第4章-时间序列分析

第4章时间序列分析统计数据的种类截面数据（静态数据）——某一（些）现象在同一时间上的状态所形成的数据，反映现象在特定时间上的数量特征及现象之间的相互关系。如变量数列。时间数列（动态数据）——某一指标在不同时间上的不同数值，按照时间先后顺序排列而成的数列，用以分析现象的动态结构和动态规律性。也称为时间序列。两类数据（数列）的区别：构成要素不同；反映的问题不同；分析方法不同。时间序列及分析方法概述时间序列的指标分析法时间序列构成因素分析法EXCEL时间序列分析案例：营业额增长情况分析和预测

V饭店位于C岛上，是一个公众常去的场所。它由K女士拥有和经营，成为岛上最好的营业额增长最快的饭店之一。

K女士为确定饭店未来的增长计划，需要对过去的营业额情况进行分析，同时需要建立一个系统，使她可以提前一年预测今后每个月食品和饮料的营业额。K女士提供了三年的经营中有关食品和饮料的营业额(万元)数据：月份123456789101112第一年242235232178184140145152110130152206第二年263238247193193149157161122130167230第三年282255265205210160166174126148173235

这些年营业额的增长情况如何？营业额各年的增长额？年平均增长额？同比增长额？营业额各年的发展速度？年平均发展速度？年平均增长速度？同比增长速度？营业额的变化是否具有季节性规律？季节变化规律是什么？每个月的季节指数是多少？如何预测第四年各月的营业额？如果没有季节因素的影响，营业额是否具有一种基本变化趋势？其趋势变化规律是什么？

时间序列分析是指从时间发展变化的角度，研究事物在不同时间上的发展状况，探索事物随时间推移的演变趋势和规律，揭示其数量变化和时间的关系，预测事物在未来时间上所可能达到的数量和规模。确定性时间序列分析方法——发展水平分析、发展速度分析、趋势变动分析、周期波动分析。随机性时间序列分析方法——根据随机过程理论，对随机时间序列进行分析。如Box-Jenkins方法。1700—1995年中国和世界其他主要国家（地区）GDP（按1990年国际元计算，单位：亿元）时期中国日本欧洲美国俄罗斯印度全世界170082816283561268123590182022862091880126338111070641952305720291758216771512622665916119789359144625220940623171526308186831199531963247637004861495648714370294213

1、1820年，按1990年国际元计算，中国GDP为2286亿元，遥遥领先于其他国家；

美国只有126亿元，不足中国GDP的6%；

日本GDP为209亿元，只相当于中国GDP的9%。

2、1952年，按1990年国际元计算，美国GDP跃升到16771亿元，比1820年增加132倍；

中国为3057亿元，仅比1820年增加40%，被美国远远地抛在后面。1700—1995年中国和世界其他主要国家GDP占世界GDP的比重（%）主要国家170018201890195219781995中国23.132.413.25.25.010.9印度22.615.711.03.83.44.6日本4.53.02.53.47.78.4欧洲23.326.640.329.727.923.8美国0.01.813.828.421.820.9苏联/俄罗斯3.24.86.38.79.22.21700—1995年中国和世界其他主要国家GDP增长率（年均增长率，%）主要国家1700—18201820—19521952—19781978—1995中国0.850.224.407.49印度0.260.544.024.63日本0.211.747.853.21欧洲0.681.714.271.74美国2.573.783.462.47苏联/俄罗斯0.862.084.75-5.56全世界0.571.624.522.70

1、1700—1820年，经济增长最快的国家是美国，年均增长2.57%,其次是俄罗斯和中国，日本和印度经济增长较慢，大大低于世界平均水平。

2、1820—1952年，经济增长最快的国家仍是美国，年均增长3.78%,其次是苏联/俄罗斯和日本，中国经济增长最慢，大大低于世界平均水平。1700—1995年中国和世界其他主要国家人均GDP（按1990年国际元计算）时期中国日本欧洲美国俄罗斯印度全世界1700600600870600600531604182060067511291260751531673195253723514374106452928609226819789791258110860182516565972438219952653197201395123377438315685194

