微积分第二章 极限与连续

微积分第二章极限与连续第一页，共四十三页，2022年，8月28日I第二章极限与连续到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。2023/2/72第二页，共四十三页，2022年，8月28日I第二章极限与连续起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击。到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论。2023/2/73第三页，共四十三页，2022年，8月28日二章极限与连续我国春秋战国时期的哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名言“一尺之锤，日取其半，万事不竭。”也就是说，从一尺长的竿，每天截取前一天剩下的一半，随着时间的流逝，竿会越来越短，长度越来越趋近于零，但又永远不会等于零。这更是从直观上体现了极限思想。

因此，极限是事物发展的一中趋势，只需要无限接近即可，不必相等。因此，在这一章里,我们将建立极限的基本概念，讨论极限的基本性质与计算方法,在此基础上介绍连续函数的概念和闭区间上连续函数的性质.2023/2/74第四页，共四十三页，2022年，8月28日第二章、极限与连续第一节：数列的极限一.数列概念二.数列极限三．数列极限的性质第五页，共四十三页，2022年，8月28日一.数列概念定义2.1是定义在正整数集合上的函数,当自变量n按正整数的顺序取值时,称函数值相应排列成的一串数为数列,简记为{f(n)},f(n)叫做数列的一般项(或通项).数列中的每个数叫做数列的项,第n项例1：例2：例3：I第二章极限与连续2023/2/76第六页，共四十三页，2022年，8月28日数0,此时,我们就说数列{yn

}以0为极限.二.数列极限对于数列{yn},我们需要研究的问题是:当n无限增大时(记为n→∞),数列的一般项

yn

的变化趋势.特别地,当n无限增大时,如果

yn能与某个确定的常数a无限接近,则称常数a为数列{yn}当

n→∞时的极限.,不难看出,当n→∞时,yn

无限地趋近于常考察数列与常数0的接近程度可用2023/2/77I第二章极限与连续第七页，共四十三页，2022年，8月28日无论给定多么小的正数,在n无限增大的变化过程中,总有那么一个时刻N,在这个时刻以后（即n>N或n充分大以后）,由此可见,对于数列都小于那个正数.2023/2/78I第二章极限与连续第八页，共四十三页，2022年，8月28日要使则当n>10时,都能满足与0的距离小于

即对于第10项

若再取一个更小的正数

要使则当n>100时,即自第100项后的任一项y101,y102,…都满足ε来表示.若令小于某个正数y11,y12,

…都能满足以后的任一项2023/2/79I第二章极限与连续第九页，共四十三页，2022年，8月28日意给定的,总存在正整数N,当n>N时,不等式如果不存在这样的常数,则称数列{yn}没有极限,或者称数列{yn}是发散的.定义2.2设{yn}为一数列,如果存在常数对于任恒成立,则称常数是数列{yn}当n趋于无穷大时的极限,或称{yn}收敛于记为2023/2/710I第二章极限与连续第十页，共四十三页，2022年，8月28日例1:用极限定义证明：证明

对任意给定的,要使不等式当n>N时,恒有故成立,只需则对于任意给定的

即可.若取2023/2/711I第二章极限与连续第十一页，共四十三页，2022年，8月28日

注

(1)在数列极限定义中,ε可以任意给定是很重要的,如果让正数ε任意小,则不等式充分表达出yn与a无限接近的意思.(2)正整数N与ε有关,随着ε的给定而可选定.(3)数列极限定义只能验证某一个数是否为数列的极限,但不能用于求数列的极限.2023/2/712I第二章极限与连续第十二页，共四十三页，2022年，8月28日证明对任意给定的ε>0,要使不等式成立,只需则当n>N时,恒有例2用极限定义证明：根据数列极限的定义：2023/2/713I第二章极限与连续第十三页，共四十三页，2022年，8月28日2023/2/7I第二章极限与连续14成立.第十四页，共四十三页，2022年，8月28日三．数列极限的性质

定理2.1.1(极限的唯一性)

如果数列{yn}收敛,则其极限唯一.定理2.1.2(有界性)

如果数列{yn}收敛,则{yn}一定有界.

注

上述定理的逆不成立.数列有界是数列收敛的必要条件,有界数列不一定收敛.例如

定理2.1.3(保号性)

如果,且则存在正整数N,当时,恒有第十五页，共四十三页，2022年，8月28日§2.2函数的极限一.函数极限的概念二.函数极限的性质第十六页，共四十三页，2022年，8月28日一.函数极限的概念在§2.1中,我们讨论了特殊函数─数列{f(n)}的极限,现在我们来讨论一般函数f(x)的极限.由于一般函数

f(x)中的自变量x

的变化趋势通常可分为“x→∞”和“x→x0”两种,所以我们将分两种情况分别予以讨论.第十七页，共四十三页，2022年，8月28日1.当

x→∞时,函数ƒ(x)的极限仿照数列极限的定义,下面我们给出x→∞时,ƒ(x)的极限的定义.定义2.3设函数

ƒ(x)当大于某一正数时有定义，如果存在常数A,对于任意给定的,总存在使得当x满足不等式

时,不等式恒成立,则称常数

A为当x→∞时函数ƒ(x)的极限,或称当x→∞时ƒ(x)

