电路原理电阻电路的分析

第二章电阻电路的分析§2.1简单电阻电路的分析

§2.2等效电阻§2.3实际电源模型的等效变换§2.4电阻电路的一般分析

主要内容

电路等效变换的概念；电阻的串、并联；电源的串、并联及其等效变换；线性电阻电路方程的建立方法；电路图论的初步概念；支路电流法、网孔法、回路法和节点法。§2.1简单电阻电路的分析

本节为简单电阻电路的分析计算，着重介绍等效变换的概念。线性电路：由时不变线性无源元件、线性受控源和独立电源组成的电路，称为时不变线性电路，简称线性电路。2.线性电阻性电路：如果构成电路的无源元件均为线性电阻，则称为线性电阻性电路（或简称电阻电路）。3.直流电路：当电路中的独立电源都是直流电源时，这类电路简称为直流电路。2.1.1

电路的等效变换1.对电路进行分析和计算时，可以把电路中某一部分简化，用一个较为简单电路替代原电路。

例如，下图(a)中虚线框内有几个电阻构成的电路，就可以用一个电阻Req替代，如图(b)所示，使整个电路得以简化。(a)(b)2.用等效电路的方法求解电路时，电压和电流保持不变的部分仅限于等效电路以外，是“对外等效”。替换条件：端子ab以右的部分具有相同的伏安特性。等效电阻Req：取决于被替代的原电路中各电阻的值以及它们的联结方式。(a)(b)2.1.2电阻的串联及分压电阻的串联（电阻顺次首尾相连）1.特点：

I

相同(KCL)(KVL)(VCR)由KVL可得：等效电阻等效电阻消耗的功率等于串联电阻消耗的功率串联电阻可以用等效电阻来代替，图(a)的等效电路如图(b)所示。2.分压公式：（串联的目的）图(a)图(b)1.特点：

U相同(KVL)(KCL)(VCR)2.1.3电阻的并联及分流由KCL可得：等效电导或电阻的并联（电阻一端联在一起，另一端也联在一起）2.分流公式：（并联的目的）并联电阻可以用等效电阻来代替，图(a)的等效电路如图(b)所示。图(a)图(b)3.常见的情况：（两个电阻并联）根据可得且有4.注意三个以上电阻并联时的等效电阻计算2.1.4利用分压、分流分析电路分析简单电路的步骤：化简电路为一个等效电阻；利用KVL及欧姆定律计算；再利用串联电路分压、并联电路分流，计算出化简前原电路中各电阻的响应。关键是，准确判断复杂电阻网络中，哪些电阻是串联，哪些电阻是并联。简单电路：只有一个独立电源作用的电阻串并联电路，可以利用电阻串并联化简的方法，化电路为一个等效电阻和电源组成的单回路。例如图所示，电阻R1、R2和电压源Us已知，RL为负载电阻，求输出电压Uo。解：电阻R2和负载电阻RL并联，等效电阻为R2//RL，利用分压公式可得例试求下图所示二端网络的等效电阻Rab。

观察电路图可见，右边的两个电阻(4Ω和2Ω)是串联关系，故第一步应先计算这两个电阻的串联。

Rb＝4＋2＝6Ω图(a)解：对于这样问题，应先从电路的最右边入手。图(b)得到图(b)，计算两个电阻3Ω与6Ω的并联。图(c)得到图(c)，再计算

R串

=2+2=4Ω图(d)如图(d)所示解：图(a)中无电阻的长导线缩成一点，则(a)图可以改画成(b)图（“并联”的定义）。则等效电阻为例求下图所示电阻电路的等效电阻Rab。图(a)图(b)abW12ooW12W12W12W6W6W4W4§2.2等效电阻

Wheatstone电桥测量电阻；

对称桥型电路等效电阻；对称电路等效电阻；电阻的三角形联结与星形联结的等效变换。

2.2.1Wheatstone电桥测量电阻其原理电路如图

通过被测电阻与标准电阻进行比较而获得测量结果。一般Rb为可调电阻，适当调节其值，使B、D两点间的电位相等，从而使通过检流计的电流为零IG=0，这时电桥达到平衡，未知电阻为

证明：因为可以看作开路，UBD=0可以看作短路。所以B、D间既可以看作开路，也可看作短路。因为UBD=0，所以得证例求图所示电阻电路的等效电阻Rab。解:图中右上角五个电阻构成一个平衡电桥，故图可简化成右上方的图。则等效电阻为2.2.2含平衡电桥的等效电阻对称性（symmetry）：一个系统对某种操作状态不变（等价），则该系统对此操作具有对称性（H.Weyl.1951），该操作称对称操作（symmetryoperation）

