第二章-流体静力学-终

§2.1平衡流体上的作用力§2.2流体平衡的微分方程式§2.3重力场中的平衡流体§2.4静压强的计算和测量§2.5静止液体作用于壁面的总压力§2.6液体的相对平衡第二章流体静力学前言：一、流体静力学的主要任务：

根据诸作用力的平衡关系研究流体处于静止或相对静止时的力学规律及其在工程技术上的应用。“静”——绝对静止、相对静止§2.1平衡流体上的作用力一、质量力1.定义：质量力指作用在流体全部质点上并与受作用的流体质量成比例的力。如重力、惯性力等。2.单位质量力：在流体力学中，往往不直接用质量力，而用单位质量流体上的质量力，简称单位质量力。则：例题：封闭容器盛水，在地面上静止时水所受单位质量力为多少？封闭容器从空中自由下落时，其单位质量力又为多少？3.重力场中质量力

答:

2.平衡流体的表面力及静压力的特征

(2)静压力特征

2)静压力的方向a.静压力方向沿作用面的内法线方向N/m2（Pa）

b.任一点静压强的大小与作用面的方位无关

(1)平衡流体的表面力－静压力

1)静压力的大小－静压强二、表面力1.定义：表面力是指作用于流体表面上并与作用表面积成比例的力。表面力按作用方向分为：法向表面力—压力切向表面力—摩擦力。静压力的矢量表达式：面积矢：3）静压力的矢量表达式面积矢的模方向矢量：微元面积外法线方向的单位矢量§2.2

流体平衡的微分方程式

1.质量力在静止流体中任取一微元六面体，其边长分别为dx，dy，dz，坐标的选取如下图。一、欧拉平衡方程式点的压强为

2.表面力六面体顶点A(x，y，z)的压强为p，包含A点的三个相互垂直面上的静压强相等＝p压强在平衡流体中是坐标的连续函数：作用在六面体的质量力为：根据泰勒级数展开式：X方向：y方向：z方向：上式除以微元体质量，得：建立x方向受力平衡关系式同理从y、z方向建立受力平衡关系式有：静止流体平衡微分方程，也称欧拉平衡微分方程。（1）质量力与该方向上的表面力平衡；说明：（2）平衡流体受哪个方向上的质量分力，则流体静压强在该方向上必然发生变化；（3）如果哪个方向上没有质量分力，则流体静压强在该方向上必然保持不变。3.欧拉平衡微分方程二、压强微分方程式及等压面1.压强微分方程式压强微分方程式或欧拉微分方程式的综合形式存在势函数W（x、y、z）满足：不可压缩均质流体2.质量力的势函数满足：的函数W（x、y、z）称为质量力的势函数只有在有势的质量力作用下，不可压缩流体才能处于平衡状态。等压面也是等势面。等压面与质量力正交。两种不相混合平衡流体的交界面必然是等压面3.等压面及性质（1）等压面定义：流体中压力相等各点所组成的平面或曲面叫做等压面等压面上：（2）等压面的微分方程式（3）等压面的性质两式均为不可压缩流体静力学基本方程。§2.3重力场中的平衡流体

在实际应用中，作用在平衡流体上的质量力常常只有重力，以下就讨论重力场中静止流体的压强分布规律。一、质量力只有重力时静力学基本方程对静止流体，因：由（3）式有时，将上式积分得：对于静止流体中任意两点，有：位置水头，：压力水头，平衡流体各点的总势能由位置势能和压强势能组成，总势能保持不变。物理意义：p/ρg——压强水头z——位置水头

可以看出静止流体中各点位置水头和压力水头可以相互转换，但各点测压管水头相等并为一水平线，如图1、2两点的测压管液位在同一位置高度。真空值：绝对压强：相对压强：

一、静压强的测量基准以绝对真空状态的压强为零点计量的压强值。以当地大气压作为零点计量的压强值。以当地大气压作为零点计量的小于大气压的数值。三者的关系可表达为：§2.4静压强的计算与测量注意：pv表示绝对压强小于当地大气压强而形成真空的程度，读正值！压强计算方法习惯上压强基准真空度

