弹塑性力学应力分析

第二章应力分析§2-1斜截面上的应力§2-2应力状态的坐标变换§2-3应力状态的主应力和主方向§2-4应力张量的分解§2-5平衡微分方程§2-6应力边界条件xyzABCONxyz§2-1斜截面上的应力

已知物体在任一点O的六个应力分量,求经过O点的任一斜截面上的应力令平面ABC的外法线为N，其方向余弦为设斜截面上全应力为：沿坐标的分量为：简写为：设四面体斜面的面积为：则三个直面的面积为：简写为：考虑四面体微元的平衡xyzON所以即Cauchy定理●已知一点应力状态，可求过该点任意斜截面上的全应力在三个（正交）坐标轴上的分量或●若该斜截面是外边界的一点，其上作用的面力为则Cauchy公式表明了边界外力（面力）与该点应力的关系——应力边界条件xyzN将向外法线和斜面分解为和。则即将Cauchy定理代入：展开整理得：由可求得：特例：平面应力状态斜截面应力公式xyN材料力学中斜截面应力公式为

原因？例2-1

物体中一点的应力张量为,求作用在过此点的平面

上的法向和切向应力。解：平面外法向的方向余弦若视

为外法线的坐标面为坐标系下的斜截面

则该点在坐标系下（旋转）的应力张量有什么关系？§2-2应力状态的坐标变换

已知一点的应力状态在坐标系下的应力张量为，设两坐标系三轴的方向余弦为定义为则同理将该斜截面的全应力分量

分别向方向投影即得。仍视

为外法线的坐标面为坐标系下的斜截面同理所以此系二阶张量的本质特征

数学上将满足上式的一组量称为二阶张量，即决定一点应力状态的9个应力分量是一个二阶张量，称为应力张量§2-3应力状态的主应力和主方向定义：1.当P

点的某一斜截面上的切应力为零时，则该斜截面上的正应力称为P点的一个主应力。2.该斜截面称为P点的一个应力主面（主平面）。3.主平面法线方向称为P点一个应力主向，或称主方向。由定义，在主平面上则全应力将其向三个坐标投影由Cauchy公式一.应力状态的主应力和主方向主平面方程由即展开整理，其中分别称之为P点应力状态的第一、第二和第三不变量为什么称为不变量？称之为P点应力状态的特征方程或主应力方程并考虑得也称为体积应力，习惯上用表示。联立求解，得三组方向余弦。即求解特征方程得主应力，并按从大到小排序分别将回代◆一定为实根（可证明），分别称为第一、第二和第三主应力。◆一定相互垂直（可证明），分别称为第一、第二和第三主方向。◆若取为坐标轴则与坐标选取无关（取两式）特例1：平面应力状态主应力及主方向代入特征方程解方程（若按大小排序其解为）将回代联立解之设为第一主方向与x轴的夹角则由三角函数关系可得例2-2

已知弹性体内部某点的应力状态为求主应力和主方向。解：不变量的计算代入特征方程解之将代入联立解之将代入联立解之将代入联立解之xyzO

123NN123二.最大和最小应力

设一点的主应力及其主方向已知，现以三主方向取Oxyz坐标，如图所示主应力单元体123xyz123设任一斜截面N，其方向余弦为l1、l2、l3则由斜截面正应力公式求极值解之同理，将分别代入可得说明主应力为斜截面正应力的极值及用类似的方法亦可求出斜截面切应力的极值及其所在平面应力的极值及其所在平面法线的方向余弦0±100l300±10l2000±1l1li极值结论：作用平面分别为第一和第三主平面作用平面为第一与第三主平面的角平分面三.八面体应力123xyz123

设一点的主应力及其主方向已知，以三主方向取Oxyz坐标，如图所示现取一特殊的斜面：注意到：可求得1.八面体斜面上的正应力可见：八面体正应力等于平均应力m符合上述条件的面有八个，这八个面构成一八面体，如图所示。123（等倾面）2.八面体斜面上的切应力所以四.应力强度

为让复杂应力状态的受力程度与简单应力状态的受力程度在强度方面作对比，故定义显然当为单向应力状态时

即表明复杂应力状态的i与单向拉伸应力状态的i

在某种意义上具有相同的强度效应。故称为正应力强度或等效正应力同样，为和纯剪应力状态作对比，定义显然当为纯剪应力状态时

即表明复杂应力状态的i与纯剪应力状态的i

在某种意义上具有相同的强度效应。故称为切应力强度或等效切应力§2-4应力张量的分解一.应力椭球xyzO

123NN123

设一点的主应力及其主方向已知，仍以三主方向取Oxyz坐标，如图所示。

取任一斜面：由得代入得此即以为坐标轴，主半轴为的椭球方程故称为应力椭球

几何意义：在空间中，

过O点任一斜截面上的全应力的矢端均落在此椭球面上二.应力球张量和应力偏张量对于应力椭球，若，则应力椭球为球面故定义为应力球张量力学意义：三向均拉（压）应力状态静水压力由有将应力张量进行分解即称为应力偏张量应力偏张量为对称二阶张量，与应力张量有类似性质：1.应力偏张量的主值和主方向主方向与应力张量的主方向一致2.应力偏张量的不变量§2-5平衡微分方程在点P附近取一微元体，如图所示，P

点的应力为：体力分量为：由微元体的平衡条件可建立平衡微分方程和切应力互等定理。xyzOPABC各应力增量均忽略了高阶项将上式同除以dxdydz，化简得：同理，由得到y、z方向的平衡微分方程。xyzOPABC由三个坐标轴的力矩平衡方程列方程并忽略高阶项可得切应力互等定理平衡微分方程：所以有应力张量为二阶对称张量表明了变形固体内一点内力（应力）与外力（体力）的平衡关系。其分量由九个缩减为六个§2-6应力边界条件设已知外边界S

上的一点的外法线方向为则由Cauchy公式

表明了变形固体边界S上一点内力（应力）与外力（面力）的平衡关系，故亦称边界平衡方程作用在该点上面力为

需要指出，平衡微分方程和边界平衡方程是应力张量的禀性方程。即，满足平衡方程是任何真实应力张量的必要条件。S代表边界的曲面方程例2-3

对于给定的坐标系Oxy，试列出图中各平面问题的