常见的对称操作：镜像对称、旋转对称等。对称性原理：PierreCurie首先提出，具体内容如下，原因中的对称性必反映在结果中，结果中的对称性至少有原因中的对称性一样多；结果中的不对称性必然出自原因中的不对称性，原因中的不对称性至少有结果中的不对称性一样多。2.2.3对称电路的等效电阻对称性原理是凌驾于物理规律之上的自然界的一条基本原理。Thediamondstructure如图，对称轴为图中虚线，沿虚线左右对折，电路图重合，由于电路图结构及电阻值对称，对称部分的响应相同，即c、d两点电势相同。ab两点间的等效电阻为对于较复杂电路的等效电阻，如果存在对称性，可以不必详细求解，化复杂为简单，得到正确结果。Rab=?2.2.4电阻的三角形联结与星形联结的等效变换2.2.4电阻的三角形联结与星形联结的等效变换星形(Y)联结：三个电阻的一端联在一起，另一端分别接在电路的三个节点上。三角形()联结：三个电阻首尾相接，联成一个三角形，其三个顶点是电路的三个节点。形联结一、星形联结变换成三角形联结Y形联结(1)(2)(3)(4)图(a)图(b)Y形联结(1)(2)(3)(4)其中(3)式可写为，将其带入(2)式中可得(5)将(5)式两边同时乘以R2，可得(6)将(1)式两边同时乘以(R2+R3)，可得(7)将带入(8)式，可得(6)(7)由(6)式和(7)式可推出(8)Y形联结(1)(2)(3)(4)(5)同理可得又因为即即二、三角形联结变换成星形联结1.因为2.又有3.则即

同理和三、归纳1.为了便于记忆，以上公式可归纳为：Y形电阻=形相邻电阻的乘积形电阻之和形电阻=Y形电阻两两乘积之和Y形不相邻电阻2.特殊情况：（1）当星形三个电阻的大小相等(即R1＝R2＝R3＝RY)时，等效变换成三角形后，三个电阻也相等(R12＝R13＝R23＝RΔ)，则公式变为RΔ＝3RY

。（2）当三角形三个电阻的大小相等(即R12＝R13＝R23＝RΔ)时，等效变换成星形后，三个电阻也相等(R1＝R2＝R3＝RY)，则公式变为：RY＝1/3RΔ例已知如下图(a)

所示电路，试求电流I。解：该电路右边有三个3Ω电阻是星形联结，对它们进行星形和三角形等效变换。得到三角形联结的三个等值(9Ω)电阻，如图(b)所示。此时再进行并联等效变换见图(c)所示。于是可求得电流I：最后变换成图(d)所示的最简电路(单回路电路)，例求图示电阻电路的等效电阻Rab

。（2）图(a)可改画成图(c)，其中含有一个电阻平衡桥，则等效电阻为图(a)图(b)图(c)解（1）对图(a)进行变换，可得图(b)。从图中可以看出，等效电阻为123123例求图(a)、(b)所示电阻电路的等效电阻Rab。图(a)解：图(a)中8个电阻是并联的，则其等效电阻为图(b)图(b)图(b1)解：图(b)是由两节电阻平衡桥构成的，断去第二节电阻平衡桥，则得(b1)图。等效电阻为例2.2.5求图2.2.5所示的无限长的电阻网络的等效电阻。图2.2.4所示的十边形和正立方体，每边电阻均为1，求等效电阻。理想电压源、电流源是实际电源的理想化模型；根据“等效电路”的对外等效含义，多个理想电源的组合可用一个等效的理想电源替代；实际中的电源模型，一般来说，也有两种形式。§2.3实际电源模型的等效变换一、电压源的串联：1.不同源电压的电压源可以串联，等效源电压等于各串联电压源源电压的代数和。2.

