化工设备机械基础课件(平面弯曲)

06-2月-2313.2、直梁弯曲的内力分析三、平面弯曲3.2.1梁弯曲时横截面上的内力——剪力和弯矩:弯曲内力：梁在外力作用下产生的弯曲变形，同时在梁的内部截面上产生相互作用力，这种作用力称为弯曲内力。一、截面法求内力—剪力Q和弯矩M06-2月-2323.2、直梁弯曲的内力分析三、平面弯曲3.2.1梁弯曲时横截面上的内力——剪力和弯矩:Q1称为剪力形心：截面对称面与轴线的交点。力偶矩M1弯矩：力偶矩M1有使梁产生转动而弯曲的趋势，故称为横截面上的弯矩。06-2月-2333.2、直梁弯曲的内力分析三、平面弯曲3.2.1梁弯曲时横截面上的内力——剪力和弯矩:

梁任一截面上的剪力，等于截面一侧所有横向外力的代数和；b

任一截面上的弯矩，等于该截面一侧所有外力对该截面中性轴取矩的代数和。06-2月-2343.2、直梁弯曲的内力分析三、平面弯曲3.2.1梁弯曲时横截面上的内力——剪力和弯矩:内力符号的规定：剪力

左侧梁上向上的外力或右侧梁上向下的外力引起的剪力为正，反之为负，剪力等于该侧外力的代数和。06-2月-2353.2、直梁弯曲的内力分析三、平面弯曲3.2.1梁弯曲的内力——剪力和弯矩:内力符号的规定：弯矩

弯矩等于该横截面一侧所有外力对该截面形心取力矩的代数和。梁上向上的外力均产生负弯矩；而向下的外力均产生正弯矩。截面左侧顺时针转向的力偶或截面右侧逆时针转向的力偶取正值，反之取负值06-2月-2363.2、直梁弯曲的内力分析三、平面弯曲3.2.2剪力和弯矩方程、剪力图和弯矩图:一、剪力方程式和弯矩方程式二、内力图—剪力图和弯矩图

以x为横坐标，以剪力Q或弯矩M为纵坐标，选用一定的比例尺，所作出的Q-x图或M-x图，可分别称为剪力图或弯矩图。

作剪力图和弯矩图是为了表示剪力和弯矩随截面位置变化的情况，以便确定最大剪力和弯矩所在截面的位置及其数值，进行强度计算。梁的破坏通常发生在弯矩最大的截面。剪力和弯矩沿梁轴分布的数学表达式。06-2月-2373.2、直梁弯曲的内力分析3.2.2剪力和弯矩方程、剪力图和弯矩图:三、平面弯曲例3-1．简支梁受集度为q的均布荷载作用，画出此梁的剪力图和弯矩图。06-2月-238例3-2．简支梁在C点处受集中荷载P作用，画出此梁的剪力图和弯矩图。三、平面弯曲06-2月-239三、平面弯曲例3-3．简支梁在C处受一集中力偶mC的作用，画出剪力图和弯矩图。图10-5bAFAyFBaLBMC分析：因梁上没有水平方向的载荷，且B支座竖直放置，故A支座处FAx=0。∴FB=－mC/L（↑）∵∑Fy=0∴FAy

