泊松与拉普拉斯方程

2.3.1电位函数

一、电位函数与电位差

电位函数1)电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数；2)“－”表示电场指向电位减小最快的方向；3)在直角坐标系中引入电位函数：可由一标量函数表示。关于电位函数的讨论

电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。

电位差的计算：

电位差（电压）意义：A、B两点间的电位差等于将单位点电荷从B点移动到A点过程中电场力所作的功。两点间电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关关于电位差的说明电场空间中两点间电位差为：空间中任意点间的电位为：

电位参考点显然，电位函数不是唯一确定的，可以加上任意一个常数仍表示同一个电场，即为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即选参考点令参考点电位为零电位确定值(电位差)两点间电位差有定值1)应使电位表达式有意义2)应使电位表达式最简单3)同一个问题只能有一个参考点4)电位参考点电位一般为0；选择电位参考点的原则:二、电位函数的求解

点电荷的电位选取Q点为电位参考点，则若电位参考点Q在无穷远处，即则：点电荷在空间中产生的电位

说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点体电荷：面电荷：线电荷：式中：说明：若参考点在无穷远处，则c=0。引入电位函数的意义：简化电场的求解！在某些情况下，直接求解电场强度很困难，但求解电位函数则相对简单，因此可以通过先求电位函数，再关系得到电场解。

分布电荷体系在空间中产生的电位电势(电位）的计算方法:1)利用点电荷的电势公式和叠加原理2)根据已知的场强分布,按定义来计算电势的计算例题例1.均匀带电薄圆盘轴线上的电势例2.均匀带电球面的电势例3.均匀带电球体的电势例4.电偶极子的电势ydlRxorxP例1.半径为R的均匀带电圆环轴线上的电势分布。带电量为q,p点离圆心距离为x.而电荷元则电荷线密度其在p点产生的电势为则例2.半径为R的均匀带电薄圆盘轴线上的电势分布。解：以O为圆心，取半径为LL+dL的薄圆环，到P点距离P点电势：OLdLpxR带电dq=ds=•2L•dL由高斯定理知，电场分布为R解：例3.求一均匀带电球面内外的电势分布。P.

1.当r<R时

3.电势分布

2.当r>R时r.Pr电势分布曲线场强分布曲线EVRRrrOO结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。由高斯定理知，电场分布为R解：例4.求一均匀带电球体内外的电势分布。P.

1.当r<R时

3.电势分布

2.当r>R时r.Pr例5.求一均匀带电同心球面的电势分布。半径为R1和R2,所带电荷为q1和q2。oR2R1q1q2ⅠⅡⅢ解：均匀带电球面的电势分布

无限长线电荷的电位电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义。选择有限远点Q作为参考点。根据表达式最简单原则，选取r=1柱面为电位参考面，即得：无限长线电流在空间中产生的电位

2.3.2泊松方程拉普拉斯方程

柱面坐标系和球面坐标系下的拉普拉斯运算见附录。

标量场的拉普拉斯运算在直角坐标系中：

矢量场的拉普拉斯运算在直角坐标系中：对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：式中：称为拉普拉斯算符。在圆柱坐标系中：在球坐标系中：一、静电场电位方程的建立即：电位的泊松方程在无源区域，电位的拉普拉斯方程二、电位方程的应用可用于求解静电场的边值问题。

例.同轴传输线的内导体半径外导体半径已知内导体的电位为U0，外导体接地。试求同轴传输线内的电位和电场分布。解：线内电位满足拉普拉斯方程且边界条件：根据方程有：积分后有：加入边界条件：于是：1、场源积分法积分困难，对大多数问题不能得出解析解。2、应用高斯定理求解只能应用于电荷成对称分布的问题。3、间接求解法先求解空间电位分布，再求解空间电场。在实际工程应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值问题的求解。小结：求空间电场分布的方法电偶极子是一种非常重要的物理模型电偶极矩（电矩）(方向由负电荷指向正电荷)偶极子电介质(中性分子)就可以作一个电偶极子等效。此即电介质的电偶极子模型。1、电偶极子中垂线上任一点的电场强度。二、电偶极子激发的静电场2、电偶极子延长线上任一点的电场强度。解（1）r电偶极矩（电矩）++用矢量形式