不同源电压的电压源不允许并联（违反了KVL）。2.3.1理想电压源、理想电流源的联接根据KVL，端口处的电压U为

对外等效，只用电压源替代。

3.电压源与任一部分电路并联，二、电流源的并联：1.不同源电流的电流源可以并联，等效源电流等于各并联电流源的源电流的代数和。

2.不同源电流的电流源不允许串联（违反了KCL）。根据KCL，端口处的电流为

对外等效，只用电流源替代。

3.电流源与任一部分电路串联

，例求所示电路的最简等效电路。解：原图涉及电流源串联与并联。2A电流源与电阻及电压源串联的结果等效为2A的电流源，再利用电流源的并联，得到原图的最简等效电路——5A的电流源。2.3.2实际电源模型的等效变换一、实际电源模型：1.实际电源如干电池、蓄电池、直流发电机等，当通过的电流较大时，端口电压会有所下降。2.实际电压源实测的端口伏安特性如图(a)所示。而实际电流源实测的端口伏安特性如图(b)所示。

图(a)图(b)2.3.2实际电源模型的等效变换一、实际电源模型：1.实际电源如干电池、蓄电池、直流发电机等，当通过的电流较大时，端口电压会有所下降。2.实际电压源实测的端口伏安特性如图(a)所示。而实际电流源实测的端口伏安特性如图(b)所示。

图(a)

图(b)3.实际电源都有内阻，所以实际电源可以用理想电压源US串联电阻R的模型或理想电流源IS并联电阻R的模型来表示。分别如图(a)和图(b)所示。图(a)图(b)二、实际电源两种模型的等效变换：1.理想电压源US、串联电阻R模型，RI

伏安特性曲线根据KVL和欧姆定律，端口的伏安关系方程为：

U＝US－RI

2.理想电流源IS、并联电阻R模型，

变换后为这个等效条件就是实际电源的两种模型进行等效变换的条件，也是等效变换的计算方法。在进行等效变换时，应注意电压源的参考极性和电流源的参考方向。3.将上式和U＝US－RI

进行比较后，可得等效条件根据KCL和欧姆定律，模型端口上的伏安关系方程为：

三、注意的问题：1.两种组合的等效变换只是对外电路而言的，对其内部不等效。例如：图(a)所示电路开路时，PR=0；

而图(b)所示电路开路时，PR=RIs2

=Pmax。2.受控源构成的模型也可等效变换，但控制量必须保留，否则无法计算。图(a)图(b)例求图(a)所示电路中的电流I。图(a)解:此题只求2Ω电阻中的电流I。为此应将电路的其他部分尽量化简。首先是将图(a)中的Y形联结三个电阻(10Ω，4Ω，4Ω)变换成Δ形联结，如图(b)所示。图(b)图(a)图(b)图(d)图(c)图(c)中两个6V电压源反向串联互相抵消，并把8Ω电阻与12V电压源串联等效变换成8Ω电阻与1.5A电流源并联，则得图(d)。由图(d)得例求图所示电路中的电流I1、I2。解:图(a)中含有一个CCCS，在进行等效变换时要保证控制量I1所在的支路不参与变换。因此，先把受控电流源2I1与3Ω电阻的并联等效地变换为受控电压源6I1与3Ω电阻的串联，如图(b)所示。图(b)图（a)图(b)图(c)解得电流I2为再把图(b)中的受控电压源6I1与5Ω电阻串联等效变换成受控电流源1.2I1与5Ω电阻并联，如图(c)所示。由图(c)得§2.4电阻电路的一般分析

电路分析想干什么？

电路中所有支路的电压、电流及功率。到目前为止，我们所拥有的方法：

Ⅰ、VCR；(本征关系)

Ⅱ、KCL+KVL。（拓扑关系）支路电流法网孔电流法回路电流法节点电压法2.4.1网络图论简介1.数学中，图是点和边的一个集合，每条边的两端都连到相应的节点上。（但节点可以是孤立的。）2.电路的“图(graph)G”：把电路中每一条支路画成抽象的线段，节点用点来表示，形成一个点和边的集合。图(a)若认为每一个二端元件构成电路的一条支路，(b)为(a)的“图”图(b)例如：画出下面电路图(a)的“图”。图(c)若将US1与R1的串联看作是一条支路，图(c)为电路图(a)的“图”;图(d)同时，若将IS5与R5的并联看作是一条支路，图(d)为电路图(a)的“图”;图(a)当用不同的元件结构定义电路的一条支路时，该电路以及它的图的节点数和支路数将随之而不同。3.(1)有向图：赋予支路方向的图称为“有向图”。此方向即该支路电流（电压与之相关联）的参考方向。图(a)图(e)(2)无向图：不赋予支路方向的图称为“无向图”。例如图(b)、图(c)和图(d)。图(b)图(c)图(d)图(a)(4)平面图：如果一个图画在平面上，各条支路除了联接的节点外不再交叉，这样的图称为平面图。网孔：平面图的自然回路，网孔内不包含任何支路。(3)回路（loop）L：由支路和节点构成的闭合路径。（任一节点只经过一次；起点与终点重合）。672回路L1

