2021版新高考数学：节二项式定理含答案

/23教学资料范本2021版新高考数学：节二项式定理含答案编辑：时间：第二节二项式定理［考点要求］会用—项式定理解决与—项展开式有关的简单问题.(对应学生用书第187页)二项式定理二项式定理：(a+b)n=Cgan+C^an—1b+…+Cnan—rbr+…+Cnbn(nWN*)；通项公式：T”+］=Cnan-rbr，它表示第r+1项；二项式系数：二项展开式中各项的系数C0C1,…，Cn.二项式系数的性质性质性质描述对称性增减性与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ck=Cn-k二项式当k<~r(n^N*)时，二项式系数是递增的系数Ck(n^N*)时,二项式系数是递减的n当n为偶数时，中间的一项C2n取得最大值最大值n_ln+1当n为奇数时，中间的两项C2n和C2n相等，同时取得最大值3•各二项式系数和(a+b)n展开式的各二项式系数和：C0+CA+C3+Cn=2n，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即cn+cn+c4+^cA+cn+c5+一、思考辨析(正确的打“V”，错误的打“X”)⑴Cnan-rbr是(a+b)n的展开式中的第r项.()二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()⑷通项Tr+=Cnan-rbr中的a和b不能互换.()［答案］⑴X⑵X(3)V(4)V二、教材改编(1—2x)4展开式中第3项的二项式系数为()

A.6B.-6C.24D.-24A[(1—2x)4展开式中第3项的二项式系数为C2=6.故选A.]二项式(*—2yj5的展开式中x3y2的系数是()A.5B.-20C.20D.-5A[二项式(2x—2yj5的通项为T”+1=C5(2x)5-r(—2y)r.根据题意，得5—r=3,(1、3=2解得r=2.所以x3y2的系数是C2|j丿X(—2)2=5.故选A.]CO019+C1019+C2019C2019的值为C2020+C2020+C2020——C2020的值为()A.B.A.C.2019C.2019D.2019X20202201922019,,宀[原式=22020—1=22019=1.故选A.]4.若(x—1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，贝廿a0+a2+a44.[令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4=0,令x=—1,a°—。1+。2—03+04=16,两式相加得a0+a2+a4=8.]（对应学生用书第188页）考点1二项式展开式的通项公式的应用形如(a+b)n的展开式问题求二项展开式中的项的3种方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项一般需要建立方程求r,再将r的值代回通项求解，注意r的取值范围(r=0,1,2,…，n).第m项：此时r+l=m,直接代入通项；常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.(1)(20xx・全国卷111右2+J的展开式中14的系数为()TOC\o"1-5"\h\zA.10B.20C.40D.80⑵若]ax2+*F的展开式中x5的系数是一80，则实数a=.(3)(20xx・浙江高考)在二项式(J2+x)9的展开式中，常数项是；系数为有理数的项的个数是.C(2)-2(3)16\/25[(1)T”+]=C5(x2)5—(|J=C52fo-3r，由10—3r=得r=2,所以|4的系数为C5X22=40.|10-?,令10[ax2+霞『的展开式的通项T”+1=C5(ai2)5-r•x—|10-?,令10一2厂=5,得r=2,所以C5a3=—80,解得a=—2.由题意，Cj2+x)9的通项为T”+]=C9(事2)9-rir(r=0,1,2-9),当r=0时，可得常数项为T]=00(1/2)9=16)/2；若展开式的系数为有理数，则r=1,3,5,7,9,有T2,T4,T6,T8,T10共5个项•]已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k+1项，由特定项得出k值，最后求出其参数.[教师备选例题]1—90C10+902C20—903C30——(一1)k90kCl0——901OC10除以88的余数是()A.—1B.1C.—87D.87B[1—90C10+902C10—903C10+•••+(—1)k9OkCkO+・・・+9O1oC1O=(1—9O)1o=891o=(88+1)1o=881o+C1O889+・・・+C9O88+1,V前10项均能被88整除，・•・余数是1.]1.在(兀2—4)5的展开式中，含X6的项为.160x6［因为(x2—4)5的展开式的第k+1项为Tk+i=C5(x2)5—k(—4)k=(—4)kC5X10—2k,令10—2k=6,得k=2,所以含x6的项为T3=(—4)2・C2x6=160x6.]2•若(x2+aXj"的展开式中常数项为16，则实数a的值为()A.±2B.1C.-2D.+112—3k,12—3k,令12(x2+ax的展开式的通项为Tg1=Ck(x2)6—k•(ar绘解得a=±2,故选A.]—3k=(ar绘解得a=±2,故选A.]故C4・形如(a+b)n(c+d)m的展开式问题求解形如(a+b)n(c+d)m的展开式问题的思路若n,m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a+b)2(c+d)m=(a2+2ab+b2)(c+d)m,然后展开分别求解.