数学建模计算机仿真

计算机仿真一个问题我们做一个实验：把一个硬币掷一万次，统计两个面出现的次数。这样做很简单但却需要大量时间，有没有一种较快的办法把这个实验完成呢？利用计算机可以实现这一想法生成一个在[0,1]中的随机数a，如果a<0.5，则认为是掷硬币出现了正面，给计数变量k1增加1；如果，则认为是掷硬币出现了反面，给计数变量k2增加1。将该过程循环一万次即可。上面就是一个计算机仿真最简单的例子！计算机仿真的定义计算机仿真就是根据已知的信息和知识，利用计算机模拟现实情况或系统演变过程，发现新的知识和规律，从而解决问题的一种方法。计算机仿真被称为独立于理论研究和实验研究的第三种方法。计算机仿真的特点代价小，时间短，可重复，参数设置灵活是一种独特的“数”学模型。是一种求解许多实际问题和数学模型的简单方法，由于它不需要太多的数学知识，非常适合各类工程技术人员。计算机仿真仿的是“象”、是“数”，要忽略许多具体的事物特征。如何把计算机仿真的过程作为一个“数学模型”表述出来呢？描述计算机仿真模型要包括两个内容，一是对系统关键数据计算方法的清晰表述，二是对仿真的程序流程的描述，可以用算法步骤的形式，也可以用算法流程图。计算机仿真要靠一个计算机程序来实现，然而程序代码是不能作为模型，而且由于选择的系统语言不同，表述上也会有较大差异。计算机仿真的分类物理系统仿真——电系统、机械系统等的仿真，大坝承受力仿真，原子弹爆炸威力……系统演变仿真——河堤垮塌后洪水蔓延程度仿真，海啸蔓延程度仿真，种群生长仿真，战争推演仿真……蒙特卡洛方法——不规则图形的面积、体积，圆周率的计算，电脑围棋……核心：生成随机数，……被列为20世纪最伟大的10大算法之首。离散事件仿真——企业经营策略……有些仿真需要一些设备工具甚至人的参与，这里不涉及此类，只考虑与完全可用数学推演描述的问题。可以说计算机仿真的适用于几乎所有的社会生活领域！计算机仿真的核心思想方法过程明确，机理清晰连续问题离散化蒙特卡洛方法遍历产生模拟随机数的计算机命令在MATLAB软件中，可以直接产生满足各种分布的随机数，命令如下：2．产生m×n阶［０，１］均匀分布的随机数矩阵：

rand(m,n)产生一个［０，１］均匀分布的随机数：rand1．产生m×n阶［a，b］上均匀分布U（a，b）的随机数矩阵：

unifrnd(a,b,m,n)产生一个［a，b］均匀分布的随机数：unifrnd(a,b)当只知道一个随机变量取值在（a，b）内，但不知道（也没理由假设）它在何处取值的概率大，在何处取值的概率小，就只好用U（a，b）来模拟它．当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和，且其中每一种变量对总和的影响都很小时，可以认为该对象服从正态分布．机械加工得到的零件尺寸的偏差、射击命中点与目标的偏差、各种测量误差、人的身高、体重等，都可近似看成服从正态分布．若连续型随机变量X的概率密度函数为其中>0为常数，则称X服从参数为的指数分布．指数分布的期望值为

排队服务系统中顾客到达率为常数时的到达间隔、故障率为常数时零件的寿命都服从指数分布．指数分布在排队论、可靠性分析中有广泛应用．注意：MATLAB中，产生参数为的指数分布的命令为exprnd()例顾客到达某商店的间隔时间服从参数为0.1的指数分布指数分布的均值为1/0.1=10．指两个顾客到达商店的平均间隔时间是10个单位时间.即平均10个单位时间到达1个顾客.顾客到达的间隔时间可用exprnd(10)模拟．设离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,…,且取各个值的概率为其中>0为常数，则称X服从参数为的泊松分布．泊松分布在排队系统、产品检验、天文、物理等领域有广泛应用．泊松分布的期望值为如相继两个事件出现的间隔时间服从参数为的指数分布，则在单位时间间隔内事件出现的次数服从参数为的泊松分布．即单位时间内该事件出现k次的概率为：反之亦然．指数分布与泊松分布的关系：(1)指两个顾客到达商店的平均间隔时间是10个单位时间.即平均10个单位时间到达1个顾客.(2)指一个单位时间内平均到达0.1个顾客例(1)顾客到达某商店的间隔时间服从参数为0.1的指数分布(2)该商店在单位时间内到达的顾客数服从参数为0.1的泊松分布计算机仿真案例1模型建立：由于本题要求使从搅拌中心到各个工地运输混凝土的总的吨公里数最少，所以，该问题的目标函数是求解方法：1、高数中的方法2、数值计算方法3、计算机仿真：离散化，遍历！计算机仿真案例2例2（赶火车过程仿真）一列火车从A站经过B站开往C站，某人每天赶往B站乘这趟火车。已知火车从A站到B站的运行时间是均值为30min、标准差为2min的正态随机变量。火车大约在下午1点离开Ａ站。火车离开时刻的频率分布和这个人到达Ｂ站时刻的频率分布如下表所示。问他能赶上火车的概率有多大？

