大学物理振动学基础3

解:(1)一弹簧振子沿X轴作简谐振,已知物体质量为m=0.1kg.在t=0时物体对平衡位置的位移X0=0.05m,速度为v0=-0.628m/s.求:(1)振动方程(2)从初始位置到平衡位置所需最短时间或振幅已知，知道位置和速度方向，就知道了相位X0=0.05m,v0=-0.628m/s显然任意时刻P点的坐标Xt=t，A与X轴夹角为t=0，A与X轴夹角为矢端在x轴上投影点的运动代表简谐振动.简谐振动的矢量图表示法第2节：简谐振动的动力学三个黄背底的式子可以互相推得，满足这三个关系就是简谐振动称为谐振动的动力学微分方程设平衡时侵入液体中的体积为V,以平衡时比重计下端为原点建立如图所示坐标例1浮力：重力：坐标为x时的浮力：例2设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质点m在此隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期。地球质量Me和半径已知R建立oy坐标系：解:满足简谐振动微分方程，故为简谐振动。其周期为

简谐振动的能量弹簧振子的动能弹簧振子的势能及机械能简谐振动的总能量：系统机械能守恒平均动能及平均势能动能和势能平均来说都不占优势简谐振动能量与动力学方程之间的关系一种新的证明简谐振动、求简谐振动周期的方法

简谐振动的动力学方程求解途径1.由分析受力出发(由牛顿定律转动定律列方程)2.由分析能量出发(将能量守恒式对t求导)例3一劲度系数为k的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连结一质量为m1的物体，放在光滑的水平面上。将一质量为m2的物体跨过一质量为M，半径为R的定滑轮与m1相连，求其系统的振动圆频率。解法一：以弹簧的固有长度的端点为坐标原点，向右为正建立坐标。由牛顿第二定律Om1m2m2g/kRMkm1kST1T1T2T2m2gRMsOm1m2m2g/kRMkm1kST1T1T2T2m2gRMs解上面的方程组得系统的振动角频率Om1m2m2g/kRMk解法二：在该系统的振动过程中，只有重力和弹簧的弹性力做功，因此该系统的机械能守恒。常数Om1m2m2g/kRMk弹簧原长时为零重力势能点，则弹簧伸长为S时：上式对t求导并整理可得常数Om1m2m2g/kRMkU形管中液体的振动例题4在横截面为S的U形管中有适量液液体总长度为L,质量为m,密度为,求液面上下起伏的振动频率（忽略液体与管壁间的摩檫）选如图所示的坐标，并选两液面相齐时的平衡位置为坐标原点，且取平衡时液体势能为零。解:液体受到初始扰动后，振动过程中没有机械能损失，因此我们用能量方法来分析。yyOy由于液体的“不可压缩性，因此整个液体的动能左面液面的速度为由能量守恒得yyOy两端对时间求导平衡位置（两液面高度相同）为零势点例5如图所示，弹性系数为k，质量为M的弹簧振子静止地放置在光滑的水平面上，一质量为m的子弹以水平速度v1射入M中，并很快与之一起运动。选m、M开始共同运动的时刻为

t=0，求固有频率、振幅和初相位。解碰撞过程中动量守恒：整个体系的能量振动学一个基本的思路振动叠加原理任何一个复杂的振动都可以看成是一种最基本的振动合成的简谐振动研究清楚了简谐振动，再清楚了它们的合成问题，就可以研究任何复杂振动了分振动：x1=A1cos(1t+1)x2=A2cos(2t+2)合振动：

x=

x1+x2=A1cos(1t+1)+A2cos(2t+2)

振动叠加原理简谐振动的合成更一般的形式：如果一个物体同时参与了几个振动，则物体将按它们的和振动来运动分振动：x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)合振动：

x=

x1+x2=A1cos(t+1)+A2cos(t+2)

同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率分振动：x1=A1cos(1t+1)x2=A2cos(2t+2)合振动：

x=

x1+x2=A1cos(1t+1)+A2cos(2t+2)

我们要讲四种情形分振动：x=A1cos(t+1)y=A2cos(t+2)振动方向垂直的同频率分振动：x=A1cos(1t+1)y=A2cos(2t+2)合振动：振动方向垂直的不同频率合振动：我们要讲四种情形一

