电磁场与电磁波第10讲静电场的边值问题

电磁场与电磁波主讲教师：黄文重庆邮电大学光电工程学院电磁场与无线技术教学部

Email:huangwen@

办公室：老1教1403

2Maintopic3.

镜像法

1.

泊松方程和拉普拉斯方程2.

静电问题解的唯一性4.

直角坐标系中的边值问题

Chapter4.静电问题的解3电势V

和电场强度

E

之间的关系是：对上式等式两边分别进行散度操作在各向媒质的线性媒质中,电场强度

E

的散度为1.

泊松方程和拉普拉斯方程4电势

的差分方程为称为

泊松方程（Poisson’sequation）。在没有自由电荷（无源）

区域,上述等式变为称为拉普拉斯方程（Laplace’s

equation）。

5

泊松方程表明均匀媒质中，V的拉普拉斯运算(梯度的散度)等于–/,其中

是介质的介电常数(它是常数)，

是自由电荷体密度。算子

2,拉普拉斯算子，代表“梯度的散度”

或“”。因为散度运算和梯度运算都涉及一阶空间导数，所以泊松方程是一个二阶偏微分方程，在二阶导数存在的空间中每一点，二阶偏微分方程都成立。Remarks6在直角坐标系中:在球坐杯系中:在圆柱坐标系中:7边值问题研究方法计算法解析法积分变换法分离变量法镜像法（电轴法）微分方程法保角变换法实验法作图法实测法模拟法定性定量数学模拟法物理模拟法数值法有限差分法有限元法边界元法矩量法半解析法/半数值法格林函数法8表明:

在介质分界面上，电位是连续的。

用电位函数V

表示分界面上的衔接条件

设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d，d→0,则电位的衔接条件在分界面两侧：电位法向导数发生跃变9Example1.一维泊松方程的解类似例4-1（P103）两个金属平板面积为A相距为

d

形成一个平行板电容器。

上平板电势为V0

,下平板接地。

求解(a)电势分布(b)电场强度(c)各平板的电荷分布(d)平行板电容器的电容对给定的图形选择合适的坐标系2.写出有关的计算式和边界条件。解:匀强电场，电位V只是随高度z的变化而变化104.特解（带入边界条件求解未知系数）3.方程的通解1112Example2.

同轴线内导体半径为a

，电势为V0

；外导体接地，其半径为b。求解(a)两导体间电势分布(b)电场强度(c)内导体的电荷密度(d)每单位长度的电容解:对给定的图形选择合适的坐标系2.写出相关的计算式和边界条件134.特解（带入边界条件求解未知系数）

3.方程的通解1415Example3

一个很大的平行板电容器的上下导体板之间距离为d，电位分别为V0

和0。

在下板上面放置介质板，其相对介电常数为r

厚度为0.8d。求解E

和

D

。yxD2D1E2E116(1)

求解区域：平行板电容器之间的区域(2)

分区：由于填充两种介质，因此场量在分界面上会发生突变，因此，分成两个子区域(3)

建立坐标系：竖直向上为y轴方向，建立坐标系(4)

场分布分析：在两种介质中都是匀强电场，电位V只是随高度y的变化而变化V(y)，而与x，z无关，(5)

写出场方程与边界条件：待求量是两个区域的电位V1

、V2，场方程：泊松方程（有源）or拉普拉斯方程（无源）yxD2D1E2E117区域1：区域2：yxD2D1E2E118

写出通解：一维边值问题BVP电位的边界条件，两个介质的衔接条件：1920yxD2D1E2E121唯一性定理:满足给定边界条件的泊松方程（其中拉普拉斯方程是特例）的解是唯一解。

唯一性定理并不代表求解静电问题只有唯一一种方法。

唯一性定理的含义是：无论以何种方法求解，满足边界条件的静电问题的解是唯一可能的解。甚至猜测得到的解也是正确的惟一解。2.

静电问题解的唯一性边值问题数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。对特定的区域和时间，方程的解基于初始条件和边界条件，它们又称为定解条件。静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。定解条件初始条件边界条件根据给定边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。

此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同于前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。23根据已知区域边界条件（定解条件）的不同，电位边值问题分为三类：第一类狄利克雷(Dirichlet)问题是给定区域边界上的电位值：第二类纽曼(Neumann)问题是给定区域边界上的电位的法向导数值：第三类混合边值问题在区域的一部分边界上给定电位值，另一部分边界上给定电位的法向导数值。

求解方法：均为分离变量法。24

在直角坐标中，标量电位V

的拉普拉斯方程为令代入上述式子，除以X(x)Y(y)Z(z)

得到每一项都只是一个坐标变量的函数

。为了使式子对x、y和z的所有值都成立，三项中每一项都必须为常数。令常数为,可得3.

