2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)

2020年广东省深圳市高考数学一模试卷理科)一、选择题（本大题共12小题共60.0分）

已知集，，等于

C.若函数(是奇函数，则

B.D.

或或

函数

是函数

B.

函数[

是奇函数C.

函数⋅𝑥是函数

D.

函是函数

复数𝑖

的扼复数

B.

C.

D.

设

，

，

𝜋

，abc的小关系)

B.

C.

D.

直线绕点时针方向旋，向右平移1个位，所得的直线方程

B.

C.

D.

已知数为等比数列，，𝑛

B.

C.

D.

某几何体的三视图如图所在络线内个小正方形的边长，则该几何体的体积为B.C.D.

已知函

，若曲的条切线的斜率为，则切点的横坐等

ln2

B.

C.

D.

如果从，2，，4，中取个不的数，则这数的和能被整的概率为

B.

10

C.

D.

𝜋𝜋2𝜋则𝜋𝜋2𝜋则过物4

2

的焦点的线交抛物线于，B两，O是标原点，抛物线的准线与x轴交于点M，|，eq\o\ac(△,)𝐴𝑀面积为

33

B.

33

C.

33

D.

已函2sin的象过点，关于直2则下列结论正确的是)在[,]上减函数12

2𝜋3

对称，B.

若是(的称轴，则一定

≠0C.

的集是𝜋,2𝜋

𝜋3

D.

的一个对称中心是

𝜋3

,在棱中已平面ABC，eq\o\ac(△,)𝐴为三角形，点O为棱锥的外接球的球心，则点O棱DB距离为

4214

B.

7

C.

4

D.

2二、填空题（本大题共4小题，20.0分已等差数中，，数列的前n______．𝑛23𝑛𝑛登族为了解某百米与气之间的关系机统计了次高与相应的气温并制作了对照表表数据到性回归方程−2此估计高7百米处的气温为__________．气温

10山高(百米3438如，在边长为正三角形中，、E分为边BC、上的动点，且满足，2_______．

2𝑥2𝜋2𝑥2𝜋左点别((的曲线C：2

𝑦𝑏

22

𝑎>𝑏的支与圆

𝑦

2

交于点P，原点O到线的离为，则曲线的离心率为________2三、解答题（本大题共7小题，82.0分已函𝑥)2𝑥

的最小值为．求m的值；求数𝑥)最小正周期和对称中心；求数的单调递增区间．如，三棱中，

平面ABC，且．求；若

，为

的中点，求二面的余弦值．

1119.

已知椭圆的中心在原点，焦点在上，离心率，个顶点的坐标√．2求圆C方程；椭的焦点为F点为Al与圆C相交于两点且，问：是否存在实，得

eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)

成立，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．20.

《汉字听写大会不断创收视新高为了避免“书写危机”弘扬统文化市对全市名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分现从某社区居民中随机抽取50名民进行听写测试发被测试市民正确书写汉字的个数全部在到之间试果按如下方式分成六组[，

如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．试估该社区被测试的名民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这名民成绩在个上含个的数；在50市民中成绩在以含172个的中任意抽取2人该2人成绩排名从高到低在市前130名的人数记，的数学期望．参考数据：

，则，，21.

已知函

，中．求数的极值。证：对于任

，都有(

；判函的零点个数。

22.

已知在极坐标系中曲线的极坐标方程为．Ⅰ求线C与轴所在直线围成图形的面积；Ⅱ设线C与𝑖交、，求．23.

设函数(．求等的集；若数的最大值为，正实数，b满足，

的最小值．

--------答案与解析--------1.

答：解：本题考查集合的交集，由已知条件利用交集的定义能求解：集合，{或，．故选C．2.

答：解：本题主要考查函数奇偶性的判断，熟记函数奇偶性的定义是解决本题的关键．根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解：已知函是函数，A

，函数

是函数，故A错误，B

2[

，则函[是函数，故误，C

函

⋅𝑥

，则函⋅𝑥是函数，故C正，D.

，当时

，则函

不是奇函数，故D错，故选C．3.