完全真空绝对压强表压强大气压强

二、静压强的计量单位工程大气压（at）

=0.9807×105Pa=735.5mmHg=10mH2O=1kg/cm2（每平方厘米千克力，简读公斤）标准大气压（atm）

=1.013×105Pa=760mmHg=10.33mH2O换算：1kPa=103Pa

1bar=105Pa液拄式压强计：例求pA（A处是水，密度为ρ，测压计内是密度为ρ’的水银）解：作等压面例求pA（A处是密度为ρ的空气，测压计内是密度为ρ’的水）解：气柱高度不计

一端与测点相连，一端与大气相连二、静压强的计量单位金属弹性式压强计电测式压强计1.测压计解：

例：在管道M上装一复式U形水银测压计，已知测压计上各液面及A点的标高为：1=1.8m，

2=0.6m，3=2.0m，

4=1.0m，A=5=1.5m。试确定管中

A点压强。2.压差计

例求Δp（若管内是水，密度为ρ，压差计内是密度为ρ’的水银）解：作等压面

两端分别与测点相连Δh12ρρ’例求Δp

（管内是密度为ρ的空气，压差计内是密度为ρ’的水）解：Δh12ρ’3.微压计（放大倍数）图示斜平壁和坐标系oxy,o点在自由液面上，y轴沿斜平壁向下。在面积A上取面元dA

，纵坐标y，淹深为1.平壁总压力大小§2.5静止流体作用于壁面的总压力工程背景：压力容器，水坝，潜艇，活塞等；结构强度，安全性能，运动规律计算等。条件：均质流体，体积力为重力。一、作用于平面壁上的总压力作用在dA

和A上的总压力

pc为形心的压强。表明作用在面积A上的总压力大小等于形心压强乘以面积。

在几何上面积A对x

轴的面积矩yc

为面积A形心的纵坐标,为形心的淹深。2.确定总压力的作用点：假设受压面是轴对称面（此轴与oy轴平行），则总压力的作用点必位于此对称轴上。所以，这里只需确定yD的值即可确定总压力的作用点。由理论力学中的合力矩定理，有：其中为受压面积对ox轴的惯性矩，用表示。因，故，即压力中心D点一般在形心C点的下面。其中为该受压面对通过它的形心并与x轴平行的轴的惯性矩。于是有

根据惯性矩平行移轴定理有：

在工程实际中，受压面多为以y轴为对称轴的轴对称面，算出后，压力中心D的位置就完全确定。若受压面不是轴对称面，则确定后尙需确定xD，可类似上述的推导来推出xD。

常见图形的lC和IC图形名称矩形三角形梯形圆半圆例：如图，矩形底孔闸门，闸门的高度h＝3m，宽度B=2m，水深H1=10m，求作用在闸门上的静压力大小及压力中心距基底的标高。解：闸门所受水的总压力P=γhcAx=9.8×4×π×0.5×0.5×sin60º=26.66kN例题：如图，涵洞进口装有一圆形平板闸门，闸门平面与水平面成60º，铰接于B

点并可绕B点转动，门的直径d=1m，门的中心位于上游水面下4m，门重

G=980N。当门后无水时，求从A处将门吊起所需的力T。压力中心D到B的距离B到T的垂直距离B到G的垂直距离根据理论力学平衡理论

工程中承受流体压力作用的曲面常为二向曲面。因此，现以二向曲面为例求其总压力。如图，ab为承受液体压力的圆柱曲面即二向曲面，其面积为A。自由液面通大气，即自由液面相对压强为零。在曲面ab上任取一微元面积dA，它的液下水深为h，液体作用在微元面积。二、作用在曲面壁上的力

上的总压力为。

由于曲面壁上不同微元面积上的作用力的方向不同，因此求总压力时不能直接在曲面壁上积分。常将dP进行分解，再积分。将dP分解为水平和垂直的两个分量dPx、dPz，然后分别在整个面积A上求积分，得Px、Pz。