16237458图G

不是回路1637586.(1)树：是连通子图；包含全部节点；但不含回路。对左图来说，它的树有:(2，3，4)、(1，4，5)等。(1，2，4)、(2)“树数”：非常大。例如上图的树数为16。(3)“树支数”：n个节点的图，任何一个树的树支数为（n-1）个。(4)连支的数目：b-(n-1)=b-n+1。2个节点其他节点为(n-2)个节点1与节点n

构成一条树支，若其他(n-2)个节点各个都与节点1相连，则又形成(n-2)个树枝，因此总树支数为(n-1)个。树的支路称为树支；树支之外的支路称为连支。7.单连支回路（基本回路）：对于图的任意一个树，每加入一个连支后，就会形成一个回路，并且此回路除所加连支外均由树支组成，这种回路叫单连支回路。单连支回路独立回路（2，3，4）构成树单连支回路

（2，3，1）、（3，4，5）、（2，4，6）2.4.2KCL、KVL独立方程的个数一、独立的KCL方程数对图中的节点①、②和③分别列出KCL方程

三个方程相加，可得即是节点④的KCL方程

结论：n个节点的电路，在任意(n-1)个节点上可以得出(n-1)个独立的KCL方程。

二、独立的KVL方程数图中实线组成树，树支为支路4、5、6，连支为支路1、2、3，由3个连支构成3个基本回路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ即网孔。对每个网孔列出KVL方程为以上三个方程中，都至少包含一个支路电压（连支电压）只出现在本方程中结论：n个节点、b条支路的电路，有(b-n+1)个基本回路，而平面回路的网孔数即为基本回路数。

2.4.3支路电流法

一、2b法

对于具有n个节点、b条支路的电路，通过上面的分析可知，能够拥有的独立方程数为：以2b个变量列方程，解方程，求解电流、电压的分析方法叫做2b法。

独立KCL方程：（n-1）个独立KVL方程：b-(n-1)个（平面电路的网孔数）支路VCR:b个例如，用2b法解下图所示电路，列出方程。如果将R1与US1的串联看作一条支路，将R5与IS5的并联也看作一条支路，则此电路中支路数为6条，节点数为4。作出此电路图的图，如图(b)所示。图(a)图(b)图(b)根据图(b)、图(a)，分别列出KCL、KVL和VCR方程。KCL：选择网孔作回路列KVL方程KVL：VCR：2b法优点：任何电路都可解；缺点：未知量、方程数目过多。312图(a)二、支路电流法（列KCL、KVL方程，将VCR带入KVL方程）VCR：2.已知KVL：3.将VCR方程带入下式中可得：1231.KCL：2.将独立电压源及用独立电流源和电阻乘积表示的电压移到等式右边，方程可表示为：即：3.列出支路电流法的电路方程步骤如下：画图、选定各支路电流的参考方向;根据KCL对(n-1)个独立节点列方程;任选(b-n+1)个独立回路，指定回路绕行方向，按列KVL方程;求解b个方程式，解出b个电流。三、解：对节点列KCL方程对中间的网孔列KVL方程补充方程解得：例电路如图所示，求电流I1、I2和I3。例如图所示电路，试求电路中的电流I1、I2和U。解：运用支路电流法求解。该电路有3个节点，分别用,

和表示。5条支路，其余3条支路的电流设为I3、I4和I5。选择节点、为独立节点，列写KCL方程，对3个网孔列写KVL方程：KCL：I1＋I3－I5＝0I5－I2－I4＝0－4I1＋4I3＝84I1＋5I2＋2I5＝0－5I2＋3I4＝－6KVL：解得：I3I4I51232.4.4网孔电流法与回路电流法1.思路：a.对支路电流法来说，b条支路，列b个方程式，数目还太大。b.分析：(1)若I1+I2+I3=0，则I1=-I2-I3，从中可以看出对于一个KCL方程式来说，有一个I是不独立的；(2)G(n,b)中独立的KCL方程数为(n-1)个，故(n-1)个电流是不独立的，则独立的电流为(b-n+1)个，正好等于网孔数（独立回路数）。一、网孔电流法c.假想电流，沿平面电路的网孔连续流动，称此电流为网孔电流。网孔电流是一组独立的、完备的网络变量。设网孔电流Im1，Im2，将上式带入KCL方程中，有d.KCL方程为：-I1+I2+I3=0即0=0，网孔电流从各节点流入一次，流出一次。所以网孔电流自动满足KCL方程。则有：Im1Im2e.列KVL方程：将网孔电流带入KVL方程中，可得：写成一般形式：Im1Im2一般形式：其中：式中，R11是网孔1的自阻，R22是网孔2的自阻，R12与R21是网孔1和网孔2的互阻；US11是网孔1电压源电位升的代数和，US22是网孔2电压源电位升的代数和。Im1Im22.对具有m个网孔的平面电路列方程R11Im1＋R12Im2＋…＋R1mImm＝US11R21Im1＋R22Im2＋…＋R2mImm＝US22┆┆┆┆Rm1Im1＋Rm2Im2＋…＋RmmImm＝USmm式中,Rkk(k=1，2，…，m)为网孔k的自阻，总是正的；Rkj是网孔k

