土木工程测量-第五章测量误差的基本知识

第五章测量误差土木工程测量教学课件的基本知识通过前几章的学习，我们掌握了角度、距离和高差的测量方法，对测量过程和结果含有误差也有了一定的感性认识。本章集中讲述有关测量误差的基本知识，包括衡量精度的标准、误差传播定律和直接观测平差。5测量误差的基本知识对未知量进行测量的过程，称为观测。测量所获得的数值称为观测值。进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实质上表现为观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异，这种差异称为测量误差或观测误差。§5.1

观测误差概述5.1.1观测及观测误差观测观测值用Li代表观测值，X代表真值，则有

Δi=Li-X (5-1)式中Δi就是观测误差，通常称为真误差，简称误差。真误差一般情况下，只要是观测值必然含有误差。5测量误差的基本知识观测误差来源于三个方面：①仪器、工具的精密程度；②观测者视觉鉴别能力和技术水平；③观测时外界条件的好坏。三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件将影响观测成果的精度。观测条件相同的各次观测称为等精度观测；观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。§5.1

观测误差概述5.1.2观测误差的来源观测条件一般认为，在测量中人们总希望测量误差越小越好，甚至趋近于零。在实际生产中，据不同的测量目的，允许含有一定程度的误差根据性质不同，观测误差可分为粗差、系统误差和偶然误差三种，即

Δ=Δ1+Δ2+Δ3(5-2)§5.1

观测误差概述5.1.3观测误差的分类及其处理方法⑴粗差——是一种大级量的观测误差，例如超限的观测值中往往含有粗差。粗差也包括测量过程中各种失误引起的误差。产生的原因：疏忽大意、失职；仪器自身或受外界干扰发生故障等。含有粗差的观测值都不能使用。在观测中应尽量避免出现粗差，发现粗差的有效方法是，进行必要的重复观测，通过多余观测条件，采用必要而又严密的检核、验算等。Δ=Δ1+Δ2+Δ3(5-2)⑵系统误差——在一定的观测条件下进行一系列观测时，符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。§5.1

观测误差概述5.1.3观测误差的分类及其处理方法在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方法有：①在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系统误差的影响。如角度测量中盘左、盘右观测，水准测量中限制前后视视距差等。②找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的改正。如对距离观测值进行尺长改正、温度改正和倾斜改正，对竖直角进行指标差改正等。③将系统误差限制在允许范围内。有的系统误差既不便计算改正，又不能采用一定的观测方法加以消除，例如，经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水平角的影响，对于这类系统误差，则只能按规定的要求对仪器进行精确检校，并在观测中仔细整平将其影响减小到允许范围内。⑶偶然误差——在一定的观测条件下，对某量进行一系列观测时，符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。§5.1

观测误差概述5.1.3观测误差的分类及其处理方法产生偶然误差的原因往往是不固定的和难以控制的，如观测者的估读误差、照准误差等。不断变化着的温度、风力等外界环境也会产生偶然误差。粗差可以发现并被剔除，系统误差能够加以改正，而偶然误差是不可避免的，并且是消除不了的。它在消除了粗差和系统误差的观测值中占主导地位从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且误差个数越多，规律性越明显。例如某一测区在相同观测条件下观测了358个三角形的全部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于真值180°(表5-1)§5.1

观测误差概述5.1.3观测误差的分类及其处理方法§5.1

观测误差概述5.1.3观测误差的分类及其处理方法从表5-1中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：小误差比大误差出现的频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率相近，最大误差不超过16″。统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性：特性1

在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值不超过一定的限值。(范围)特性2

绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小。(绝对值大小)特性3

绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。(符号)特性4

当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为0，即(抵偿性) (5-3)本章此处及以后“[]”表示取括号中下标变量的代数和，即∑Δi=[Δ](5-3)§5.1

观测误差概述5.1.3观测误差的分类及其处理方法用图示法可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表5-1的数据，以误差大小为横坐标，以频率k/n与区间dΔ的比值为纵坐标，如图5-1所示。这种图称为频率直方图。§5.1