1、1700年，中国、美国和日本的人均GDP大体上处于相同的水平。

2、1820年，与1700年相比，中国人均GDP基本上没有发生变化，美国则增长了1倍以上，日本增长了12.5%。

3、1952年，与1820年相比，美国人均GDP增长了83倍，日本人均GDP增长了2.5倍，中国人均GDP却下降了10%以上。

——以上数据摘自国家统计局核算司司长许宪春《中国国内生产总值核算及其评论与分析》的讲课提纲——2004年4月第一节时间序列及分析方法概述第二节时间序列的指标分析第三节时间序列的因素分析第四节EXCEL时间序列分析第一节时间序列及分析方法概述

时间序列是把反映某种现象（同一空间同类指标）在时间上变化、发展的一系列统计数据按时间先后顺序排列起来所形成的序列。基本形式（基本要素）时间……

指标值……一、时间序列的概念和要素国内生产总值等时间序列年份国内生产总值(亿元)年末总人口(万人)人口自然增长率(‰)居民消费水平(元)199019911992199319941995199619971998…18547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674772.479552.8…114333115823117171118517119850121121122389123626124810…

14.3912.9811.6011.4511.2110.5510.4210.069.53…8038961070133117812311272629443094…二、时间序列的种类时间序列平均指标序列总量指标序列相对指标序列时期序列时点序列国内生产总值等时间序列年份国内生产总值(亿元)年末总人口(万人)人口自然增长率(‰)居民消费水平(元)199019911992199319941995199619971998…18547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674772.479552.8…114333115823117171118517119850121121122389123626124810…

14.3912.9811.6011.4511.2110.5510.4210.069.53…8038961070133117812311272629443094…

时期序列和时点序列的不同特点：

时期序列：各时期上的数值分别反映现象在一段时期内所达到的总规模、总水平；不同时期的时期数值可以相加，相加后的结果有独立意义；时期数值的大小与时期的长短有直接关系；时期越长，数值越大。

时点序列：各时点上的数值反映现象在某一时点上所达到的总规模、总水平；不同时点上的数据具有不可加性，即相加后的结果没有意义；时点数值的大小与相邻两时点间的间隔长短没有必然联系。

三、时间序列的编制原则

----基本原则是保证可比性

1、时间可比

2、总体范围可比

3、计算口径可比

4、经济内容可比四、时间序列分析方法指标分析法、构成因素分析法（一）时间序列指标分析法是指通过计算一系列时间序列分析指标（发展水平、平均发展水平、增减量、平均增减量，发展速度、平均发展速度、增减速度、平均增减速度）来揭示现象的发展变化状况和发展变化程度。（二）时间序列构成因素分析法是将时间序列看作是由许多因素共同影响所至，任何一个时间序列都是由这些因素的全部或部分所构成，通过对这些构成因素的分解分析，揭示现象随时间变化而演变的规律；并在假定事物今后的发展也遵循这些规律的基础上，对事物的未来发展做出预测。一、时间序列水平分析指标（一）发展水平第二节时间序列指标分析法现象在不同时间上所达到的规模和水平的数量反映；也就是时间数列中的各项指标数值。从指标形式上看，分为总量水平、相对水平、平均水平；总量水平常用a或b表示，相对水平、平均水平常用c表示。从位置来看，分为最初水平、中间水平和最末水平；最初水平常用a0（

b0、c0）或a1（

b1、c1）

表示，最末水平常用an.（

bn、cn）表示。从在分析中的关系看，分为报告期水平、基期水平；文字表述：“为”、“（发展、增长…）到。”例如，“经测算，2004年8月份，全国居民消费价格总水平比去年同月上涨5.3％。上涨5.3％的简单解释就是，去年8月份平均销售价格为100元的商品，今年8月份的卖价已达到105.3元。”不同时间上发展水平的平均（又称为序列平均数）。与一般平均数（静态平均数）的异同

相同点：均能消除数量差异，反映一般水平。

不同点：动态平均数消除的是现象在不同时间上的数量差异；综合说明现象在一段时间的一般水平。静态平均数消除的是总体各单位的数量差异；综合说明总体各单位的一般水平。（二）平均发展水平1、总量指标发展水平（序列平均数）的计算（1）由时期序列计算平均发展水平

例，我国2000—2003年的国内生产总值分别为89442.2亿元、95933.3亿元、102398亿元、116694亿元，则该期间我国国内生产总值年平均数为：

（2）由时点序列计算平均发展水平①连续时点序列计算平均发展水平

例，某商业银行某年1月13日—17日的存款余额（万元）分别为：766、664、843、578、639，则这5天的平均余额为：（766+664+843+578+639）/5=698（万元）月份3月末4月末5月末6月末库存量66726468（百件）