和j之间的互阻，可正可负；Uskk表示网孔k中的电压源电位升的代数和。在无受控源的电路中Rjk=Rkj

。

3.解题步骤(1)规定网孔电流的方向;(2)列出网孔电流的方程（实际是电压方程）;(3)解此方程（消元法、行列式）;(4)规定支路电流的参考方向，由网孔电流求得支路电流;(5)检验：对外网孔列KVL方程式，计算RI是否等于US。例已知如图(a)所示电路，用网孔电流法求电路中的电流I1、I2和U。图(a)图(b)网孔1:

8Im1－4Im2＝8网孔2:

－4Im1＋11Im2－5Im3＝0网孔3:－5Im2＋8Im3＝－6解：设网孔电流，如图(b)所示。解得:最终求得:8Im1－4Im2＝8－4Im1＋11Im2－5Im3＝0－5Im2＋8Im3＝－6二、回路电流法问题引入：列下列电路的网孔方程原因：网孔电流法的局限性二、回路电流法1.思路：能否灵活选择独立回路？除了网孔外，所有单连枝回路都是独立回路在图中选择（4，5，6）为树支，则构成3个单连支回路。设回路电流为Il1、Il2、Il3，方向如图所示则有：Il1=I1Il2=I2Il3=I3且有：I4=-Il1+Il2I5

=-Il1-Il3I6

=-Il1+

Il2-Il3说明全部支路电流可以通过回路电流表示。回路电流是一组独立的、完备的网络变量。Il2Il1Il32.与网孔电流法方程式相似，回路电流法一般方程形式为：R11Il1＋R12Il2＋…＋R1lIll＝US11R21Il1＋R22Il2＋…＋R2lIll＝US22┆┆┆┆Rl1Il1＋Rl2Il2＋…＋RllIll＝USll3.解题步骤：(1)选一个树，连支电流为回路电流；(2)列出回路电流的方程（计算各回路的自阻、互阻及uSkk）；(3)解方程（消元法、行列式）；例已知下图所示电路中US1=50V，US2=20V，IS2=1A，此电流源为无伴电流源。试用回路法列出电路的方程。解：假设回路电流Il1、Il2、Il3如图所示，各回路的回路电流方程为：

Il1=1A-40Il1+95Il2-25Il3=3010Il1-25Il2+45Il3=0Il1Il2Il3例已知如图所示的电路，试求电路中的电压U。解：假设回路电流Il1、Il2、Il3如图所示回路电流方程为：(2+3+4)Il1－4Il2－3Il3＝2I＝2Il1－4Il1＋(4+5)Il2－5Il3＝－6Il3＝2A整理后得：7Il1－4Il2＝6－4Il1＋9Il2＝4求出：则U＝5×(2－Il2)＝5×(2－52/47)＝Il1Il2Il3其他方法？2.4.5节点电压法1.思路：a.一个具有n个节点的电路，如果n比较少，则以节点电压为未知量列写电路方程数少。(1)每个回路的支路电压满足KVL，因此，每个回路有一个支路电压是不独立；(2)G(n,b)中独立的KVL方程数为(b-n+1)个，故(b-n+1)个支路电压是不独立的，则独立的电压为(n-1)个。b.分析：一、节点电压法c.以电路中一个节点为参考节点，其他节点为独立节点，独立节点相对于参考节点的电压称为节点电压。

以节点为参考节点，节点①、②和③为独立节点，其节点电压分别用Un1、Un2、Un3表示，而、、即节点电压天然满足KVLe.列KCL方程：列节点①、②和③的KCL方程各支