流动传热与燃烧的数值计算3有限元

§1.2有限元法有限元法以数学上的变分法或加权余量法为基础，由变分法导出的变分表达式或由加权余量法导出的加权积分表达式是有限元法求解的出发点。§1.2.1加权余量法：：:§1.2.2伽辽金加权余量法：：：：从形式上看，强解积分表达式与弱解积分表达式完全相同，但二者对近似解的要求不同。强解积分表达式以（3）作为求解的出发点，对近似函数的连续性要求高一些。：：::

：xu1u2u*u1’u2’u*’0.250.22790.20940.20790.78130.76990.79330.500.39060.38490.38730.52080.55400.62430.750.48830.49640.51160.26040.33830.35421.000.52080.55400.557400.12230加权余量法的弱点：（1）基函数的选取没有一定的法则可以遵循（2）积分繁琐为解决上述困难，提出了“分块逼近”的思想，随着高速计算机的出现，使得伽辽金法和Ritz法发展成为广泛应用的、效率很高的有限元法。§1.2.3有限元法有限元法是以变分法或加权余量法为基础，结合分块逼近技术而形成的、系统化的数值计算方法。分块：将求解区域划分为若干个互相连接而又不重叠的、一定形状的有限个子区域，即单元。逼近：在单元中选择基函数（插值函数），构造单元近似解去代替求解函数。由于单元的几何形状是规则的，在单元内构造基函数可以给出一定的法则，单元积分也比较容易。

有限元法解题步骤：（1）区域划分（2）选取单元基函数（插值函数）（3）写出积分表达式（变分或加权余量法）（4）单元分析，建立单元有限元方程（5）总体合成（总装），建立总体有限元方程（6）处理边界条件（7）求解总体有限元方程，计算有关物理量为了说明有限元法的解题步骤及每一步的要点，下面以一个简单的常微分方程为例进行分析。

解：1.区域剖分（1）单元划分、确定结点数目和位置（2）编写单元号、总体结点号和单元结点号单元号：全区域的单元统一编号，e=1,2…E总体结点号：全区域的结点按一定顺序统一编号，n=1,2…N单元结点号：每一单元的结点按一定顺序统一编号，i=1,2…I单元分析时采用单元结点号，总体合成时采用总体结点号（3）列出单元结点号与总体结点号之间的对照表

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i12341123422345（4）给出结点坐标值（5）列出本质边界结点号与边界值总体结点号n12345坐标x00.25h0.5h0.75hh边界结点号n15边界值un002.选取单元基函数有限元法的基函数在单元中选取，可以遵循一定法则：3.写出积分表达式4.单元分析将单元近似函数表达式代入加权积分式（三种形式之一），在一个典型单元内积分，建立单元有限元方程。单元积分表达式：：

：：：5.总体合成将单元有限元方程逐个累加，合成为总体有限元方程。：：：：6.边界条件处理

（1）消行修正法：（2）消行重新编号修正法：7.求解总体有限元方程§1.2.4有限元法求解二维问题：：

：

：：：：

：以上两式表明，面积坐标与直角坐标之间是线性变换关系，可以将(x,y)平面上的任意三角形单元变换为(ζ1,ζ2)平面上的等腰直角三角形单元

A(x1,y1)

C(x3,y3)

B(x2,y2)xyA(1,0