②间断时点序列计算平均发展水平不连续时点数列计算序时平均数—

例，某商业企业某年第二季度某种商品的库存量如下，求该商品第二季度月平均库存量。696866第二季度月平均库存=（69+68+66）/3=67.67（百件）

该公式形式上表现为首末两项数值折半，故称为“首末折半法”。显然，首末折半法适用于间隔相等的时点序列求平均发展水平。其假设条件是：上期期末时点数据即为本期期初时点数据，相邻两时点间现象的数量变动是均匀的。1999年2000年2001年2002年2003年1479214849149081484514668

已知某地区1999—2003各年年末社会劳动者人数（万人）如下表所示，求2000—2003年的年平均社会劳动者人数。

例：某地区某年商业从业人数资料如下，计算该地区该年月平均商业从业人员数。

1月1日4月30日10月31日12月31日商业从业人数231216268247某地区商业从业人员数单位：万人231216268247一般公式：

当时点间隔相等，上式简化为:“首末折半法”—先求分段平均数=相邻两点数据的简单算术平均再求全期总平均数=分段平均数的加权算术平均

（权数f=时点间的间隔长度）计算步骤和公式

对于间隔不等的时点序列，求平均发展水平时，是以间隔期数为其权数的加权平均。“首末折半”公式和“间隔加权”公式并没有实质上的不同，前者不过是后者的特例而已。

无论间隔是否相等，间断时点序列计算的平均发展水平其结果都仅仅是一个近似值。一般地，间隔越短，结果越符合实际。

2.相对数序列或平均数序列平均发展水平的计算相对数（这里仅指静态相对数）或平均数序列中的各项数值是根据两个有联系的总量数据对比而求得，用符号表示即c=a/b。因此，由相对数或平均数序列计算平均发展水平，应当符合该相对数或平均数本身的计算公式，即由而得到，而不应当由得到。例，某公司最近三年销售额计划完成情况如下：年度序号计划销售额（百万元）实际销售额（百万元）销售额计划完成（%）11001051052400380953200200100合计70068597.86

该例中，公司销售额三年总的计划完成（也就是三年的平均计划完成）如果用简单平均公式，显见应当等于100%，但实际上为97.86%。这主要是由于销售额所占比重较大的第二年没有完成计划所至。可见，各年度的销售额（准确说是各年度销售额在全部销售额中的比重）在三年总的销售额计划完成（或称为平均计划完成）中起着权衡轻重的作用。现假设已知各年计划销售额（设为b）和销售额计划完成百分数（设为c），而未知实际销售额，要求三年总的（平均的）计划完成百分数，根据计划完成百分数的公式有：用符号表示即：

可见这是一个加权算术平均公式，各年度的计划销售额在这里充当了权数，对三年总的计划完成百分数的计算起着权衡轻重的作用。又若假设已知各年度实际销售额（设为a）和计划完成百分数（c）而未知计划销售额，则有：

这是一个加权调和平均公式，各年度的实际销售额在这里充当了权数，对三年的计划完成起着权衡轻重的作用。年序号考察企业数(个)实际销售额（万元）计划销售额（万元）计划完成（％）11222824095215375375100310525500105合计3711281115101.2

例：有下表资料：这样计算是否正确？为什么？【例】已知下表数据，计算第三产业国内生产总值占全部国内生产总值的平均比重。国内生产总值及其构成年份序号12345国内生产总值(亿元)

其中∶第三产业(亿元)第三产业所占比重(%)46759.414930.031.9358478.117947.230.6967884.620427.530.174772.424033.332.0979552.826104.332.81解：第三产业国内生产总值的平均数全部国内生产总值的平均数第三产业国内生产总值所占平均比重

根据下表数据计算第三次产业从业人员在全国从业人员中所占比重的平均数。年份序号12345678年末从业人数（万人）年末第三次产业从业人数（万人）第三次产业从业人数比重（%）63909647996555466373696006711967947118281297912979154561685117901183751224719.818.56885818.921.223.024.0826.026.4分子、分母均为时期序列：分子、分母均为时点序列（间隔相等和间隔不等两种情况）：分子是时期序列，分母是时点序列：分子是时期序列，分母是序时平均数序列：问题与思考若要求某年平均资产数量，已知该年：——年初、年末的资产总额；——各季度初、年末的资产总额；——各月初、年末的资产总额；应该采用哪种数据来计算？（三）增减量和平均增减量1、增减量（增长量）