出发时刻1:001:051:10到达时刻1:281:301:321:34频率0.70.20.1频率0.30.40.20.1仿真过程：1、生成火车的发车时间、运行时间，从而达得到其到达B站的时间。2、生成此人达到B站的时间。3、如果此人到达Ｂ站的时间早于火车到达时间，则算赶上火车一次。4、将上述过程重复一万次，统计赶上火车的频率作为所求概率。分析：这个问题用概率论的方法求解十分困难，它涉及此人到达时刻、火车离开A站的时刻、火车运行时间几个随机变量。我们可以用计算机仿真的方法来解决。计算机仿真案例3追击问题我缉私雷达发现前方（南）ckm处有一艘走私船正以速度a沿直线向东匀速行驶，缉私艇立即以最大速度b追赶，若用雷达进行跟踪，缉私艇的瞬时速度方向始终指向走私船，是求缉私艇追逐路线和追赶上的时间。分析此问题可以建立微分方程模型，这里我们建立差分方程模型，用仿真的方法求解。取时间步长为h，在第i步时的时间即t=hi，走私船的位置坐标为(hia,0)，设缉私艇的位置坐标为P(xi,yi)。从第i步到第i+1步的计算公式为计算机仿真案例4某自行车商店的仓库管理人员采取一种简单的订货策略，当库存量降低到P辆自行车时就向厂家订货，每次订货Q辆，如果某一天的需求量越过了库存量，商店就有销售损失和信誉损失，但如果库存量过多，会导致资金积压和保管费增加。该问题的已知条件是：（1）从发出订货到收到货物需隔三天；（2）每辆自行车保管费为0.75元/天，每辆自行车的缺货损失为1.8元/天，每次的订货费为75元；（3）每天自行车的需求量服从0到99之间的均匀分布；（4）原始库存为115辆，并假设第一天没有发出订货。若现在已有如下表所示的五种库存策略，请选择一种总费用最少的策略。方案编号订货起点：P辆订货量：Q方案1125150方案2125250方案3150250方案4175250方案5175300我们以150天为例，依次对这五种方案进行仿真，最后比较个方案的总费用，从而得出决策。计算机仿真时的工作流程是早上到货、全天销售、晚上订货。输入一下常数和初始数据后，以一天为时间步长进行仿真。首先检查这一天是否为预订到货日期，如果是，则原有库存量加Q，并把到货量清为零；如果不是，则库存量不变。接着仿真随机需求量，这可用计算机语言这的随机函数得到。如果库存量大于需求量，则新的库存量减去需求量；反之，则新的库存量变为零，并且要在总费用上加上缺货损失。然后检查实际库存量加上预订到货量是否小于重新订货点P，如果是，则需要重新订货，这是就加一次订货费。如此重复运行150天，即可得到所需费用总值。评价函数的设置方法第i天销售量为辆缺货量为辆销售完后的库存量为辆0-1变量表示第i天销售完后是否有库存，若库存量大于等于0，则＝1，否则为0；用0-1变量表示第i天销售是否会缺货，如果缺货量大于0，则＝1；用0-1变量表示第i天是否要订货。则第i天的总费用（元）为150天的总费用（元）为然而以此总费用最小为目标函数是不妥的，应当将总费用分摊到每辆销售的自行车上，即单位销量的费用更加合适，所以评价函数为图3计算机订货决策仿真流程图实验作业1．编一个福利彩票电脑选号的程序．3.某设备上安装有4只型号规格完全相同的电子管，已知电子管寿命服从1000～2000h之间的均匀分布．电子管损坏时有两种维修方案，一是每次更换损坏的那只；二是当其中1只损坏时4只同时更换．已知更换时间为换1只时需1h，4只同时换