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第一类曲线积分第四节

第十二章

一、第一类曲线积分的概念与性质二、第一类曲线积分的计算法一、第一类曲线积分的概念与性质1.问题引入曲线形构件的质量设有一位于xOy平面上的曲线形状的构件(如图)，求构件的质量.采用分割，近似，求和，取极限的方法来求曲线形构件的质量构件分布是非均匀的，其线密度为1º分割2º近似3º求和4º取极限在小弧段该弧段的质量可近似表示为整个构件质量的近似值构件的质量用曲线AB上的任意点

将AB设函数f(x,y)在xOy

面内的分段光滑曲线弧L

2.定义10.1上有界.将L任意分成n个小弧段，设分点为则称该极限值为函数f(x,y)在曲线L上的第一类被积函数积分弧段积分和式弧微分被积表达式曲线积分或对弧长的曲线积分，记作注1º当函数f(x,y)在曲线L上连续时,曲线积分2º曲线形构件的质量可以表示为存在.xyOL(x,y)(x,y)（1）若积分弧段为空间曲线弧（2）如果L

是闭曲线,则记为推广,则函数f(x,y,z)在曲线弧上对弧长的曲线积分为思考：定积分

对弧长的曲线积分但定积分中dx

可能为负.否！是否可看作对弧长曲线积分的特例?xO要求ds0,3.性质基本思路:计算定积分转化定理10.1且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分二、第一类曲线积分的计算法1.直接法点将曲线L任意分成n份，设各分点对应参数为对应参数为证根据定义

因此则注因此积分限必须满足下限小于上限：2º注意到

因此上述计算公式相当于“换元法”.则(2)如果L为极坐标形式则(1)如果曲线L的方程为推广(3)设空间曲线弧的参数方程为其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.

解上点O(0,0)例1

计算计算半径为R,中心角为的圆弧L

对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度

=1).解建立坐标系如图,则例2

计算曲线积分

其中为螺旋的一段弧.解

线例32.利用对称性例4解xyOxyO由轮换对称性,知解例5将圆周表示成参数方程的形式比较困难，由表达形式的对称性可利用对称性计算点(x,y,z)的坐标满足曲线的方程1.定义2.性质内容小结3.计算•对参数方程形式•对显函数形式•对极坐标形式

1.例5中改为如何计算解

令,则思考与练习2.计算其中为球面解:化为参数方程则3.有一半圆弧其线密度解故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.4.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性分析:备用题1.设C是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示:

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