增减量=报告期水平－基期水平说明现象在观察期内增减的绝对数量；基期不同，有逐期增长量与累计增长量之分：*逐期增减量＝报告期水平－上期水平*累计增减量＝报告期水平－固定基期水平逐期增减量说明现象逐期增减的数量。累计增减量说明一段时期内总共增减的数量。

二者关系：累计增减量＝相应时期的逐期增减量的总和。（三）增减量和平均增减量逐期增减量和累计增减量。平均增长量——逐期增减量的序时平均数；——其方法是算术平均法。实际工作中，为了消除季节因素的影响，对于月度或季度数据，也可以本月（季）发展水平与上年同月（季）发展水平相减，表示本月（季）较之上年同月（季）增减的绝对数量，称为年距增减量年度序号123456GDP（亿元）8001020912110013001450逐期增减量——220-108188200150累计增减量——220112300500650环比发展速度%——127.5089.41120.61118.18111.54定基发展速度%100127.50114.00137.50162.50181.25环比增减速度%——27.50

-10.5920.6118.1811.54定基增减速度%——27.5014.0037.5062.5081.25增长1%的绝对值——810.209.1211.0013.00二、时间序列的速度分析指标（一）发展速度1.发展速度＝报告期水平／基期水平2.说明现象在观察期内发展变化的相对程度；3.有环比发展速度与定基发展速度之分*环比发展速度＝报告期水平／上期水平*定基发展速度＝报告期水平／固定基期水平

两种速度之间的重要关系：各环比发展速度的连乘积等于相应时期的定基发展速度；相邻两个定基发展速度之商等于相应的环比发展速度。为了消除季节因素的影响，实际工作中，也可以本期（月或季）发展水平与上年同期（月或季）发展水平相比，表示本期较上年同期发展的相对程度（称为年距发展速度）。（二）

增减速度环比增减速度=环比发展速度-1

定基增减速度=定基发展速度-1

注意：环比增减速度的连乘积并不等于相应时期的定基增减速度；两相邻定基增减速度之商也不等于相应时期的环比增减速度。增减速度不能直接进行计算，若给的条件为增减速度，必须将增减速度加1变成发展速度才能进行计算；若求增减速度，必须先求发展速度，再通过发展速度减1而求得。几个速度之间的关系二者关系：总增减速度不等于相应各环比增减速度之和（积）。相互关系如下所示：环比增减速度环比发展速度定基增减速度定基发展速度乘or除速度的表现形式和文字表述一般表示用%、倍数，也有用‰、番数表示从基期到报告期翻m番，则有：报告期水平=基期水平

发展速度—发展为、相当于、增长到、减少到、下降为…报告期水平增长为基期水平的…%；以基期水平为100%，报告期水平增长为…%.

增长速度—提高（了）、减少（了）、下降（了）、…。报告期水平比基期水平增长（了）的…%；

以基期水平为100%，报告期水平增长（了）…%。第三产业国内生产总值速度计算表年份序号12345国内生产总值(亿元)14930.017947.220427.524033.326104.3发展速度(%)环比定基—100120.2120.2113.8136.8117.7161.0108.6174.8增长速度(%)环比定基——20.220.213.836.817.761.08.674.8（三）平均发展速度和平均增减速度平均增减速度——表示逐期增减变动的平均程度，即各期环比增减速度的一般水平，但不能对各环比增减速度直接平均。因为：算术平均法或几何平均法都不符合增减速度这种现象的性质。

现象总量=各变量值之总和——算术平均法现象总量=各变量值之连乘积——几何平均法计算方法：平均增减速度=平均发展速度—1平均发展速度各期环比发展速度的序时平均数，表明现象在一段时期内逐期发展变化的平均程度。

其值大于1，平均增减速度为正值，称为平均递增率；其值小于1，平均增减速度为负值，称为平均递减率。平均发展速度的计算方法1、几何平均法（水平法）以xi表示环比发展速度，根据环比发展速度与总速度的关系，计算平均发展速度应该采用几何平均法：同一种方法，资料不同，有三种计算形式——例见教材。ｎ＝环比发展速度的个数＝数列发展水平项数－１用所求平均发展速度代表各环比发展速度，推算的最末一期的水平与实际相等，推算的总速度（最末一期的定基速度）也与实际相等。从最初水平a0出发，每期按平均发展速度发展，经过n期后正好达到最末期水平an；着眼于最末一期的水平，故称为“水平法”。如果关心现象在最后一期应达到的水平时，采用水平法计算平均发展速度比较合适。几何平均法的特点

