高中数学北师大版第一章数列等差数列 2023版第1章数列的函数特性

数列的函数特性1．了解递增数列、递减数列、常数列的概念．2．掌握判断数列增减性的方法．(重点)3．利用数列的增减性求最大项、最小项．(难点)[基础·初探]教材整理数列的单调性阅读教材P6～P7“例3”以上部分，完成下列问题．1．数列的函数特性数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列表法、图像法和解析法．2．数列的单调性名称定义判断方法递增数列从第2项起，每一项都大于它前面的一项an＋1＞an递减数列从第2项起，每一项都小于它前面的一项an＋1＜an常数列各项都相等an＋1＝an判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的图像与函数的图像相同．()(2)常数列不具有增减性．()(3)数列的通项公式就是数列的函数解析式．()(4)数列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5)是递减数列．()【解析】(1)因为数列的定义域是N＋(或它的子集{1,2,3，…，n})，所以其图像为无限个或有限个孤立的点．(2)常数列不满足an＋1＞an或an＋1＜an.(3)数列可以看成是定义域为N＋(或它的子集{1,2,3，…，n})的函数，数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应的解析式．(4)数列满足条件an＋1＜an.【答案】(1)×(2)√(3)√(4)√[小组合作型]数列的图像在数列{an}中，an＝n2－8n，(1)画出{an}的图像；(2)根据图像写出数列{an}的增减性．【精彩点拨】(1)画图像时利用列表、描点、连线三步去画．(2)根据图像的上升或下降判断增减性．【尝试解答】(1)列表n123456789…an－7－12－15－16－15－12－709…描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图像：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…图像如图所示．(2)数列{an}在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6……}上是递增的．画数列图像的方法数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即以(n，an)为坐标描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．[再练一题]1．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1，作出该数列的图像．【解】分别取n＝1,2,3，…，得到点(1,1)，(2,3)，(3,5)，…，描点作出图像．如图，它的图像是直线y＝2x－1上的一些等间隔的点．数列增减性的判断已知数列{an}的通项公式为an＝eq\r(n)－eq\r(n＋1)，求证：此数列为递增数列．【精彩点拨】根据数列单调性的定义，只需证明an＋1－an＞0.【尝试解答】an＋1－an＝(eq\r(n＋1)－eq\r(n＋2))－(eq\r(n)－eq\r(n＋1))＝2eq\r(n＋1)－(eq\r(n＋2)＋eq\r(n))，∵(2eq\r(n＋1))2－(eq\r(n＋2)＋eq\r(n))2＝4n＋4－(n＋2＋n＋2eq\r(nn＋2))＝2(n＋1)－2eq\r(nn＋2)＝2(eq\r(n＋12)－eq\r(nn＋2))＝2(eq\r(n2＋2n＋1)－eq\r(n2＋2n))＞0.即an＋1＞an，∴数列{an}是递增数列．判断数列增减性的方法(1)作差比较法：①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列；②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列；③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．(2)作商比较法：①若an＞0，则当eq\f(an＋1,an)＞1时，数列{an}是递增数列；当eq\f(an＋1,an)＜1时，数列{an}是递减数列；当eq\f(an＋1,an)＝1时，数列{an}是常数列．②若an＜0，则当eq\f(an＋1,an)＜1时，数列{an}是递增数列；当eq\f(an＋1,an)＞1时，数列{an}是递减数列；当eq\f(an＋1,an)＝1时，数列{an}是常数列．[再练一题]2．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(n2,n2＋1)，判断该数列的增减性.【导学号：47172023】【解】对于任意n∈N＋，由公式an＝eq\f(n2,n2＋1)，有an＋1－an＝eq\f(n＋12,n＋12＋1)－eq\f(n2,n2＋1)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋12＋1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n2＋1)))＝eq\f(1,n2＋1)－eq\f(1,n＋12＋1)＝eq\f(n＋12－n2,n2＋1[n＋12＋1])＝eq\f(2n＋1,n2＋1[n＋12＋1])＞0，即an＋1＞an(n∈N＋)．故数列{an}是递增数列．[探究共研型]数列增减性的应用探究1在数列{an}中，an＝eq\f(n－\r(79),n－\r(80))(n∈N＋)，{an}的前50项有何特点？是否存在最大项和最小项？【提示】因为an＝eq\f(n－\r(79),n－\r(80))＝1＋eq\f(\r(80)－\r(79),n－\r(80))(n∈N＋)，因为eq\r(80)＞eq\r(79)，8＜eq\r(80)＜9所以数列的前8项小于1且递减，从第9项开始大于1且递减，前50项中最小项为a8，最大项为a9.探究2数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？【提示】联系：若函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列f(n)也单调．反之不正确，例如f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,4)))2，数列f(n)单调递增，但函数f(x)在(1，＋∞)上不是单调递增．区别：二者定义不同．函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D⊇I，对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，若f(x1)＞f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)＜f(x2)，则f(x)在I上单调递增，定义中的x1，x2不能用有限个数值来代替．数列单调性的定义：只需比较相邻的an与an＋1的大小来确定单调性．在数列{an}中，an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n(n∈N＋)．(1)求证：数列{an}先递增，后递减；(2)求数列{an}的最大项．【精彩点拨】方法1：先考虑数列{an}的单调性，然后利用单调性求其最值．方法2：利用不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≤an,an≥an＋1))寻求最大值．【尝试解答】证明：∵an＋1－an＝(n＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n＋1－(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n·eq\f(9－n,11)，当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.故a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，所以数列中有最大项，最大项为第9,10项，即a9＝a10＝eq\f(1010,119).数列中最大项与最小项的求法数列中的最大项或最小项的探求可通过数列的增减性加以解决．若求最大项an，则an应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an＋1，,an≥an－1，))若求最小项an，则an应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an＋1，,an≤an－1，))另外一种方法就是将数列看作一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意“n∈N＋”这一条件．[再练一题]3．已知数列{an}的通项公式为an＝2n×，求数列{an}中的最大项．【解】设an是数列{an}中的最大项，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n×≥2n－1×－1，,2n×≥2n＋1×＋1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1≥n－1，,n≥n＋1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≤10，,n≥9，))即9≤n≤10，∴当n＝9或n＝10时，an最大，最大项a9＝a10＝2×10×＝20×.1．已知数列{an}满足an＋1－an－3＝0，则数列{an}是()A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．不能确定【解析】由条件得an＋1－an＝3＞0，可知an＋1＞an，所以数列{an}是递增数列．【答案】A2．已知数列{an}的通项公式为an＝5n－6，则an的最小值为()A．4 B．5C．1 D．－1【解析】∵an＋1－an＝5＞0，∴{an}是递增数列．∴an的最小值为a1＝－1.【答案】D3．数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是()\f(121,4) B．30C．31 D．32【解析】an＝－n2＋11n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(11,2)))2＋eq\f(121,4)，∵n∈N＋，∴当n＝5或6时，an取最大值30，故选B.【答案】B4．若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为________．(填写序号)①an＝－2n＋1；②an＝－n2＋3n＋1；③an＝eq\f(1,2n)；④an＝(－1)n.