＋FB=0∴FAy=－FB=mC/L（↓）∵∑MA=0∴FB·L＋mC=006-2月-2310三、平面弯曲例3-3．简支梁在C处受一集中力偶mC的作用，画出剪力图和弯矩图。06-2月-2311三、平面弯曲3.2、直梁弯曲的内力分析06-2月-2312三、平面弯曲3.2、直梁弯曲的内力分析06-2月-2313三、平面弯曲3.2、直梁弯曲的内力分析06-2月-2314三、平面弯曲3.2、直梁弯曲的内力分析内力图的一些规律：1、q(x)=0：一段梁上无均布荷载，剪力图为一平行于x轴水平线，弯矩图为一斜直线；2、q(x)=常数：一段梁上有均布荷载，剪力图为一斜直线，弯矩图为一条二次曲线，当均布荷载q(x)向下时，弯矩图凸向上，当均布荷载向上时，曲线凸向下；3、弯矩的极值：若梁的某一截面上的剪力Q(x)=0，则该截面的弯矩为一极值；3.2.2剪力和弯矩方程、剪力图和弯矩图:4、集中力作用处：此处剪力图有突变，突变方向与集中力方向一致，突变绝对值等于集中力数值，弯矩图上形成尖角；5、集中力偶作用处：此处剪力图无变化，弯矩图出现突变，突变的绝对值等于集中力偶的数值。06-2月-2315三、平面弯曲3.2、直梁弯曲的内力分析3.2.2剪力和弯矩方程、剪力图和弯矩图:例3-4．外伸梁上均布荷载的集度为q=3kN/m,集中力偶矩m=3kN.m,a=2m,画出剪力图和弯矩图。例3-5．P6306-2月-2316三、平面弯曲3.2、直梁弯曲的内力分析3.2.2剪力和弯矩方程、剪力图和弯矩图:利用剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图的基本思路为：①求约束力②建立剪力方程和弯矩方程③画剪力图和弯矩图06-2月-2317三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算纯弯曲：就是在梁的横截面上没有剪力作用，只有弯矩作用的弯曲。剪切弯曲：既有弯矩，又有剪力。06-2月-2318三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算3.3.1纯弯曲时的正应力计算:A弯曲时的变形06-2月-2319三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算3.3.1纯弯曲时的正应力计算:A弯曲时的变形中性层:弯曲变形时必有一层纵向纤维既不伸长，也不缩短，这一层纵向纤维成为中性层。中性轴:中性层与横截面的交线称为中性轴。

在平面弯曲中，整个梁的变形对称于纵向对称面，因而中性层也一定对称于纵向对称面，所以中性轴z一定与横截面对称轴y垂直。可证：中性轴z过截面形心且与纵向对称轴y垂直。06-2月-2320三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算3.3.1纯弯曲时的正应力计算:A弯曲时的变形——变形假设1.梁在弯曲时，横截面像直线mn、m1n1那样，各自偏转一定的角度，但仍然保持平面，且垂直于梁轴，这就是平面截面假设。2.纵向纤维的变形和它到中性层的距离有关，且边沿宽度相等。3.纵向纤维的变形只是简单的拉伸或压缩，它们之间没有相互挤压，因此，梁的横截面上只能产生拉应力或压应力。由于这些应力都垂直于横截面，故统称为正应力。06-2月-2321三、平面弯曲3.2.1梁弯曲时横截面上的内力——剪力和弯矩:

发生弯曲变形后纵向纤维伸长或缩短，其变形为轴向拉伸或压缩，横截面上应力分布如图所示：

突出边为拉应力，凹入边为压应力。

横截面上的弯矩即与横截面垂直分布内力的合力偶矩。即

3.3、平面弯曲的应力计算06-2月-2322三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算3.3.1纯弯曲时的正应力计算:B变形与应力的关系曲率中心C、曲率半径ρ。变形后长度为原长度：线应变为：06-2月-2323三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算3.3.1纯弯曲时的正应力计算:B变形与应力的关系物理条件：弹性范围内06-2月-2324三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算3.3.1纯弯曲时的正应力计算:C正应力计算公式弯矩：

IZ：为整个横截面对中性轴Z的惯性矩，简称惯性矩；它的大小与截面的几何形状和尺寸有关，单位为m4或mm4。1/ρ：梁轴线的曲率（弯曲的程度）；EIZ

：梁的抗弯刚度。06-2月-2325三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算3.3.1纯弯曲时的正应力计算:C正应力计算公式该式表明：梁弯曲时的曲率半径1/ρ与弯矩M成正比，与EIZ成反比；在同一弯矩下，梁的EIZ

越大，就越不容易弯曲，所以EIZ称为梁的抗弯刚度。06-2月-2326三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算3.3.1纯弯曲时的正应力计算:C正应力计算公式表明梁横截面上任意一点的正应力σ与同一截面上的弯矩M成正比，与IZ成反比，还与这点到中性轴Z的距离y成正比。对一切有垂直对称轴的截面（未必为矩形）的梁均适用。最大正应力发生在离中性轴最远处的上、下边缘。06-2月-2327三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算3.3.1纯弯曲时的正应力计算:C正应力计算公式——截面对中性轴的抗弯截面模量。M3，表示横截面的抗弯强度。——横截面上最大正应力计算式