三个公式中的n都是指环比发展速度的个数，也即时间序列项数减1。

例1、十六大报告指出：全面建设小康社会最主要的目标之一，是国内生产总值2020年力争比2000年翻两番（2000年为89404亿元），那么年平均增长速度和年均增长额至少为多少才能达此目标？

例2、1982年末我国人口是10.15亿人，若2000年要将人口控制在12亿人以内，人口年均净增长率应控制在多少？1982年人口净增长率为14.49‰，如果按此速度增长，2000年末将有多少亿人？

例3、某地区1980年国内生产总值为450亿元，若每年能保持8%的增长速度，问经过多少年能实现翻2番？经过多少年能达到1000亿元？

例4、某地区1980年国内生产总值为450亿元，若每年能保持8%的增长速度，问经过20年能够翻几番？平均发展速度平均增长速度几何平均法计算平均发展速度的特点：各期计算水平与各期实际水平并不相等，即：但最末一期计算水平与实际水平相等，即：

由于几何平均法着眼于末期水平，因而又常将其称为“水平法”。几何平均法的重要理论性质水平法的不足水平法只考虑计算期内首尾两项的水平——2、方程式法（累计法）

的基本思想各期实际水平的总和为：

再用平均发展速度去代表各期环比发展速度，应满足：用各期的环比发展速度xi去推算各期水平，则：解上述方程，其正根=平均发展速度。方程式法的特点其出发点是，用所求的代表各期的环比发展速度，则推算的各期水平之总和与实际相等。

侧重于考察全期总水平，计算结果取决于整个计算期各期水平的累计总和，故称为“累计法”。适用于：关心整个考察期内的总量时。几何平均法与方程式法的比较：计算方法不同着眼点不同（三）应用平均速度应注意的问题当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算速度，例如：假定某企业连续五年的利润额分别为5、2、0、-3、2万元，对这一序列计算速度，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析。总平均速度与各环比速度、分段平均速度结合；将速度与水平二者结合——常常用到增长1%的绝对值来补充说明增长速度（环比、定基）增长1%的绝对值=

平均速度兼有相对数和平均数的性质。表示：速度每增长一个百分点所对应的增加绝对量。年份甲企业乙企业利润额(万元)增长率(%)利润额(万元)增长率(%)20021000—120—200312002016840例：假定有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如下表：甲企业：增长1%的绝对值=10（万元）乙企业：增长1%的绝对值=1.2（万元）解读数据2004年8月份CPI同比上涨5.3％，涨幅与7月份持平。中国人民银行9月13日公布的月度金融运行报告显示：8月份，人民币新增贷款1157亿元，同比少增1651亿元。8月末，全部金融机构本外币并表各项存款余额增幅同比下降4.2个百分点。储蓄存款增幅连续下降，人民币储蓄存款余额11.4万亿元，同比增长15.3％，比上年同期低4.7个百分点，比上月末低0.6个百分点，增幅已连续7个月回落。

——《成都商报》2004.9.14

第三节

时间序列构成因素分析例【例】销售数据图（单位：百万元）

时间序列构成因素分析是将时间序列看作是由许多因素共同影响所至，任何一个时间序列都是由这些因素的全部或部分所构成。通过对这些构成因素的分解分析，揭示现象随时间变化而演变的规律；并在假定事物今后的发展也遵循这些规律的基础上，对事物的未来发展做出预测。一、时间序列的分解与组合

（一）时间序列的构成因素（二）时间序列的组合模型二、长期趋势的测定和分析（一）研究长期趋势的目的和意义（二）测定长期趋势的基本方法三、季节因素的测定与分析（一）研究季节变动的目的和意义（二）测定季节变动的常用方法四、循环周期的测定与分析（一）研究循环周期的目的和意义（二）测定循环周期的常用方法学习目标1.掌握时间数列的构成因素2.掌握长期趋势分析方法及应用移动平均法的特点方程拟合法（最小平方法）的应用3.掌握季节因素分析方法的原理原资料平均法、趋势剔除或趋势—循环剔除法4.掌握循环周期的分析方法了解分解法、增长率法一、时间序列的分解与组合