答：A解：本题主要考查复数的运算和共轭复数的概念复数的运算法则化简复数得到其共轭复数属于基础题．解：复𝑖

8𝑖

−)，

.所以复数z的轭复数．故选．4.答：B解：：

，，0，𝜋即，，0．，故选：B．根据指数函数，幂函数和对数函数的性质分别判断取值范围即可．本题主要考查函数值的大小比较，利用函数的性质是解决本题的关键．5.

答：A解：本题主要考查互相垂直的直线关系，同时考查直线平移问题，先利用两直线垂直写出第一次方，再由平移写出第二次方程．解：直线绕点逆时针旋，两线互相垂直则该直线为，那么将

向平移个单位𝑥，即

故选．6.

答：解：

𝑛221743𝑛22174363462222173344666×23本题主要考查等比数列的性质及其灵活运用，同时也考查整体代入思想在数列问题中的运用，于基础题目．解：因为数

为等比数列，由等比中项的概念有,𝑎

，所以．故选C．7.

答：A解：本题考查由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键，属于基础题．由三视图可知，这样的几何体以正视图为底面的三棱锥，求出底面面积和高，代入棱锥体积公，可得答案解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，其正视图为底面，其底面面积

12

22，高，故体积故选．8.答：A

1133

，解：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查转化思想以及运算能力，属于基础题．求出导数，出切点，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标．解：

，导数为

，设切点𝑛)，则

，2解得，故选：A．

即为即为9.

答：A解：本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，是基础题．基本事件总数共10个利用列举法求出所取2个之和能被3除包含的基本事件有，由此能求出所取2个数之和能被3整除的概率．解：从，2，，4，数中任取2个数，基本事件总为：，，，，，，，，个所取个之能被整除包的基本事件有，分别为：，，，所2个之和能被除的概率故选：A．10.答：

10

．解：本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定，B的标是解题的关键．利用抛物线的定义，求出，B的标再计eq\o\ac(△,)𝐴的面积．解：抛物线

的准线l：．，点准线l的离为，

，𝐴，𝐴，𝐴不妨设，eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)

3，，直的程为，{

，解得,

，

，

eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)

，故选：11.答：D解：本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．由的象经过点出的图象关于直从而逐一检验各个选项是否正确．

𝜋

对称得可得函数的解析式，解：函数(

𝜋

的象经过，

，则𝜋，，，则2𝜋8𝜋2𝜋)，，则𝜋，，，则2𝜋8𝜋2𝜋)，2𝜋𝜋𝜋1，71

1𝜋26

，的象关于直线

2𝜋3

对称，⋅

2𝜋𝜋𝜋13622𝜋2令𝜋

𝜋𝜋3𝜋26

，，求得𝜋

2𝜋3

𝜋

8𝜋3

，，可得函数的减区间为𝜋

2𝜋3

,𝜋+，，A错；3，直线为的称轴，但3

，故B错；由1，得

𝜋1262可得2𝜋

𝜋𝜋𝜋6266

，，即𝜋𝜋，，3故1的集[𝜋,2𝜋

𝜋3

，，C错；令

𝜋3

，求得，的个对称中心(,，故D确．3故选．12.答：D解：：设等eq\o\ac(△,)𝐴的心为MNAB的点，E为的点，过M作平面的垂线，在线上取一点，得则为棱锥外接球的球心，．

，2222

3223

1，22，2

2，．22

12.18+13+10−1..12.18+13+10−1..18+13+10.24+34+38+642

．2故选：D根据球的对称性找到球心O的置计算球的半径，在等腰三角形OBD中算O到BD的距离．本题考查了棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．13.

答：

2解：本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，属于中档题．利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出．解：设等差数列

的差为，，，123213，得．则数列

的n项和

−1)2

2

2

．故答案为：．14.

答：解：本题考查回归方程的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．解：由题意，．4代入到线性回归方程−2可得，−2由2，得．故答案为：求出，入回归方程，求出a，代入可求得的44估计值．15.