当中性轴非为对称轴时，如T（或倒T）形截面，最大拉应力并不相等，应分别计算：06-2月-2328三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算3.3.1纯弯曲时的正应力计算:C正应力计算公式1.细长梁的纯弯曲或横力弯曲2.横截面惯性积IZ=03.弹性变形阶段公式适用范围：

均布载荷作用下的矩形截面简支梁，L/h>5时，按纯弯曲正应力计算，误差<1%。06-2月-2329三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算3.3.2常见横截面的和计算:

与表明截面抗弯能力。应尽量选择与较大的截面。2、圆截面即1、矩形截面对环形截面：其它截面见P87表3-3。06-2月-2330三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算3.3.1纯弯曲时的正应力计算:C正应力计算公式06-2月-2331三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算3.3.3弯曲正应力的强度条件:

利用强度条件，可对梁进行：对塑性材料，一般应使截面对称于中性轴。（拉、压许用应力相同）对脆性材料，截面一般不对称。如：T（倒T）、槽形等。抗拉强度＜＜抗压强度。选择截面尺寸强度校核确定许可荷载06-2月-2332三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算例3-5

容器四个耳座支架在四根各长2.4m的工字钢梁的中点上，工字钢再由四根混凝土柱支持。容器包括物料重110kN，工字钢为16号型钢，钢材弯曲许用应力[σ]=120MPa，试校核工字钢的强度。06-2月-2333三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算最大弯矩在梁的中间，为：由型钢表查得16号工字钢的Wz=141cm306-2月-2334例3-6：已知：，许用弯曲应力。按正应力校核强度。三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算

解：支承反力弯矩方程弯矩图如右。所以强度足够。06-2月-2335例3-7：

已知许用弯曲应力，矩形截面a/b=2，其它如图所示。试确定两种矩形截面的尺寸。

三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算

解：支承反力弯矩图如右。由得矩形横放：矩形竖放：06-2月-2336三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算3.3.4提高梁弯曲强度的主要途径:一、选择合理的截面形状1、根据应力分布规律选择。2、根据截面摸量选择。3、根据材料的特性选择。1、根据应力分布规律选择。06-2月-2337三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算3.3.4提高梁弯曲强度的主要途径:一、选择合理的截面形状2、根据截面摸量选择。06-2月-2338三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算3.3.4提高梁弯曲强度的主要途径:一、选择合理的截面形状中性轴偏于强度较弱的一边。3、根据材料的特性选择。06-2月-2339三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算3.3.4提高梁弯曲强度的主要途径:一、选择合理的截面形状等强度梁3、根据材料的特性选择。06-2月-2340三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算3.3.4提高梁弯曲强度的主要途径:二、支撑和荷载的合理布置支撑的合理布置06-2月-2341三、平面弯曲3.3、平面弯曲的应力计算3.3.4提高梁弯曲强度的主要途径:二、支撑和荷载的合理布置载荷的合理布置06-2月-2342三、平面弯曲3.4、平面弯曲的变形—挠度和转角3.4.1弯曲变形的概念:梁的挠曲线方程y=f(x)变形后梁的轴线称为弹性曲线或挠曲线。挠度y：线位移CC1，随y轴方向而定。转角θ：梁绕中性轴偏转的角度,逆为正。弧度(rad)。1、横向位移2、角位移与y轴方向一致为正。06-2月-2343三、平面弯曲3.4、平面弯曲的变形—挠度和转角3.4.2梁的挠曲线近似微分方程及其积分:梁的挠曲线近似微分方程。EI被称为梁的抗弯刚度06-2月-2344三、平面弯曲3.4、平面弯曲的变形—挠度和转角3.4.2梁的挠曲线近似微分方程及其积分:直接积分法：边界条件：由梁某截面的已知变形来确定的条件。C、D值。06-2月-2345三、平面弯曲3.4、平面弯曲的变形—挠度和转角3.4.2梁的挠曲线近似微分方程及其积分:例