（一）时间序列的构成要素长期趋势(SecularTrend)季节变动(SeasonalFluctuation)循环变动(CyclicalVariation)不规则变动(IrregularVariations)长期趋势（SecularTrend)现象在较长时期内持续发展变化的一种趋向或状态；由影响时间序列的基本因素作用形成；时间序列的主要构成要素；4.有线性趋势和非线性趋势并分别有上升趋势、下降趋势以及水平趋势。线性趋势现象随时间的推移呈现出围绕某一直线上下波动的变化规律；ty2、测定方法有：移动平均法，线性方程拟合法。0481216

123456789101112131415零售量趋势值零售量（亿件）针织内衣零售量二次曲线趋势（年份）非线性趋势季节变动(SeasonalFluctuation)

是一种使现象以一定时期（如一年、一月、一周等）为一周期呈现较有规律的上升、下降交替运动的影响因素。通常使序列表现为一年内随着自然季节的更替而发生的较有规律的增减变化。周期长度不超过一年；有旺季和淡季之分；形成原因—有自然因素，也有人为因素。Fans风扇InthousandInthousandInthousandInthousandAirConditioner空调InthousandInthousandInthousandInthousand

这种因素的影响使现象呈现出以若干年为一周期、涨落相间、扩张与紧缩、波峰与波谷相交替的波动。不同于季节变动：周期长度大于1年；规律性（周期长度、波形、波幅等）不强；模型不易识别；形成原因错综复杂。也不同于长期趋势：不是沿着某一方向的持续运动，而是一种兴衰交替的周期波动。在波动幅度不大及经济背景不是很明显时，和随机波动不易区分。循环周期（循环变动）(CyclicalVariation)

循环变动C

与长期趋势T的异同同：都是现象在相当长时间内呈现出的规律性；异：T表现为单一方向的持续变动，C表现为波浪式的涨落交替的变动。循环变动C

与季节变动S的区别区别季节变动S循环变动C周期长度小于1年大于1年规律性（周期长度、波形、波幅等）稳定不稳定（周期相似，近乎规律的变动）模型的识别容易困难（需要数据多）形成原因较固定、直观不固定、错综复杂不规则变动

(IrregularVariations)包括随机变动和突然变动。随机变动—现象受到各种偶然因素影响而呈现出方向不定、时起时伏、时大时小的变动。它们难以把握、无法预测和控制，但在大量观察中其影响作用可能相互抵消。根据中心极限定理，通常认为随机波动近似服从正态分布（影响因素众多、相互独立、单个因素的影响作用很小时）。突然变动—战争、自然灾害或其它社会因素等意外事件引起的变动。影响作用无法相互抵消，影响幅度很大。一般只讨论有随机波动而不含突然异常变动的情况。时间数列——哪几种成分的共同作用？销售额季节调整后的销售额趋势值

某商品销售量的变动年份销售量（万件）100806040200（二）时间数列的组合模型

Y=T+S+C+I

（加法模型）

Yi=Ti+Si+Ci+Ii

Y=T×S×C×I（乘法模型）

Yi=Ti×Si×Ci×Ii在加法模型中各种影响因素是相互独立的，均为与Y同计量单位的绝对量。季节周期和循环周期的数值在各自的一个周期内总和（或平均）为零；不规则变动的数值从长时间来看，其总和（或平均）也应为零。各因素的分解是根据减法进行（如剔除趋势：Y–T=S+C+I）在乘法模型中只有长期趋势是与Y同计量单位的绝对量；其余因素均为以长期趋势为基础的比率，通常以百分数表示。季节周期和循环周期的数值在各自的一个周期内平均为1（or100%）；不规则变动的数值从长时间来看，其平均也应为1。各因素的分解是根据除法进行（如剔除趋势：Y/T=SCI）趋势模式：Y=T×I趋势季节模式：Y=T×S×I趋势循环模式：Y=T×C×I趋势季节循环模式：Y=T×S×C×I