答：

34解：

所以设所以设本题主要考查由向量数量积求出参数，熟记向量数量积的坐标运算，以及二次函数的性质即可属于常考题型．解：以中为坐标原点，OC方为轴方向，OA方为y轴方向，建立图所示平面直角坐标系，因为正三角形ABC边为，所以，，√，则，√，因为为上动点，其中则所以𝑡

，又

，所以

,，因此

,，所以

，𝑡

，故故答案为：4

𝑡

时，max16.答：解：

11111𝜋，解得𝜋,11111𝜋，解得𝜋,𝜋𝜋,𝑘𝜋]本题考查双曲线的几何性质．过于M可|得出．解：如图，

，|1

，再由双曲线的定义列出等式，即可过于M在

上，，

．又为中点，|，又，|1

，

，解得．故答案+117.答：：由知函

𝜋6

的最小值为1可得，求得函的最小正周期为，令

𝜋𝜋𝑘𝜋6

,，所以函数的对称中心

𝜋𝑘𝜋12

,由𝜋6

𝜋

，，得𝜋

𝜋

𝜋

𝜋6

，，所以的递增区间是𝜋

𝜋𝜋6

，．

解：题考查函𝑖图象与性质．根的最小值，后已知求出的即;利正弦函数的周期性和对称性求解即;利正弦函数的单调性求解即可．18.答：证三棱柱中，，平面.

平面ABC平面

，

.解过点

，

平ABC，平ABC，

又，以射线，，为x，y，的半建立空间直角坐系，由，，

0，，0，，，，由，2为

的中点，则1，，，设平面的向量为(，，

⋅则{⋅取，平面ABM的向，由知面的个法向量1，，设二面的平面角为，图为锐角，二角

的平面角的余弦值为

55

．

22𝑥𝑦22𝑥𝑦2．222，使得4422𝑥𝑦22𝑥𝑦2．222，使得44解：题考查了线面垂直的判定与面面垂直的判定，考查了利空间向量求二面角．根线面垂直的判定证明出𝐶平

，然后由面面垂直的判定定理求解即可；以A为原点建立空间直角坐标系出平面ABM一个法向量为m后由空间向量求解即可．19.答：：由意设椭圆的标准方程为𝑎𝑏22，

𝑐𝑎

，，

𝑐

，得𝑎．椭的方程为------------------分4设𝑥,𝑦)，𝑥,𝑦，𝑦=𝑥+𝑚由{224

得

𝑥𝑥+4(，6442，．𝑥𝑥

3+4

2

,𝑥⋅𝑥

3+42𝑦⋅𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥2

3+42

2

．，𝑥𝑦𝑦，𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥4，

3+42

2

3+42

𝑘3+42

4，

4

，

，且满．当时l：𝑦𝑥，线过定，已知矛盾；当时𝑙

𝑦𝑥

，线定点,．综上可知，直线l

过定点，定点坐标

,．，：eq\o\ac(△,𝐹)eq\o\ac(△,)

：：．

4

．存在

------------------分

2𝑥28211𝐶𝐶222222𝑥28211𝐶𝐶22222解椭圆的标准方程为2

𝑦𝑏

22

𝑎𝑏用离心

个顶点的坐标为√，2求出几何量，即可求椭圆的程；直方程代入椭圆方程，利𝑥2)𝑦𝑦22

，结合韦达定理，代入即可得出结论．本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学的计算能力，属于中档题．20.

答解社区名市民的平均成绩为62×4×40.02182，该区被测试的50名民的成绩略高于全市市民的平均成绩．市民中成绩在个以上含个的人数+×4．，2．全前130名成绩在180个以上含个，这50中成绩在个上含180个的2人随变的能取值为，12，

𝐶𝐶10

，

82𝐶10

，2)

𝐶𝐶10

，2．解：利组中值替本组数据计算平均值，和比得出结论；求出后3组的面积之和，再乘上总人数得出成绩在个含个的数；利正态分布得出全市前的成绩，得出社区居民中符合条件的人数，使用几何分布的概率公式得出分布列．本题考查了频率分布直方图，正态分布与超几何分布，属于中档题．21.

答：：的义域R，且𝑥)𝑥(𝑥

𝑥

，令𝑥)则

，𝑥，2x𝑥)

−2)

𝑥)

增函数

极大值

减函数

极小值

增函数

最大值最小值𝜋,sin最大值最小值𝜋,sin的大值为

42

，极小值为。由知在间上最大值为

42

，，，的小值为，对任，

，有𝑥

；𝑓𝑒

，函数

𝑒

，当时函

𝑒

恒立，函的零点个数为0当时函

，函数(的点个数为：当

42

时，函的零点个数为；2，当

42

时，函的点个数为：，当

42

时，函的零点个数为：1，解：题