直角坐标中的边值问题25

三个分离常数并非相互独立，而是满足以下条件：

三维偏微分方程可分离为三个常微分方程,而常微分方程的解很容易得到。或其中

A,B,C,D

为需要确定的常数

。kx

，ky

，kz

称为分离常数,可以是实数也可以是虚数。如果

kx

为实数,关于变量x的方程解可以写作（表4-1，P119)26或

关于变量y

和

z

的方程的解具有相同的形式。这些解的乘积就是最初的偏微分方程的解。分离常数也可以为虚数。如果为虚数，可以写为,式子关于变量x的解变为

已知的边界条件将决定恰当的解的形式，及常数A和B或C或C和D的选取。27Example.

（例4-6，p120)两块接地的半无限大平行电极板相距d。与这两块电极板垂直且绝缘的第三块电极板保持恒定电位V0。求由电极板围成区域内的电位分布。解:

选择直角坐标系。

因为电极板在z-方向是无限大,所求区域电位与z无关,为二维问题。电位的拉普拉斯方程为变为：dxyV=0V=0V=V0O28用分离变量法，令凹槽内电位的边界条件

可表示为为满足边界条件和,Y(y)

的解可以选为

从边界条件,在y=0时有V=0

，于是常数B=0。为满足

,常数ky

为dxyV=0V=0V=V0O29可得因为

，得到

常数

kx

为虚数,X(x)

的解为因为当x

时，V

=

0,常数C=0,且那么其中常数C=AD

.dxyV=0V=0V=V0O30因为当x=0时

V=V0,可得

上式右边部分为变量,因为

C

和

n

的值没有确定.为满足x=0处的条件,解的线性组合

也是一个解,可得为满足边界条件

x=0,V=V0

,有dxyV=0V=0V=V0O31

上式右边为傅立叶级数。利用傅立叶级数各项之间的正交性，系数

Cn

可以求得最后，凹槽中的电位为0dxyV=0V=0V=V0ElectricfieldlinesEquipotentialsurfaces32点电荷和带电的球壳、球体在R>a的区域中产生的场是是相等的，称为这三种源是相互等效的.注：在R<a的区域是不等效的，所以等效只是对某一区域等效，对另一区域是不等效的xyzxyzaxyza4.

镜像法33yQd半空间问题Example.

考虑一个正的的点电荷Q与无限大的接地（零电位）导体平面相距为d的情况。求导体平面(y>0)上每一个点的电位。(1)chap2：感应电荷很难求(2)直接解方程:34yQd半空间问题点电荷＆感应电荷产生的场，静态平衡后，导体表面是等势面，电力线与其正交。而这种电力线的分布与以xoz平面为对称面，在（0，d，0）处点电荷Q，（0，－d，0）处有－Q的一对点电荷在y>0空间的电力线分布相似。(3)另辟蹊径：(等效原理)感应（极化）电荷产生的场，由假想的简单电荷（像点电荷线电荷等）分布产生的场来等效(4)问题：引入像电荷后求得的场，是不是原问题的场？判断的依据

（uniqueness

theorem）是不是满足原问题的场方程＆边界条件？35ImageChargeImagemethodV(x,0,z)=0yQ–Q根据场叠加原理，写出点电荷和镜像电荷在上半空间任意一点P处产生的场的表达式BVPB－C（判断的条件）等效问题的场就是原问题的场36镜像法

实质:以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变原来的边界条件。这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。局限性：仅仅对于某些特殊的边界（无限大平面，无限长劈形，无限长圆柱体，球面）以及特殊的电荷分布才有可能确定其镜像电荷。

37q

对于半无限大的劈形边界,镜像法也适用。但是只有当导体劈形边界的角度为时,且n为整数时才能找到镜像电荷。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。/3当一个无限长的线电荷靠近无限大的导体平面时，也可以采用镜像法，其原理是叠加定理。/3q例如，夹角为的导电劈需引