高数 函数的单调性与极值

主讲教师:

王升瑞高等数学第十八讲1第九节一、函数的单调性二、函数的极值及其求法函数的单调性与极值第二章2一、函数的单调性若定理1.

设函数则在I

内单调递增(递减).证:

无妨设任取由拉格朗日中值定理得故这说明在I

内单调递增.在开区间I

内可导,证毕I称为单调递增(递减)区间。3例1.

确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为为驻点4说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,

则不改变函数的单调性.例如,5例2

证明证：令令从而成立6例3.

证明证:设,则故时,单调增加,从而即思考:

证明时,如何设辅助函数更好?提示:7例4求证证法一：设当时当时综上可知，无论为什么值，总有则不等式成立。当时8例4求证证法2：设则无论为什么值，总有则不等式成立对f(x)在0与x

之间应用拉格朗日中值定理，有式中在0与x

之间，由于与x同号，9例5

证明在证明令在上利用拉格朗日中值定理得故当时，从而在内单调增加。内单调增加。此函数为幂指函数，两边取对数10例5

证明方程在区间(0,1)内有且仅有一个实根。证明：设在区间[0,1]上连续，由零点定理，使即的根存在。又单调增加。的图形至多与x轴有一个交点，所以方程仅有唯一解。11二、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称为的极大点

,称为函数的极大值

;(2)则称为的极小点

,称为函数的极小值

.极大点与极小点统称为极值点

.12注意:为极大点为极小点不是极值点2)对常见函数,极值可能出现在导数为

0

或

不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例如(P146例4)为极大点,是极大值;是极小值.为极小点,13定理2（极值存在的必要条件）如果在x0处可导，且在x0处取得极值，则（证明略）使的点称为函数的驻点。定理2告诉我们，可导函数的极值点必定是驻点，但驻点未必是极值点。寻求函数的极值点首先要找的驻点以及不可导的点，再判断其是否为极值点。14定理3

(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,(自证)点击图中任意处动画播放\暂停－0＋为极小值为极小点如：15例1.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为16定理4(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知(2)类似可证.17例2.求函数的极值.解:

1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.18试问为何值时,在时取得极值,解:

由题意应有又取得极大值为并求出该极值。指出它是极大还是极小，例319内容小结1.可导函数单调性判别在I

上单调递增在I

上单调递减2.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值20思考与练习1.设则在点a

处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:

利用极限的保号性.212.设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:

利用极限的保号性.223.

设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少.提示:A23作业P1491（1）（2）；2；3(2)(4);4；5(2),(3)(6);6；7；8.24思考与练习上则或的大小顺序是()提示:

利用单调增加,及B1.

设在25

.2.

曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及

;

;264、设函数由方程