观察(a+b)(c+d)是否可以合并，如(1+x)5(1—x)7=[(1+x)(1—x)]5(1—x)2=(1—X2)5(1—X)2.分别得到(a+b)n，(c+d)m的通项公式，综合考虑.(1)(20xx・全国卷I)(l+x2j(1+x)6展开式中X2的系数为()A.15B.20C.30D.35(2)(1—嗔)6(1+皆)4的展开式中X的系数是()A.—4B.—3C.3D.4C(2)B[(1)因为(1+x)6的通项为C6xr,所以(l+x2j(1+x)6展开式中含X2的项为1・C6x2和£•C6X4.6x5因为C6+C4—2C6=2X2x1=30，所以(l+X2j(1+x)6展开式中X2的系数为30.故选C.(1—\''x)6(1+\,''x)4—[(1ijx)(1+\|'x)]4(1—L''x)2=(1—x)4(1—2\；'x+x).于是(1——摂)6(1+讨匚)4的展开式中X的系数为C4・1+C4・(一1)1・1=—3.]求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可.l.(x2+2)£—”5的展开式的常数项是()A.—3B.—2C.2D.3D［能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取X2项，第二个因式取x2项得X2Xx2XC4(_1)4—5；第一个因式取2，第二个因式取(一1)5得2X(―1)5XC5—_2，故展开式的常数项是5+(—2)=3，故选D」2.若(x2—a)b+Xj"的展开式中x6的系数为30，则a等于()A.£B.£C.1D.2D［由题意得D［由题意得(x+Xj"的展开式的通项公式是Tg1=CkO•xio-k•(xr=CkoX10-2k,'"的展开式中含x4(当k=3时)，x6(当k=X10-2k,Clo,Clo,因此由题意得CIO—aC20=120—45a=30,由此解得a=2,故选D.]形如(a+b+c)n的展开式问题求三项展开式中某些特定项的系数的方法通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解.两次利用二项式定理的通项公式求解.由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的

量.4\3+~—4）展开后，常数项4x是.—X+yf的展开式中，量.4\3+~—4）展开后，常数项4x是.—X+yf的展开式中，x3y3的系数是..（用数字作答）(3)设(x2—3x+2)5=a0+a]X+a2x2a10x10，则a1等于(厂2)6空—為(1)-160(2)-120(3)-240[(1)1x44—4)23x丿展开式的通项是Ck(\：X)6-k•、田令3—k=0，得k=3.=(—2)k•C6x3-k.所以常数项是C6（—2）3=—160.2x、622x卜y）表示6个因式x2—-+y的乘积，在这6个因式中，有3个因式X二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解.(20xx・全国卷I)(x2+x+y)5的展开式中，x5y2项的系数为()A.10B.20C.30D.60C[法一：利用二项展开式的通项公式求解.(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5，含y2的项为T3=C5(x2+x)3•y2.其中(x2+x)3中含X5的项为C1X4•X=C3x5.所以x5y2项的系数为C5C3=30.故选C.法二：利用组合知识求解.(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积，其中有两个取y,两个取x2,一个取x即可，所以x5y2的系数为C5C3C1=30.故选C.]2.(x——y)6的展开式中含xy的项的系数为2.A.A.30B.60C.90D.120[展开式中含[展开式中含xy的项来自C6(—y)i(x—)5,(x—)5展开式通项为T”+1=(=(-1)65—：r,令5-3厂=1r=3.(x—-)5展开式中x的系数为(一1)3C5,所以(x1y)6的展开式中含xy的项的系数为C1(-1)C3(-1)3=60所以(xB.]考点2二项式系数的和与各项的系数和问题赋值法在求各项系数和中的应用(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c^R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.⑵若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则fx)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+2,偶数项系数之和为a1+a3+』•")—fi(3\n(1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32:1,则x2的系数为()A.50B.70C.90D.120(2)(20xx・汕头质检)若(x+2+m)9=a0+a](x+1)+。2(兀+1)2+…+ag(x+1)9,且(a0+a2a8)2—(a1+a3+a9)2=39，则实数m的值为_(=4n,所以x4⑴C(2)—3或1中，各项系数和为4n，([(1)令x=1,则|xn的展开式4n又二项式系数和为2«,所以石=2"=32,解得n=5.二项展开式的通项T1=C5x5-rf'3r+1r33=C53rx5_2r,令5_2r=2,得r=2'所以x2的系数为C532=90,故选C.