测量误差的基本知识

5.1概述5.2衡量精度的指标5.3误差传播定律5.4算术平均值及其中误差估读数会有误差

§5-1概述一、测量误差的来源测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精度观测。

具体来说，测量误差主要来自以下三个方面：(1)外界条件主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。(2)仪器条件仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。(3)观测者的自身条件由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。

二、测量误差的分类测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。

在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。

系统误差产生的主要原因之一：仪器设备制造不完善。系统误差具有明显的规律性和累积性。

在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均不一定，则这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。

偶然误差，就其个别值而言，在观测前不能预知其出现的大小和符号。

偶然误差只能通过改善观测条件对其加以控制。

真误差：观测值与真值之差，即：

Δ=［l］-XL：观测值，X：真值，Δ：真误差(偶然误差)

偶然误差具有四个特征：①“有界性”：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；它说明偶然误差的绝对值有个限值，若超过这个限值，说明观测条件不正常或有粗差存在；

②“密集性”：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(或概率大)；即越是靠近0，误差分布越密集；③“对称性”：绝对值相等的正、负误差出现的机会相等；即在各个区间内，正负误差个数相等或极为接近；④“抵偿性”：在相同条件下，同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增大而趋于零;即在大量的偶然误差中，正负误差有相互抵消的特征。因此，当n无限增大时，偶然误差的算术平均值应趋于零。返回习题§5-2衡量精度的指标

测量成果中都不可避免地含有误差，在测量工作中，使用“精度”来判断观测成果质量好坏的。所谓精度，就是指误差分布的密集或离散程度。误差分布密集，误差就小，精度就高；反之，误差分布离散，误差就大，精度就低。测量上衡量精度的标准采用：

中误差、相对误差、极限误差一、中误差及其计算

1、中误差（m）

在相同的观测条件下，对同一未知量进行n次观测，所得各个真误差平方的平均值，再取其平方根用表示，即：m称为观测值中误差或一次观测值中误差式中［ΔΔ］为真误差Δ的平方和，n为观测次数

中误差并不等于每个观测值的真误差，它仅是一组真误差的代表值，代表了这一组测量中任一个观测值的精度。

2、用真误差计算中误差

3、用改正数计算中误差

改正数：最或是值与观测值之差，用v表示，即：

v=x-l

式中：v为观测值的改正数；l为观测值；

x为观测值的最或是值

设对某个量进行n次观测，则它的最或是值为

改正数求中误差的白塞尔公式：上式求得的为一次观测值的中误差。二、相对误差

相对误差能更客观地反映实际测量精度。

相对误差：中误差的绝对值与相应观测值之比，用K表示。

相对误差习惯于用分子为1的分数形式表示，分母愈大，表示相对误差愈小，精度也就愈高。

注意：此处的相对误差与按往返测较差所求得的相对误差是不相同的。

极限误差：简称限差，根据偶然误差的第一个特性，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。

理论研究和实验表明，大于两倍中误差的偶然误差的个数，约占总数的5%左右，大于三倍中误差的偶然误差的个数，只占总数的0.3%。测量上常取三倍中误差作为极限误差Δ限，也称允许误差，即：Δ限=3m§5-3误差传播定律

在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这些未知量即为观测值的函数。例如，在水准测量中，两点间的高差h=a-b，则h是直接观测值a和b的函数；在三角高程测量的计算公式中，如果觇标高v等于仪器高i，则h=ltanδ，这时，高差h就是观测值l和δ的函数，等等。

阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。一、线性函数1、倍数函数

Z=Kx

式中x为直接观测值，其中误差为mx；Ｋ为常数；Z为观测值x的函数。若对x作n次同精度观测，其真误差列为Δxi(i=1,2,…n)，对应的函数的误差列为Δzi(i=1,2…n)则观测值与函数间的真误差关系式为

Δzi=KΔxi(i=1,2,…n)中误差：mＺ2＝Ｋ2mx2或mＺ＝Ｋmx

上式表明：对于倍数函数，函数的中误差等于观测值中误差的K倍。2、和、差函数

Z=x±y

推导出下列真误差关系式:Δzi=Δxi±Δyi(i=1,2,…n)