时间序列的不同组合模式：思考与判断趋势模式：Y=T×I趋势季节模式：Y=T×S×I趋势循环模式：

Y=T×C×I趋势季节循环模式：Y=T×S×C×I二、长期趋势的测定和分析（一）研究长期趋势的目的和意义（二）测定长期趋势的基本方法移动平均法方程拟合法（一）研究长期趋势的目的和意义认识和掌握现象随时间演变的趋势和规律，为制定相关政策和进行管理提供依据；通过对现象过去变动规律的认识，对事物的未来发展趋势做出预计和推测；测定出趋势因素后，便于从原时间数列中剔除趋势因素，更好地分解、研究其他因素。（二）基本方法——

1.移动平均法

(MovingAverageMethod)移动平均，是选择一定的平均项数（常用N表示），采用逐项递移的方法对原时间数列计算一系列序时平均值；这些移动平均值消除或削弱了原数列中的不规则变动和其他变动，揭示出现象在较长时间内的基本发展趋势。例（季度数据季别商品零售量（万件）3项移动平均一/113.3

——218.235.448.1二/115.8220.437.649.9三/118.2222.739.6412.0四/120.7224.8311.7414.110.5712.309.7714.7714.6012.6311.9016.9316.8314.7714.1019.1719.0716.87——EXCEL链接移动平均法的特点

(应注意的问题)移动平均对数列具有平滑修匀作用，平均项数（K）越大，对数列的平滑修匀作用越强；（见表7-6及下图）移动平均法的特点(续)2。移动平均数应放在所平均时间的中间位置（作为中间一期的代表值或趋势值）；当N为奇数，只需一次移动平均；N为偶数，需再进行二项移动平均即移正平均（或中心化）（见表7-6及下表）。例（季度数据的移动平均）季别商品零售量（万件）

3项移动平均一/113.3——218.212.3035.410.57

48.19.77二/115.814.77220.414.6037.612.6349.911.90三/118.216.93222.716.8339.614.77412.014.10四/120.719.17224.819.07311.716.87414.1——11.912.413.013.414.014.615.115.616.316.817.317.8移正平均（中心化）————12.212.713.213.714.314.915.415.916.517.017.6————4项移动平均11.6

11.3（续）需要说明的是，为了预测方便，也可以将移动平均值放在所平均时间的最末一期。股票证券技术分析中的各种均线（即移动平均曲线）就是采用这种方法。EXCEL中移动平均即是这样处理的。但当T有升降趋势时，须注意移动平均值的时滞性。N越大，平均值对实际变化的跟踪反映越迟钝，滞后越严重。移动平均法的特点3.若数列包含周期性变动，为了消除周期变动而只反映T，应以周期长度作为移动间隔的长度，即：

K=周期长度若是季度资料，应采用4项移动平均；若为月份资料，应采用12项移动平均。EXCEL链接◆移动平均是否能消除循环变动，取决于移动平均的项数是否能与序列中的循环周期长度一致。

◆如果数列中各循环周期长度能始终保持一致，则相同平均项数的移动平均也能消除循环波动。

◆但循环波动的周期长度远不如季节周期长度那么有规律，在同一数列中，各循环周期的长度是各不相同的。因而，固定平均项数的移动平均也就很难将数列中的循环波动完全消除。移动平均是否能消除循环变动？（续）4.新数列较原数列项数少,造成部分信息缺损。N越大，缺项越多。

N为奇数时，新数列首尾各少（N-1）/2项；N为偶数时，（移正后）新数列首尾各少N/2项。（续）5.移动平均法可以呈现出现象的长期趋势（将平均值作为过去相应时间上的趋势值），但本身不能进行外推预测。只有当T为水平趋势时，才可用移动平均值作为最近一期的预测值。对于呈现增长（或下降）趋势的时间序列，若直接以本期移动平均值为下期预测值会产生滞后偏差。2、指数平滑法指数平滑法是一种特殊的加权移动平均法，其加权的特点是对离预测期近的历史数据给予较大的权数，对离预测期远的历史数据给予较小的权数，权数由近到远按指数规律递减，所以，这种方法被称为指数平滑法。一次指数平滑法⑴一次指数平滑的预测模型已知时间序列为：，n为时间序列总期数，一次指数平滑的基本公式为：

（t=1,2,3,…,n）一次指数平滑法平滑系数α的选择①当时间序列中随机波动成分较大时，α应取较小值，如0.1～0.3；②当时间序列长期趋势变化很平缓时，α应取较小值，变化很剧烈时α应取较大值；③在实际运用中，可取若干个α值进行试算比较，选择预测误差最小的α值。3.趋势方程拟合法——利用数学中的某种曲线方程对原数列中的趋势进行拟合，以消除其他变动，揭示数列长期趋势的一种方法。在只包含T、I中进行长期趋势的测定时应用较为广泛。趋势方程形式的选择定性分析根据有关理论、经验、结合现象变化特点；绘制观测值散点图或折线图。直观表现出数列的趋势类型；根据数列的数据特征加以判断