同方向同频率的简谐振动的合成1.分振动:x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)合振动是简谐振动吗？振幅多大？周期多少？XY

x=

x1+x2=A1cos(t+1)+A2cos(t+2)

x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)2.合振动:

x=x1+x2x

=A

cos(t+

)合振动是简谐振动,其频率仍为XY两种特殊情况(1)若两分振动同相

21=2k(k=0,1,2,…)则A=A1+A2

,两分振动相互加强合振幅最大X两种特殊情况(2)若两分振动反相

21=(2k+1)(k=0,1,2,…)则A=|A1-A2|,两分振动相互减弱如A1=A2,则A=0(3)一般情况：X例1有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为求它们的合振动方程；2)另有一同方向的简谐振动问当3为何值时，x1+x3的振动为最大值？当3为何值时，x1+x3的振动为最小值？解：1)两个振动方向相同，频率相同的简谐振动合成后还是简谐振动，合振动方程为所求的振动方程为2)X(m)o43例2两同频率同方向的简谐振动，如图示,求合成振动的振幅解：XY多个同方向同频率的简谐振动的合成就是旋转矢量的矢量和N个同方向同频率相位差依次差个常数的简谐振动的合成

同方向不同频率的简谐振动的合成X合振动是不是简谐振动？

续：同方向不同频率的简谐振动的合成两个振幅相同，初相相同的当21时

2-12+1合振动可看作振幅缓变的简谐振动

续：同方向不同频率的简谐振动的合成合振动不是简谐振动即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种合振动振幅忽强忽弱的现象称为拍。拍的现象xt单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频显然，拍频是振动的频率的两倍。即拍频为：拍频特殊情景法如果一个问题太复杂，简直没办法研究，例如股票价格（影响因素太多，主次也难分）那么物理学在处理类似问题时的做法是，研究它的一个特殊情况，或极端情形。这样问题就简单些了，也就容易得出一些有价值的结论了。振动的频谱分析

实际的振动不一定是简谐振动，在运动方程已知时，利用傅里叶变换可以分解为许多若干频率的简谐振动的叠加。 这是信号分析、处理和数字化的基础。振动的频谱分析教材151页周期性的非简谐振动，在运动方程已知时，利用傅里叶变换可以分解为许多若干频率的简谐振动的叠加

x=

3cos(1t+1)+2cos(2t+2)+4cos(3t+3)+27cos(4t+4)+……三.垂直方向同频率简谐振动的合成分振动x=A1cos(t+1)y=A2cos(t+2)合运动(1)合运动一般是在2A1(x向)、2A2(y向)

范围内的一个椭圆(2)椭圆的性质(方位、左右旋)在A1、A2确定之后,主要决定于

=2-1(2)垂直方向同频率简谐振动的合成x=A1cos(t+1)y=A2cos(t+2)（1）(3)x=A1cos(t+1)y=A2cos(t+2)垂直方向同频率简谐振动的合成综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行（直线是退化了的椭圆）当两个分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。为其他值时,则为任一椭圆。垂直方向同频率简谐振动的合成垂直方向同频率简谐振动的合成一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线,即合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论四,垂直方向、不同频率简谐振动的合成

视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化,以质点运动的轨道将不断地从上图所示图形依次的循环变化。1.、2、如果两个互相垂直的振动频率成整数比,合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。yxA1A2o-A2-A1xy=322=0,1=/4李萨如图形的应用如果将不同的信号分别输入示波器的y轴和x轴的输入端，当两个信号的频率满足一定关系时，荧光屏上会显示出李萨如图形系统受力：回复力-kx；阻尼力动力学方程：令

4.4阻尼振动受迫振动共振一.阻尼振动如何研究这时的弹簧振子的运动呢？用牛顿定律动力学方程：阻尼振动的研究方式用牛顿定律得到描述该质点运动的动力学微分方程解这个常微分方程得到运动方程令阻尼振动不再振动，较快回到平衡位置不再振动缓慢的回到平衡位置系统受力：回复力-kx；阻尼力周期性驱动力

f=Focosp

t动力学方程：受迫振动令第一项表示的是减幅振动。经过一段时间后,这一分振动就减弱到可以忽略不计了。而第二项表示的是受迫振动达到稳定状态时的等幅振动。因此,稳态解为

x=Acos(pt+)受迫振动速度共振当系统固有频率，阻尼力大小，策动力幅值保持不变时，仅改变策动力的频率位移共振当系统固有频率，阻尼力大小，策动力幅值保持不变时，