收敛于A,记作（当

x→∞

）或第十八页，共四十三页，2022年，8月28日例1证明证明第十九页，共四十三页，2022年，8月28日如果把上面定)

那么只要且无限增大(记作就可得义中的改为的定义.同样,而无限增大(记作)

那么只要把便得的定义.改为由定义可以证明：的充要条件是第二十页，共四十三页，2022年，8月28日定义2.4设函数ƒ(x)在x0

的某个去心邻域内有定义,如2.时,函数ƒ(x)的极限果存在常数A,恒成立,则称常数A为当x→x0

时函数ƒ(x)的极限.记为注表示ƒ(x)在点x0是否有定义并无关系,我们关心的是x→x0时,ƒ(x)的变化趋势而不是ƒ(x)在点x0处是否有意义.x→x0时ƒ(x)有没有极限,与第二十一页，共四十三页，2022年，8月28日只须由于当x=1时,无定义,则当x≠1时,恒有成立.即要使,即

故可取证明例3第二十二页，共四十三页，2022年，8月28日第二十三页，共四十三页，2022年，8月28日在定义中,极限过程

x→x0包括了x同时从

x0的左、右两侧无限的趋于x0.但是,有时我们只能或只需考虑x

仅从

x0的左侧或右侧趋于

x0（记为

x→x0-或

x→x0+）时,f(x)的变化趋势.例如函数只能从2的右侧趋于2,从而就必须引进函数左、右极限的概念.第二十四页，共四十三页，2022年，8月28日定义2.5

设函数ƒ(x)在点x0右侧某个去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的ε

>0,总存在δ

>0,使得当x满足不等式恒成立,那么常数A就叫做函数ƒ(x)当时的右极限,

记做第二十五页，共四十三页，2022年，8月28日就可以得到在x0处的左极限.记为类似地,在的定义中,把改为左极限和右极限统称为单侧极限.由极限定义易知以下的充要条件成立.定理2.1

函数y=ƒ(x)当x→x0

时极限存在且为A的充要条件是函数y=ƒ(x)

的左极限和右极限都存在且等于A.即第二十六页，共四十三页，2022年，8月28日第二十七页，共四十三页，2022年，8月28日第二十八页，共四十三页，2022年，8月28日例4解

讨论当时,函数的极限.当x<0时,有当x>0时,有由于，所以不存在.第二十九页，共四十三页，2022年，8月28日例5设函数,讨论是否存在?解因此不存在.当x<0时,有当x>0时,有第三十页，共四十三页，2022年，8月28日二.函数极限的性质由于函数极限的定义按自变量的变化过程不同有各种不同的形式，下面仅以定理(唯一性)

若注

若极限不唯一,变化趋势不定.例如于函数极限性质的一些定理.至于其他极限形式的性质,只要相应地作一些修改便可得出.这种形式给出关存在,则极限值A唯一.第三十一页，共四十三页，2022年，8月28日定理2.2.3(局部有界性)

若证取ε

=1,因为则存在当时,于是,当时取当有存在,那么存在常数M>0和δ>0，使得当时,第三十二页，共四十三页，2022年，8月28日必存在那么一个时刻,在此时刻以后,就恒有即证设A>0取正数由limƒ(x)=A

的定义,定理2.2.4(局部保号性)

若且A>0(或A<0).则存在δ>0,使得当时,ƒ(x)

>0(或ƒ(x)<0).第三十三页，共四十三页，2022年，8月28日§2.3无穷小与无穷大一.无穷小二.无穷大三.无穷小的性质第三十四页，共四十三页，2022年，8月28日本节将讨论在理论和应用上都比较重要的两种变量：无穷小量和无穷大量.为叙述简便我们用来表示在自变量各种变化过程中函数的极限.自变量的变化过程,包括x→x0

，

x→x0+，

x→x0-，

x→∞，

x→+∞,x→-∞，n→∞等.第三十五页，共四十三页，2022年，8月28日一.无穷小定义2.3.1

如果在自变量的某个变化过程中,则称函数f(x)为在该变化过程中的无穷小量,简称无穷小.简单地说,以零为极限的变量称为无穷小量.例如第三十六页，共四十三页，2022年，8月28日

注(1)

无穷小是极限为零的变量，不能把它与绝对值很小的非零常数相混淆.在常数中,只有零可以作为无穷小，但无穷小却不一定是零.(2)

一个变量f(x)是否为无穷小量与其自变量的变化过程有关.如当时,为无穷小量;当x不趋于1时,则不是无穷小量.第三十七页，共四十三页，2022年，8月28日例1自变量x在何变化过程中,下列变量f(x)为无穷小？解(3)无论x趋于何值,第三十八页，共四十三页，2022年，8月28日二.无穷大

定义2.3.2

如果在自变量的某个变化过程中,函数

f(x)的绝对值无限增大（即），则称函数

f(x)为在该变化过程中的无穷大量，简称无穷大.

注(1)

无穷大量是一个绝对值可以任意变大的变量,而不是一个很大的常量.当取正值无限增大(取负值绝对值无限增大)时,称为正无穷大量(负无穷大量).

注(2)

通常是极限不存在的记号.第三十九页，共四十三页，2022年，8月28日例2自变量x在何变化过程中,下列变量为无穷大?解(1)当或时,(2)当