求上述关系式的平方和并除以n,得

当n→∝上式右端第三项趋于0，则按中误差定义可知

推广之对n个独立观测值代数和的情形

mＺ2＝mx12＋

mx22+…+mxn2

3、一般线性函数

Z=K１x１±K2x２±…±Knxn

式中，K１、K２…Kn为常数；x１、x２…xn为独立观测值，其相应的中误差分别为m１、m２…

mn。

一般线性函数中误差的公式为：

mＺ2＝（Ｋ１m１）２＋（Ｋ２m２）２＋…＋（Ｋnmn）２二、非线性函数

Z=f(x１，x２…xn）

式中，x１，x２…xn为独立观测值，其相应的中误差分别为m１、m２…mn。

真误差关系式可用全微分近似表示有：

中误差：§5-4算术平均值及其中误差

观测值的真误差为：Δ１＝l１－Ｘ,Δ２＝l２－Ｘ,…………,Δn＝ln－Ｘ，

将等式两边取和并除以观测次数n,得：[Δ]/n＝[l]/n-X

式中:［l］/n称为算术平均值，习惯上以x表示；

观测次数n无限增大时，据偶然误差的特性四，知［Δ］/n趋于零。

于是有：x=X

上式表明：当观测次数无限增多时，各个观测值的算术平均值趋近于未知量的真值。当n为有限值时，通常取算术平均值为最可靠值(最或是值)，并以它作为测量的最后成果。

算术平均值的一般表达式为:

x=（l１＋l２＋…＋ln）/n＝[l]/n

实际工作中采用观测值的改正数vi来计算中误差。

各观测值的改正数：

vi＝x－li(i=1,2,……,n)

将上式两边求和，有:

［v］=nx-［l］

因x=[l]/n，所以

［v］=0

此式可作为改正数计算正确性的检查。

计算观测值的中误差：

算术平均值的中误差为M，则按线性函数中误差传播定律公式，得：

上式表明，算术平均值的中误差与观测次数的平方根成反比；或者说，算术平均值的精度比各观测值的精度提高了倍。复习思考题：1偶然误差与系统误差有什么区别?偶然误差有哪些特性?根据下列的误差内容，试判断其属于何种误差?

误差的内容误差的性质1.钢尺尺长不准，对量得距离的影响2.量距时，尺子不在一条直线上，对量得距离的影响3.水准仪水准管轴不平行于视准轴的误差4.读数时的误差5.瞄准误差6.竖盘指标差7.竖盘指标差的变化误差系统误差系统误差系统误差偶然误差偶然误差偶然误差系统误差2何谓中误差、相对误差和极限误差(限差)?3对某线段丈量了5次，观测结果为：49.535m、49.547m、49.527m、49.537m、49.529m。试计算其算术平均值和算术平均值的中误差。4用DJ6级经纬仪观测某个水平角4个测回(四次)，其观测值分别为：68°32′18″、68°31′54″、68°31′42″、68°32′06″，试求观测一测回的中误差、算术平均值及其中误差。答：平均值X平=49.535m，v1=0,v2=-12,v3=8,v4=-2,v5=6M=0.0035(m)参考答案：15″，

68°32′00″，7.5″

5

设有一n边形，每个角的观测值中误差为m=±9″，试求该n边形内角和的中误差。6在一个三角形中，观测了A、B两角，中误差

mＡ＝mＢ＝±15″，用两个观测角值计算另外一个角，即C=180°-(A+B),试求C角的中误差mＣ是多少?n边形内角和,Σ=β1+β2+…+βn,参考答案:mＣ=±15=21″7如图所示，测得a=110.11m±0.02m，∠A=64°24′±１′，∠Ｂ＝35°10′±0.5′，试计算边长c及其中误差。8已知四边形各内角的测量中误差为±15″，若限差取中误差的2倍，求该四边形闭合差的限差。aABcC=a*sin(B)/sin(A),需要线性化,求全微分得:dc=(sin(B)/sin(A))da+(a*cos(B)/sin(A))dB/ρ-a*sin(B)*cot(A)/sin(A)dA/ρ=0.639da+0.029dB+0.010dA

mc=±0.032m参考答案:±60″某矿大型贯通示意图地面GPS控制网矿井联系测量井下控制测量K（贯通相与点）10km300m风井主井4.例题及讨论例3-4对某△ABC，等精度独立观测了两个内角A、B，其值分别为：∠A=64°21′06″±4″，∠B=70°35′40″±4″，求∠C及其中误差。ABC解∠C=180-∠A-∠B=45°03′14″由于∠C=180-∠A-∠B，依照中误差转播定律，有得mc=±5.7″所以，∠C=45°03′14″±5.7″

太简单了！

10例3-5对该△ABC，等精度独立观测了三个内角A、B，其值分别为：∠A=64°21′06″±4″，∠B=70°35′40″±4″，∠C=45°03′02″±4″；求分配闭合差后∠C及其中误差。ABC解：首先计算闭合差：fβ=∠A+∠B+∠C-180°=–12″∠C=∠C–(1/3)×fβ=45°