2021.1海淀区高三上期末数学试题答案

2021京海淀高三（上）期末数

学2020.01本试卷共页。考试时常120分。考生务必将答答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共分）一、选择题共小题，每小，共。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1抛物线

y

的准线方程是（A

（B

1（）y（）4（2在复平面内，复数

i1

对应的点位于（A第一象限

（B第二象限（）第三象限（）第四象限（3在x

的系数为（A

（B

（C）

（）

（4已知直线

l:ay

，点A若l//，实数a的值为（A1

（B

（C）

（）（5某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（A（B（6已知向量a，b足，

（C）a

，则

（）12（A

（B

（C）1

（）21

1212（7已知，两个不同的平面“1212（A有无数直线平行于（）存在平面

”的一个充分条件是（）存在平面，

，

且∥（D存在直线l，l，

l（8已知函数f()（A

f()2(x是偶函数

4

)

则（）函数

f()

的最小正周期为π（）曲线

yf()

关于

4

对称（D

f(1)f(2)（9数列

的通项公式为

ann

2

n

，

N

，前n项为S，给出下列三个结论：①存在正整数

,()

，使得S

；②存在正整数

,()

，使得a2aa；③记，Ta

a)

则数列

项其中所有正确结论的序号是（A

（B③（C）③（）②（10如图所示，在圆锥内放入连个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中2粗线所示）分别⊙

这两个球都与平面相，切点别为F，，德林（G·）利用这个2模型证明了平面与锥侧面交线为椭圆，，F为椭圆的两个焦点，这两个球也称为双。若圆锥的母线与它的轴的夹角

，,⊙的径分别为1,4点M为上一个定点，点

为椭圆上的一个动点，则从点

沿圆锥表面到达的线长与线段的之和的最小值是2

PalPal（A

（B

（C）3

（）4第二部分（非选择题共110分）（11互联+时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上线下融合式教学模式变革某校高一、高二和高三学人数如图所.用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取样本中，高一学生有，则该样本中的高三学生人数为

（12设等比数列

{a}n

的前项为.若、、a成差列，则数列n1

{a}n

的公比为

（13已知双曲线

22

的左右焦点分别为

F1

，点

M(

，则双曲线的渐近线方程为；MFMF1

;（14已知函数

(x)

是定义域的函数，且x0时，f()ae

，则a

，

(x)

的值域是；（15已知圆

Px

2

y

2

，线l:，M2)，At)

给出下列4个论：①当，线与相；②若直线

l

圆

P

的一条对称轴，则

；3

lNPN2lNPN2MAN90③若直线上在点

A

，圆

P

上存在点，得

MAN90

，则的大值为；④为上一动点，若

，则的大值为.其中所有正确结论的序号是

.4

三、解答题共6小，共。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16（本小题共15分在三棱柱

ABC中侧面BCCB为形，平11

D分是棱AA，的点1（Ⅰ）求证：

面BCD1（Ⅱ）求证

平BC1(Ⅲ)若

ACBC1

求直线AB

与

面BCD11

所成角的正弦值.（17（本小题共14分若存在同满足条件①条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：（Ⅰ）求

的大小；（Ⅱ）求和的值.条件①：

3

；条件②：

c

；条件③：

b

；条件④：

cosA

5

2222（18（本小题共14分2222某公司在2013~2021年产经营某种产品的相关数据如下表所示：年份

2014

20162019

年生产台数（单位：万台）年返修台数（单位：台）

年利润（单位：百万元）

11.50

c注：

（Ⅰ）从中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元台的概率；（Ⅱ）公司规定：若年返修率不过千分之一，则该公司生产部门当年考核优现从2013~2020年中随机选出，记示这3年生产部门获得考核优秀的次.求分布列和数学期望；（Ⅲ）记公司在2013~2015年2016~2018年2019~2021年年生产台数的方差分别为

s,s21

若s3

max{2,21

}，其中max{s12

}示ss1

，这两个数中最大的.写出的最大值和最小值（只需写出结论）（注：

s

xx)1n

，其中

为数据

x,,

的平均数）（19（本小题共14分已知椭圆W:

离心率为，且经过点C（Ⅰ）求椭圆

的方程及其长轴长；（Ⅱ）A，分为椭圆左、右顶点，点在椭圆W上，且位于x下方，直线CD交x于点，△ACQ

的面积比

BDQ

的面积大3，求点D的6

7

（20（本小题共14分已知函数

f()

lnx

（Ⅰ）求函数

f)

的单调区间；（Ⅱ）设

g(f()

，求证：

gx)

；（Ⅲ）设

((x)

2

axa

2

若存在

0

使得

()，的最大值.0（21（本小题共14分设A是

n(n2)

个实数组成的n行列数表，满足：每个数的绝对值是且所有数的和是非负数，则称数表A是阶负数”（Ⅰ）判断如下数表A，A是是4非负数表；1（Ⅱ）对于任意阶负数表A，

)

为A第s行数之明存在,k

R(i)j)

；（Ⅲ）当kNkk个之和不小于

*

)