式中：Ax为面积A在yoz平面的投影，为面积Ax对oy轴的静面矩，所以则（8）（8）式即为流体作用在曲面壁上的总压力水平分力公式。此式说明水平分力等于液体作用在曲面投影面积Ax上的总压力。1.总压力的水平分力式中Az为面积A在自由液面xoy平面或其延伸面上的投影面积。为以曲面ab为底，投影面积Az为顶以及曲面周边各点向上投影的所有垂直母线所包围的一个空间体积称为压力体积，以V表示。2.总压力的垂直分力Fz则（9）作用点通过压力体体积的形心V——压力体体积ρgV——压力体重量流体作用在曲面上的总压力是水平分力与垂直分力的合力。大小为：

如果压力体与受压面同侧称为实压力体，垂直分力向下，如下图a所示。如果压力体与受压面异侧称为虚压力体，垂直分力向上，如下图b所示。总压力与x轴之间夹角的正切为：θFFxFz实压力体与虚压力体实压力体虚压力体3.压力体的作法压力体由以下各面围成：（a）曲面本身；（b）通过曲面周界的铅垂面；（c）自由液面或者延续面

。与深度无关——浮力p压力体水平压力

例题：如图为一溢流坝上的弧形闸门。已知：R=8m，门宽b=4m，α=30º，试求：作用在该弧形闸门上的静水总压力。

解：闸门所受的水平分力为Px，方向向右即：闸门所受的垂直分力为Pz，方向向上闸门所受水的总压力总压力的方向§2.5液体的相对平衡下面以流体平衡微分方程式为基础，讨论质量力除重力外，还有牵连惯性力同时作用的液体平衡规律。在这种情况下，液体相对于地球虽然是运动的，但液体质点之间、质点与器壁之间都没有相对运动，所以这种运动称为相对平衡。现讨论以下两种相对平衡。一、直线等加速器皿中液体的相对平衡重力（－g）惯性力（－a）如后图，盛有液体的容器在与水平面成α角的斜面由上向下作匀加速直线运动，加速度为a。当α为零时，显然液面为水平面。设加速度为a时液面与水平面成β角倾斜。设定xoz坐标，坐标原点取在自由液面的中点。相对于此运动坐标系来说，单位质量液体所受的质量力有两个：一是垂直向下的单位质量重力，另一是与加速度反向的单位质量惯性力。单位质量力的三个坐标方向上的分量

1。等压面方程有:

将上式积分可得匀加速直线运动时的等压面方程:这是一族平行平面，它们对水平面的倾角

显然，自由表面还是等压面，自由表面上的z坐标用zs表示，按自由表面的边界条件x=0，z=0，定出积分常数c=0，故自由表面方程应是:

或直线匀加速的相对平衡液体的压强分布规律依然可由等压面微分方程积分得出积分常数可由边界条件x=0，z=0处p=p0得出于是：为计压点在倾斜自由液面下的淹没深度。2。压强分布解：自由表面方程由得出例题：容器内盛有液体垂直向下作a＝4.9035m/s2的加速运动，试求此时的自由表面方程和液体的压强分布规律。现说明自由表面依然是水平面。压强分布规律则由可得出现由，并在本情况中故

二、等角速旋转器皿中液体的相对平衡如图，盛有液体的直立圆柱筒绕其中心轴以等角速度ω旋转，由于液体粘性，使筒内液体都以等角速度ω旋转，此时液体自由表面已由平面变为旋转抛物面。下面推导这种以等角速度旋转的相对平衡情况的等压面方程和压强分布规律。取与筒一起等角速旋转的运动坐标系，z轴垂直向上，坐标原点取在新自由表面旋转抛物面的顶点上。此时流体所受的质量力亦是两个：一是重力，铅垂向下；另一是离心惯性力，与r轴方向一致。

单位质量力在直角坐标轴上的三个分量：代入欧拉平衡微分方程综合式：1。由等压面方程在自由表面上：可见，等压面族是一组以圆筒为中心轴为旋转轴的旋转抛物面。新自由表面的z坐标用表示，超高:Xoy平面的回转抛物体内的液体的体积：液面的最大超高:r=R时V为最大超高圆柱形体积的一半

由x=0，y=0，z=0处p=p0得c=p0，代入上式整理得：这就是等角速旋转的直立容器中，液体相对平衡时压强分