观测误差概述5.1.3观测误差的分类及其处理方法可以设想，当误差个数n→∞，同时又无限缩小误差区间dΔ，图5-1中各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线，如图5-2所示。该曲线称为误差分布曲线。其函数式为：(5-4)即正态分布曲线上任一点的纵坐标y均为横坐标Δ的函数。标准差大小反映观测精度的高低，定义为：(5-5)上式可知，σ的大小决定于一定条件下偶然误差出现的绝对值的大小。§5.1

观测误差概述5.1.3观测误差的分类及其处理方法在图5-1中各矩形的面积是频率k/n。由概率统计可知，频率k/n就是真误差出现在区间dΔ上的概率p(Δ)(图5-2)，记为：(5-6)式(5-4)和式(5-6)中f(Δ)是误差分布的概率的概率密度函数，简称密度函数。§5.2

衡量观测值精度的标准在相同观测条件下，对某一量所进行的一组观测，对应着同一种误差分布，因此，这一组中的每一个观测值，都具有同样的精度。为了衡量观测值的精度高低，显然可以用前一节方法，绘出频率直方图或误差分布表加以分析来衡量。但这样做实际应用十分不便，又缺乏一个简单的关于精度的数值概念。这个数值应该能反映误差分布的密集或离散程度，即应反映其离散度的大小，作为衡量精度的指标。下面介绍几种常用的衡量精度的指标。§5.2

衡量观测值精度的标准5.2.1中误差由式(5-5)定义的标准差是衡量精度的一种标准，但那是理论上的表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中定义中误差m作为衡量精度的一种标准：(5-7)在式(5-4)中，当Δ=0时，以中误差m代替标准差σ（图5－3）(5-4)§5.2

衡量观测值精度的标准5.2.1中误差因此在一组观测值中，当小误差比较集中时，m1较小，则曲线形状较陡峭，如图5-3中f1(Δ)，表示该组观测精度较高；f2(Δ)的曲线形状较平缓，其误差分布比较离散，m2较大，表明该组观测精度低。如果令f(Δ)的二阶导数等于0，可求得曲线拐点的横坐标：Δ=±σ≈±m也就是说，中误差的几何意义即为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标。Δ=±σ≈±m(5-8)§5.2

衡量观测值精度的标准5.2.2相对误差中误差和真误差都是绝对误差。在衡量观测值精度时，单纯用绝对误差有时不能完全表达精度的优劣。例如，分别测量了长度为100m和200m的两段距离，中误差皆为±0.02m。显然不能认为两段距离测量精度相同。为了客观地反映实际精度，必须引入相对误差的概念。相对误差K是误差m的绝对值与观测值D的比值：(5-9)上式中当m为中误差时，K称为相对中误差。在距离测量中还常用往返观测值的相对较差来进行检核。相对较差定义为：(5-10)相对较差是相对真误差，它反映往返测量的符合程度。§5.2

衡量观测值精度的标准5.2.3极限误差和容许误差⑴极限误差由偶然误差的特性1可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是极限误差。标准差或中误差是衡量观测精度的指标，它不能代表个别观测值真误差的大小，但从统计意义来讲，它们却存在着一定的联系。根据式(5-4)和式(5-6)有：表示真误差落在(-σ，+σ)内的概率等于0.683。同理可得：(5-11)(5-12)(5-13)§5.2

衡量观测值精度的标准5.2.3极限误差和容许误差⑴极限误差上列三式结果的概率含义是：在一组等精度观测值中，真误差在±σ范围以外的个数约占误差总数的32%；在±2σ范围以外的个数约占4.5%；在±3σ范围以外的个数只占0.3%。绝对值大于3σ的真误差出现的概率很小，因此可以认为±3σ是真误差实际出现的极限，即3σ是极限误差：

