第一章复数与复变函数(1.3-1.4)-精简

§1.3平面点集的一般概念一、平面点集二、区域三、平面曲线1dz0一、平面点集1.邻域设为复平面上的一点，定义dz0(1)称点集为点的邻域；(2)称点集为点的去心邻域。P15

2内点一、平面点集2.内点、外点与边界点(1)内点外点边界点考虑某平面点集

G

以及某一点，(2)有外点(1)(2)有边界点(1)不一定属于

G

；在中，(2)既有又有边界G

的边界点的全体称为

G

的边界。P15

3内点外点边界点边界点(1)不一定属于

G

；在中，(2)既有又有边界G

的边界点的全体称为

G

的边界。一、平面点集3.孤立点(1)(2)有（反之不一定）的边界点.的孤立点一定是P15

4否则称为无界集。则

G

称为有界集，5.有界集与无界集4.开集与闭集开集如果

G

的每个点都是它的内点，则称

G

为开集。一、平面点集闭集如果

G

的边界点全部都属于

G

，则称

G

为闭集。定义若存在一个以原点为中心的圆盘包含

G

，P15

P15

5二、区域1.区域与闭区域区域平面点集

D

称为一个区域，如果它满足下列两个条件:(1)D是一个开集；(2)D是连通的，不连通的一条折线连接起来。即

D

中任何两点都可以用完全属于

D闭区域区域

D

与它的边界一起构成闭区域或闭域,记作

D。连通注闭区域并非区域（只有全平面被认为既是区域又是闭区域）P16

6区域1-

2

+

i闭区域(角形)区域例(1)(2)(3)P16例1.127二、区域3.单连通域与多连通域定义设

D

为区域，若

D

内任一条"简单闭曲线"的内部仍属于

D，则

D

称为单连通域。

多连通域又可具体分为二连域、三连域、…

…。否则称为多连通域。P18

简单闭曲线：没有重合点或交叉点的连续封闭曲线8三、平面曲线1.方程式在直角平面上在复平面上

如何相互转换？(1)(2)注：必要时还可借助几何特征9i-

i(1)1-

1(2)例(1)(2)10三、平面曲线2.参数式在直角平面上在复平面上例如考察以原点为圆心、以

R

为半径的圆周的方程.(2)在复平面上(1)在直角平面上(记住此结果）11三、平面曲线2.参数式在直角平面上在复平面上(2)在复平面上(1)在直角平面上例如考察和的直线段连接îíì====)()(yyxx(记住此结果）12三、平面曲线3.有向曲线定义带有方向的曲线，称为有向曲线，记为

C。若指定

C

的两个可能方向中的一个作为正向，代表与

C

的方向相反(即

C

的负方向)的曲线。则注：只有正向确定了，才有意义。13逆时针区域三、平面曲线4.有向曲线

简单闭曲线的正向一般约定为：

区域边界曲线的正向一般约定为：当边界上的点

P

顺此方向沿边界前进时,所给定的区域始终位于

P

点的左边。注意区域可以是多连域。曲线重要14§1.4无穷大与无穷远点一、无穷大二、无穷远点15(2)(3)

法则(1)无意义。无意义。

实部虚部是多少?问题

模与辐角是多少?

在复平面上对应到哪一点？一、无穷大定义一个特殊的复数称为无穷大，满足16二、无穷远点1.无穷远点的概念定义在“复平面”上一个与复数对应的“理想”点，称为无穷远点。

事实上，在通常的复平面上并不存在这样的点，因此只能说它是一个“理想”点。

那么，这个“理想”点到底在哪里呢？下面就来看看黎曼(Riemnann)给出的解释。17这样的球面称作复球面。

球面上的

N

点本身则对应到了“复平面”上的无穷远点。其中，N为北极，S为南极。对复平面上的任一点用球面上除

N

点外的所有点和复平面上的所有点一一对应，直线将

点与

N

点相连，与球面相交于点。p二、无穷远点2.复球面如图，某球面与复平面相切，注复数不能写成或者18二、无穷远点3.扩充复平面(2)不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面，或者简称为复平面。(1)包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面；定义4.无穷远点的邻域设实数

M

>

0，定义(1