若数列的逐期增长量（一次差）大致为一常数,该数列呈直线趋势；因为：模型的数学特征

若数列各项数据的

K次差（K级增长量）大致为一常数，可对该数列拟合K次曲线；

因为的K阶导数为常数若数列的环比发展速度大致为一常数，可对该数列拟合指数曲线。因为：趋势模型的选择（续）4.对混合趋势形式的数列，也可采取分段拟合的方法，分别考察各阶段的趋势变化。但通常只能根据最后一阶段的趋势方程进行外推预测。模型的选择（续）5.若有多种曲线形式可供选择，则应选择其中均方误差最小者为宜。均方误差MSE的计算公式是：

m=模型中参数的个数用最小平方法估计方程参数(Least-SquareMethod）按最小平方法（最小二乘法）估计方程参数，要求满足两个条件：

实际上，能满足离差平方和最小的条件，第一个条件自然能够满足。直线趋势模型的参数估计直线趋势方程为：

代表时间序列的趋势值

t代表时间标号，常常取1、2、3、…n；a

、b为直线趋势方程的待估计参数。

a为趋势线在Y轴上的截距；

b

是趋势线的斜率，表示时间t

变动一个单位时观察值的平均变动数量；直线趋势模型的参数估计

（a和b的最小二乘估计）1.根据最小二乘法得到求解a和b

的标准方程为：即：例，我国GDP的直线趋势方程计算表计算结果

根据上表得a和b结果,并写出趋势方程如下：

用以推测2000年的GDP，则预测值为：EXCEL的主要输出结果：EXCEL链接——1978-2003年GDP的直线趋势拟合现象的发展趋势为二次曲线（抛物线）形态一般形式为：二次曲线（抛物线）a、b、c为未知常数根据最小二乘法求得（2）指数曲线(Exponentialcurve)

用于描述以几何级数递增或递减的现象，趋势方程形式为：式中，、a及t的意义同直线趋势方程；但b指时间每增加一个单位现象的发展速率。也就是说，直线方程反映的是等量增长的现象，而指数曲线方程反映的是等速增长的现象。若a>1，增长率随着时间t的增加而增加若a<1，增长率随着时间t的增加而降低若a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以0为极限采取“线性化”手段将其化为对数直线形式，根据最小二乘法，得到求解loga、logb的标准方程为：19762943.719835934.5199018547.9199774462.619773201.919847171199121617.8199878345.219783624.119858964.4199226638.1199982067.519794038.2198610202.2199334634.4200089442.219804517.8198711962.5199446759.4200195933.319814862.4198814928.3199558478.1200210239819825294.7198916909.2199667884.62003116694我国1976—2003年国内生产总值（亿元）：三、季节变动分析（一）研究季节变动的目的和意义（二）测定季节变动的常用方法原资料平均法趋势剔除法一、季节变动及其测定目的季节变动现象在一年内随着季节更换形成的有规律变动测定目的确定现象过去的季节变化规律；消除时间序列中的季节因素（更好地研究时间数列中的其它成分）。（二）测定季节变动的基本方法假定：Y=a.S.I

即假定时间数列为水平趋势（T=a，为常数）且无循环波动。计算季节比率S（或称为季节指数）根据原时间数列通过对同期数据求简单平均的方法来分离出季节变动因素1.原资料平均法（也可称为同期平均法）原资料平均法的计算步骤：1.计算同期平均数

各年（或各季节周期）第

期数据的平均；通过平均，消除（或减弱）了不同年份同一季节上I的影响，相当于（趋势值和该季节的季节比率）.原资料平均法的计算步骤(续)2.计算全部数据的总平均数（相当于a）；3.计算各期（季节）的季节比率：(季节比率计算表)某企业近几年的销售额数据年份销售额(万元)一季度二季度三季度四季度12345662.671.574.875.985.286.588.095.3106.3106.0117.6131.179.188.596.495.7107.3115.464.068.768.569.978.490.3合计456.5644.3582.4439.8同季平均76.