q0为初始时刻到平板与周围介质处于热平衡这一过程所传递的热量，这是非稳态导热过程中所能传递的最大热量。其中，τ

时刻的平均过余温度推导：27三、典型几何体一维非稳态导热的分析解的统一形式（正规状况阶段——在Fo>0.2

前提下）平板

圆柱和球注意：δ

为平板的半宽,第一类贝塞尔函数J查附录14平板：28四、典型几何体一维非稳态导热正规状况阶段的工程计算方法

在Fo>0.2前提下，另外两种实用计算方法：近似拟合法，诺模图（海斯勒图）法近似拟合法计算式中的μ1AB和J0

用拟合公式表示。a，b，c查表3-229

诺模图（海斯勒图）法θm为平板中心x＝0处的过余温度查图3-7或附录16、17查图3-8或附录16、17导热量的计算Q/Q0查图3-9或附录16、171平板任一点瞬态温度230图3-831图3-732显然，Q/Q0

亦是Fo和Bi的函数平板：导热量的计算：33图3-934如何利用线算图：（1）由时间求温度的步骤：计算Bi数、Fo数和x/δ

，从图3-7查找θm/θ0

，3-8中查找θ/θm

，计算出，最后求出温度t。（2）由温度求时间的步骤：计算Bi数、x/δ和θ/θ0,从图3-8中查找θ/θm，计算θm/θ0，然后从图3-7中查找Fo,再求出时间

。

（3）平板吸收（或放出）的热量：计算Q0和Bi数、Fo数，再从图3-9中查找Q/Q0，再计算出Q。35

一维非稳态导热问题分析解的适用范围：对于正规状况，需要满足Fo>0.2，此时级数可取首项n＝1；不满足则需要采用完整的级数表达式。要求导热物体的初始温度t0

分布均匀。适用于第一类和第三类边界条件。适用于物体的加热或冷却过程。求解一维非稳态导热问题的基本步骤：计算毕渥数Bi是否满足集总参数法的要求，满足即可直接采用集总参数法。如果不满足，则采用分析解（包括近似公式和海斯勒图）。再不行，采用数值解法。36例：一块厚100mm的钢板放入温度为1000℃的炉中加热。钢板一面加热，另一面可认为是绝热。初始温度t0=20℃，求受热面加热到500℃所需时间，及剖面上最大温差。(h=174W/(m2·K),=34.8W/(m·K),a=0.555×10-5m2/s)解：这一问题相当于厚200mm平板对称受热问题，此问题为已知温度求时间，必须先求m/0，再由图3-7查Fo。（不能使用集总参数法）37查图3-8，可得由m/0和Bi从图3-7查得Fo=1.2（Fo>0.2,可采用诺模图）求中心（绝热面）温度：

剖面最大温差：讨论：图3-7图线过密，不容易查出Fo时，可采用直接计算的方法或者用拟合公式确定Fo。382023/2/439第三章作业集总参数法：（注意验证集总参数法满足的条件。）3-10,3-13,3-15一维非稳态导热：3-21，3-24（因圆柱四周绝热，故可看做厚度为H的无限大平板的非稳态导热问题处理）

3-34，3-41393-4半无限大物体的非稳态导热非稳态导热周期性非稳态导热非周期性非稳态导热正规状况阶段非正规状况阶段半无限大物体的概念所谓半无限大物体，是指几何上从x=0的界面开始可以向正向以及上、下方向无限延伸，而在每个与x坐标垂直的界面上物体的温度都相等。在研究物体中非稳态导热的初始阶段时，有可能把实际物体当做半无限大物体来处理。例如，假设有一块几何上位有限厚度的平板，起初具有均匀的温度，然后其一侧表面突然受到热扰动，当扰动的影响还局限于表面附近而尚未深入到平板内部中去时，就可有条件地把该平板视为一个“半无限大物体”。40非稳态导热周期性非稳态导热非周期性非稳态导热正规状况阶段非正规状况阶段半无限大物体的概念仅适用于非稳态导热的初始阶段，即非正规状况阶段的研究。半无限大物体的概念具有均匀初始温度t0的半无限大平板，在τ＝0时刻，x＝0侧突然受到热扰动。求物体内部的温度随时间变化？41

第一类边界条件：表面温度突然变化到tw，并保持恒定。定义过余温度：误差函数（附录15）注意边界条件与厚度为2δ无限大平板分析解的区别42

第三类边界条件：与温度为t∞的流体进行热交换。第二类边界条件：受到恒定的热流密度加热。三种边界条件下半无限大物体的非稳态导热分析解均为误差函数形式。43（2）从时间上看，如果，则此时x处的温度可认为完全不变，即仍等于初始温度t0。（1）从几何位置上说，如果，则τ时刻x处的温度可以认为尚未发生变化。

误差函数特性：

称为惰性时间，半无限大的概念仅适用于惰性时间以内的非稳态导热初始阶段。44

半无限大物体：处于非稳态导热初始阶段，作半无限大物体处理处于非稳态导热正规状况阶段，适用n＝1情况下的分析解适用集总参数法求解45

物体中任意截面x的热流密度：

物体表面的热流密度（x＝0）：[0,τ]时刻内的通过面积A的总热量：吸热系数：表示物体向与其接触的高温物体吸热的能力。本节对于初始阶段非稳态导热的讨论主要应用于物体加热或冷却的速率研究。463-5简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解

多维非稳态导热数值解：数值方法分析解：一维分析解的组合简单几何外形物体的无量纲温度场可由其几何上的相贯体的一维分析解相乘获得。无量纲过余温度例如：二维非稳态导热的分析解===两个一维问题分析解的乘积：47

简单几何外形物体的无量纲温度场可由其几何上的相贯体的一维分析解相乘获得。无量纲过余温度二维方柱二维圆柱三维立方体48

二维控制方程及定解条件初始条件第三类边界条件条件绝热边界条件二维无限长方柱体非稳态导热：柱体初始温度t0，周围流体温度t∞，表面换热系数h。二维问题的证明——以二维无限长方柱体的非稳态导热为例49两个厚度分别为2δ1