Δ极限=3σ (5-14)Δ极限=3σ (5-14)§5.2

衡量观测值精度的标准5.2.3极限误差和容许误差⑵容许误差测量实践中，是在极限误差范围内利用容许误差对偶然误差的大小进行数量限制的。在实际应用的测量规范中，常以2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许值，称为容许误差，即

Δ容=2σ≈2m (5-15)或 Δ容=3σ≈3m (5-16)Δ容=2σ≈2m (5-15)Δ容=3σ≈3m (5-16)前者要求较严，后者要求较宽。如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。§5.3

误差传播定律前面叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测量工作中通常以中误差作为衡量精度的指标。但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来。例如，欲测量不在同一水平面上两点间的距离D，可以用光电测距仪测量斜距S，并用经纬仪测量竖直角α，以函数关系D=Scosα来推算。显然，在此情况下，函数D的中误差与观测值S及α的中误差之间，必定有一定的关系。阐述这种函数关系的定律，称为误差传播定律。设有一般函数

Z=f(X1,X2,…，Xn) (5-17)式中X1、X2、…，Xn为可直接观测的未知量；Z为不便于直接观测的未知量。其中函数Z的中误差为mZ，各独立变量X1、X2，…Xn对应的观测值中误差分别为m1,m2,…mn，如果知道了mz与mi之间的关系，就可由各变量的观测值中误差来推求函数的中误差。各变量的观测值中误差与函数的中误差之间的关系式，称为误差传播定律。Z=f(X1,X2,…，Xn) (5-17)§5.3

误差传播定律设xi(i=1、2、……、n)的独立观测值为li,其相应的真误差为Δxi。由于Δxi的存在，使函数Z亦产生相应的真误差ΔZ。将(5-17)取全微分因误差Δxi及ΔZ都很小，故在上式中，可近似用Δxi及ΔZ代替dx及dz，于是有式中 为函数f对各自变量的偏导数。将xi=li代入各偏导数中，即为确定的常数，设则上式可写成 ΔZ=f1Δx1+f2Δx2+……+fnΔxn为了求得函数和观测值之间的中误差关系式，设想对各xi进行了k次观测，则可写出k个类似上式的关系式ΔZ=f1Δx1+f2Δx2+……+fnΔxn§5.3

误差传播定律将上式各式等号两边平方后，再相加，得上式两端各除以k§5.3

误差传播定律设对各xi的观测值li为彼此独立的观测，则ΔxiΔxj当i≠j时，亦为偶然误差。根据偶然误差的特性4可知，上式末项当k→∞时趋近于零，即故根据中误差（标准差）的定义（5-5)，上式可写成当k为有限值时，可写为：§5.3

误差传播定律上式即为计算函数中误差的一般形式。应用上式时，必须注意：各观测值是相互独立的变量，而当li为未知量xi的直接观测值时，可认为各li之间满足相互独立的条件。利用它不难导出表5-2所列简单函数的误差传播定律。(5-26)§5.4

等精度直接观测平差除了标准实体，自然界中任何单个未知量(如某一角度，某一长度等)的真值都是无法确知的，只有通过重复观测，才能对其作出可靠的估计。在测量中，重复测量的目的还在于提高观测成果的精度，同时也为了发现和消除粗差。重复测量形成了多余观测，加之观测值必然含有误差，这就产生了观测值之间的矛盾。为消除矛盾，必须依据一定的数据处理准则，采用适当的计算方法，对有矛盾的观测值加以必要而又合理的调整，给以适当的改正，从而求得观测值的最佳估值，同时对观测进行质量评估。人们把这一数据处理的过程称作测量平差。对一个未知量的直接观测值进行平差，称为直接观测平差。据观测条件，有等精度直接观测平差和不等精度直接观测平差。平差结果是得到未知量最可靠的估值(最可靠值)，最接近其真值，称为“最或是值”。测量平差直接观测平差最或是值§5.4

等精度直接观测平差在等精度直接观测平差中，观测值的算术平均值是未知量的最或是值。即 x=(l1+l2+…+ln)/n=[l]/n (5-27)5.4.1求最或是值x=(l1+l2+…+ln)/n=[l]/n (5-27)观测值与最或是值之差，称为“最或是误差”，用符号vi(i=1,2,…n)来表示。

