材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)

第七章弯曲应力CL8TU1纯弯曲：横力弯曲：§7-1纯弯曲时梁横截面上的正应力一.纯弯曲：在横截面上，只有法向内力元素σdA才能合成弯矩M，只有切向内力元素τdA才能合成剪力FSCL8TU2变形几何关系物理关系静力学关系三个方面:一.几何变形(1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长(2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为弧线的aa，bb正交；(3)部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸长。jastin4.swf1.平面假设：梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。2.单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。

梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层.中性层中性轴中性层中性层与横截面的交线称为中性轴一.几何方程二.物理关系一点的正应力与它到中性层的距离成正比。dx三.静力学方程横截面对Z轴的静矩设中性轴为zyzM截面的惯性积（y为对称轴）截面对z轴的惯性矩中性层的曲率公式2.横截面上的最大正应力当中性轴是横截面的对称轴时：1.正应力Wz

称为抗弯截面模量1）沿y轴线性分布，同一坐标y处，正应力相等。中性轴上正应力为零。2）中性轴将截面分为受拉、受压两个区域。3）最大正应力发生在距中性轴最远处。3.简单截面的抗弯模量(1)矩形：y(2)圆：(3)圆环yxDdZy0D§7-2横力弯曲时的正应力及正应力强度条件一.横力弯曲时的正应力二.梁弯曲正应力强度条件上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。理论证明在L/h大于5时该式的精度能满足工程要求。利用上式可以进行三方面的强度计算：①已知外力、截面尺寸、许用应力，校核梁的强度；②已知外力、截面形状、许用应力，设计截面尺寸;③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷三.算例[例7-1]：两矩形截面梁，尺寸和材料均相同，但放置分别如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比P1／P2＝？解：

[例7-2]主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？解：主梁AB:MABPaCD副梁CD:由得M[例7-3]受均布载荷的外伸梁材料许用应力

校核该梁的强度。解：由弯矩图可见该梁满足强度条件，安全[例7-4]图示铸铁梁，许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此梁的强度。C截面B截面2.54＜＜＜＜注：强度校核（选截面、荷载）（1）（等截面）只须校核Mmax处（2）（等截面）(a)对称截面情况只须校核Mmax处使(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核M+max与

M-max两处。例4-14图示简支梁由56a号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力smax

和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力sa

。B5

m10

mAFCFA

FB

12.521166560za375kN.m

M解：1、作弯矩图如上，2、查型钢表得56号工字钢3、求正应力为

12.521166560za或根据正应力沿梁高的线性分布关系的

12.521166560za例4-16图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。钢的许用弯曲正应力[s]=152MPa

。试选择工字钢的号码。ABFFF=75kN2.5m2.5m2.5m2.5m10mFBFA

解：1、支反力为作弯矩图如上。281375单位：kN·m2、根据强度条件确定截面尺寸此时查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值误差小于5%，可用例4-17跨长l=2m的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力[st

]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁横截面的尺寸d，并校核梁的强度。解：根据截面最为合理的要求1m2mBAF=80kNCy1y2z60220yO280d即得截面对中性轴的惯性矩为y1y2z60220yO280d梁上的最大弯矩于是最大压应力为即梁满足强度要求。y1y2z60220yO280dOsc,maxst,maxz例4-18图示槽形截面铸铁梁，已知：b=2m，截面对中性轴的惯性矩Iz=5493104mm4，铸铁的许用拉应力[st

]=30MPa，许用压应力[sc]=90MPa。试求梁的许可荷载[F]

。

解：1、梁的支反力为zyC形心86134204018012020BFCbq=F/bDbbAFBFA

据此作出梁的弯矩图如下发生在截面C发生在截面BzyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4BFCbq=F/bDbbA2、计算最大拉、压正应力可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条件则B、C截面都要考虑。zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4C截面B截面压应力拉应力拉应力压应力考虑截面B

：zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4考虑截面C：因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制zyC形心86134204018012020Fb/2Fb/4解：[例7-5]图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为［σt］和［σc］，则y1和y2

的最佳比值为多少？（Ｃ为截面形心）

CL8TU9M-PL[例7-6]简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一应变片，测得其应变ε=6×10-4，材料的弹性模量E=200GPa，求载荷P的大小。解：C点的应力由C截面的弯矩得支座反力

[例7-7]图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为10mm，E