时，证明：对与任意阶负表A，均存在行k列使得这行列叉处的8

2021京海淀高三（上）期末数学参考答案一、选择题共小，每小题，共。题号答案

（1（）（）（4）（）（6（）（8（9）（）BADBACA二、填空题共5小，每小题5，共25分。题号

（11

（）

（13（14）（）答案

-

y0

1

①②④

（三、解答题共6小，共。（16（本小题共15分解：（Ⅰ）在三棱柱

C中AABB，BB11111

因为点D，E分是棱AA，的点，1所以

//B，ADB1

所以四边形

D1

是平行四边.所以

//DB1

又因为

平面BCD11

，

平面BCD1

，所以

//平BCD1

（Ⅱ）因为

平BB，CC平B111

，所以

1

，因为侧面

11

为矩形，所以

，又因为

BC

，

ACA

，

BC平ABC

，所以

平面A

9

（Ⅲ）分别以CA，CB，所在的直线为x轴y轴1

轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，题意得A(2,0,0)

，(0,2,0)

，

(0,2,2)1

，

C(0,0,2)1

，D

所以

，

C(0,2,0)11

，

CD1

设平面

D的向量为nx,z)11

，则B1D,

即

y0,x0.令，y，z2.于是所以

cosAB

|

.所以直线

AB

与平面

D11

所成角的正弦值为

（17（本小题1分）选择①②③解：（Ⅰ）因为

cC

，由正弦定理可得：

sin

c

sin

因为

，所以

所以所以（Ⅱ）在ABC中

c

，所以

所以

0

2

10

因为所以

3C，

C

1314

所以

cosB))A)sinAsin

3117所以

B2

3由正弦定理可得

，即7.因为，所以.选择①②④解：（Ⅰ）因为

3c,sinC,14由正弦定理得

A

C在

ABC,

bcosA

52所以所以

0

2

（Ⅱ）在

ABC,

c所以所以

0

2

11

2222因为

C

3

，所以

1314所以

cosB))A)sinAsin

3114所以

B2B

因为

bcosA

52所以

5b12

3由正弦定理得

a

753

14（18（本小题共14分解：（Ⅰ）由图表知2013~2020年，产品的平均利润小100元/的年份只有2015年，年.所以从2013~2020年随机抽取一年，该年生产的产品的平均利润不小于6元台的概率为

（Ⅱ）由图表知2013~2020年，返修率超过千分之一的年份只有2013年，所以的有可能取值为1,2,3．CC21C52C328C283（）（）=,P（ξ=3）所以的分布列为

12

，2W，其中的面积为×BDQ，2W，其中的面积为×BDQ3BDQ（Ⅲ）的大值为13最小值为（19（本小题共14分解：（）因为椭圆所以43ab

W

经过点

C因为椭圆的心率为，所以

c32

22所以

所以椭圆

W

的方程为

2

，长轴长

（Ⅱ）当直线

的斜率不存在时，由题意可知

D2,3

Q由（Ⅰ可知

所以

ξ

2

面积

，的为×2显然的积比的面积为大方法一

23

.当直线

CD

的斜率存在时，由题意可设直线

CD

的方程为

y(x2)

，且

13

yDycDDACQBDQAOC1OCQBDQ令，yDycDDACQBDQAOC1OCQBDQ

x

k

，所以

Q(2,0)k由

3xy2

，得

(

33y2)yk2kk2k2

依题意可得点D

的纵坐标

3kk3yk2k

因为点

在x

轴下方，所以，D

k

所以的积为

34)3(6),k

的面积为

11313BQ2y22k

D33kk32

)3(21k2

)因为的积比的面积大，所以

23(6))(k2k1

)3此方程无解综上所述，点D的标为方法二

因为点

在x

轴下方，所以在线段

AB

（不包括端点）.由（Ⅰ可知

A(

所以的积为

2

，所以点在段（包括端）上，且的面积等于时面积.所以的积等于的积.14

，22与0所以，22与0

OD/BC

设则

D(,n02

因为点D

在椭圆

上，所以.所以

n3所以点D的标为

(2,3)（20（本小题共14分解：（）因为

f(x)

lnx

，所以

fx)

x2

令

f'(x)

，得f)'()f'(x)f(x

在区间上情况如下：)+

极大

（-所以f(x)

的单调递增区间为)

，单调递减区间为(e

（Ⅱ）因为

f(x)

lnxlnx，所以(x)

所以

'(x)

1lnxx2

2

①当

x

时，

1

0,，以x)

；②当

x，1

0,0，以)

所以

g(x)

，15

所以x)(1)

（Ⅲ）因为

f(x)

lnxlnx，所以h)

①当

时，

2a

2(1)0

，即存在，使得

；②当

lnxln时，由（Ⅱ）可知，

所以x)x

2

axa

2(2a2)2

22(2a1)(6a所以对任意xh)0

，即不存在使(x)00

综上所述，a的最大值为（21（本小题14分

解：记(i,j)为表A中i行j列数，(i,j)为数表A所有数的和，(ij)为表A中kijij行列叉处各数之和．（Ⅰ）A是4阶负数；A不是“4阶非负数．2（Ⅱ）由题意知a(i,j)，j且表A是5阶负数表，所以(s)(s为奇数，且R(2)(3)(5)．不妨设(1)(3)(4)(5)．①当(3)时因为R(3)为奇数，所以R(3)．所以R(2)+RR(3)．②当(3)时因为R(3)为奇数，所以所以R所以(4)(5)．16

有因为R，，（Ⅲ）证明数表A中存在n