Vi=li-x(i=1,2,…n) (5-28)将n个最或是误差vi相加，有：

[v]=[l]-nx=0 (5-29)即最或是误差的总和为0。式(5-29)可以用作计算中的检核，若vi值计算无误，其总和必然为0。显然当观测次数n→∞时，vi=Δi（真误差）。Vi=li-x(i=1,2,…n) (5-28)[v]=[l]-nx=0 (5-29)§5.4

等精度直接观测平差⑴观测值中误差由于独立观测中单个未知量的真值X是无法确知的，因此真误差Δi也是未知的，所以不能直接应用(5-7)求得中误差。但可用有限个等精度观测值li求出最或是值x后，再按公式(5-28)计算最或是误差，用最或是误差vi计算观测值的中误差。公式推导从略。5.4.2评定精度(5-34)式(5-34)是等精度观测中用最或是误差计算中误差的公式。§5.4

等精度直接观测平差⑵最或是值的中误差设对某量进行n次等精度观测，观测值为l1,l2,…，ln,中误差为m。最或是值x

的中误差M的计算公式推导如下：5.4.2评定精度根据误差传播定律，有：(5-35)(5-36)所以(5-37)顾及式(5-34)，算术平均值的中误差也可表达如下：(5-38)§5.5

不等精度直接观测平差在对某一未知量进行非等精度观测时，各观测结果的中误差也各不相同，各观测值便具有不同程度的可靠性。在求未知量的最可靠估值时，就不能像等精度观测那样简单地取算术平均值，，因为较可靠的观测值，应对最后结果产生较大的影响。不等精度观测值的可靠性，可用称为观测值“权”的数值来表示。“权”是权衡轻重的意思，观测值的精度愈高，其权愈大。例如，对某一未知量进行了两组不等精度观测，但每组内各观测值是等精度的。设第一组观测了4次，其观测值为l1、l2、l3、l4；第二组观测了3次，观测值为l1’、l2’、l3’。这些观测值的可靠程度都相同，每组分别取算术平均值作为最后观测结果，即(5-39)§5.5

不等精度直接观测平差对于观测值L1、L2来说，彼此是不等精度观测，故最后结果应为：(5-40)权只有相对意义，起作用的不是其绝对值，而是其比值，权通常用字母p表示，且恒取正值。§5.5

不等精度直接观测平差一定的中误差，对应着一个确定的误差分布，即对应着一定的观测条件。观测值的中误差愈小，其值愈可靠，权就愈大。因此，也可根据中误差来定义观测值的权。5.5.1权与中误差的关系设n个不等精度观测观测值的中误差分别为m1，m2，…mn，则权可以用下式来定义：其中λ可取为任意正常数。(5-42)前面所举的例子，l1、l2、l3、l4和l1’、l2’、l3’是等精度观测，观测值的中误差为m，则第1组的算术平均值L1的中误差m1可以根据式(5-37)得：同理，可得第2组算术平均值L2的中误差为：§5.5

不等精度直接观测平差在式(5-42)中分别代入m1和m2，得：5.5.1权与中误差的关系式中λ为任意常数。设λ=m2,则L1、L2的权为由上式可知，权与中误差的平方成反比。任意选择λ值，可以使权变为便于计算的数值。L1：L2：λ=m2p1=4,p2=3§5.5

不等精度直接观测平差5.5.1权与中误差的关系[例5－9]对某一角度进行了n次观测，求算术平均值的权。由例5－9可知，取一测回角度观测值之权为1，则n个测回观测值的算术平均值的权为n。故角度观测的权与其测回数成正比。在不等精度观测中引入“权”的概念，可以建立各观测值之间的精度比值，以便更合理地处理观测数据。解设一测回角度观测值的中误差为m，由式（5－37），算术平均值的中误差为M＝m/n1/2。由权的定义并设λ＝m2，则一测回观测值的权为：