(2)令x=0,则(2+m)9=ao+a]+a2a?,令x=—2,则m9=a°—。]+。2—a3+a?,又(a。++0&)2—(。1++ag)2=(a。+。1++°9)(。0—d]+—dg—。9)=39,(2+m)9•m9=39,・°・m(2+m)=3,・・m=—3或m=1.](1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号).(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值.在二项式(1—2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A.—960B.960C.1120D.1680C[因为偶数项的二项式系数之和为2n-1=128，所以n—1=7，n=8，则展开式共有9项，中间项为第5项，因为(1一2x)8的展开式的通项T”+1=C8(—2x)r=C8(—2)rxr，所以T5=C4(—2)4x4，其系数为C4(—2)4=1120.]在(1—x)(1+x)4的展开式中，含x2项的系数是b.若(2—bx)7=a0+a]X+a?x7，贝y。1+。2+…+。7=.—128[在(1—x)(l+x)4的展开式中，含X2项的系数是b,则b=C2—C4=2.在(2—2x)7=ao+a]Xa7x7中，令x=0得a0=27,令x=1,得a0+a1+a2+a7=0.・°・。1+。2a7=0—27=—128.](a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=3[设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=1,得16(a+1)=。0+。1+。2+。3+。4+。5,①令x=一1,得0=a°—。1+。2—。3+。4一.②①一②，得16(a+1)=2(a1+a3+a5),即展开式中x的奇数次幕项的系数之和为a1+a3+a5=8(a+1),所以8(a+1)=32,解得a=3.]考点3二项式系数的性质二项式系数的最值问题求二项式系数的最大值，则依据(a+b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解.1.二项式1.二项式n的展开式中D［根据^3xH的展开式的通项为TD［根据^3xH的展开式的通项为T”+1=C20•(\/3x)20-r•r=^[3)20-只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A.3B.5C.6D.7n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n=r•C20•x20-!，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，一=°，3,6,9,12,15,18,・・・x的指数是整数的项共有7项.](20xx•南昌模拟)设m为正整数，(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值2m_+1为a,(x+y丿展开式的二项式系数的最大值为b若15a=8b，则m=7[(x+y丿加展开式中二项式系数的最大值为a=C2m,(x+y丿加+'展开式中二项式系数的最大值为b=C2m++1,因为15a=8b,所以15C2tn=8C21++1,即15_"!一)!=8m,2mm+1)!!,解得m=7.]已知(1+3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121,则展开式中二项式系数最大的项为.C75(3x)7和C15(3x)8[由已知得Cn-2+Cn-1+Cn=121,则*n・(n—1)+n+1=121,即n2+n—240=0,解得n=15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8=C75(3x)7和T9=C85(3x)8.]二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指cn,cn,…，Cn,它只与各项的项数有关，而与a,b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a,b的值有关.项的系数的最值问题二项展开式系数最大项的求法如求(a+bx)n(a,b^R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A,A2，…，An+，且第k项系数最大，应用\Ak>Ak—1,^Ak+1从而解出k来，即得°

3［—题两空］已知(\；x+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x—1)“的展开式的二项式系数和大992，贝V在(2x—勺2"的展开式中，二项式系数最大的项为，系数的绝对值最大的项为.—8064—15360x4［由题意知，22n—2“=992,即(2“一32)(2“+31)=0,故2n=32，解得n=5.由二项式系数的性质知，(2x—的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6=C50(2x)5(—Xf=—8064.设第k+1项的系数的绝对值最大,则Tk+1=Ck0•(2x)10—k•1k=(则Tk+1=Ck0•(2x)10—k•ck0±2ck—1,2Ck0三C1+1,C10•210-k三C1ck0±2ck—1,2Ck0三C1+1,,得C10•210-k三C1+111(解得2(k+1)>