西交-课件信号与系统chapterfour

TheContinuoustimeFourier本章的主要内容:连续时 变换级数 变换之间的关系变换的性质系统的频率响应及系4.0引言级数在T趋于无穷大时的变化，就应该能够得 RepresentationofAperiodicSignals:TheContinuous-TimeFourierTransform一. 级数 变换T0增大时，频谱的幅度随T0的增大而下降；谱线间隔随T0的增大而减小；但频谱的包络不变。再次

ak0

ωω(a)

(b)T000当T时 2π k ω,00 k由于 k

也随 终趋于0，考查T0akT0T0 T0ak

T0/ /

x(t)ejkω0t如果令limT0akXjω)

k 1X(jkωk00

jkωt1

X(

)ejkωt

X(

)ejkω 0

T0k

2πk 2πdω,0TT00T0kω0 x(t)1

连续分布、振幅为1Xjω)dω的复指数信号之和。m0k

T0,f00XX(jω)x(t)1 X(dω 若

dt则Xjω)

x(t)dt

sint

和周期信号的情况一样，当x(t) 点附近会产生Gibbs现象。三.常用信号 变.x(t)eatu(t), a

x(t1X(jω)

eatejωtdt0

a X(jω)

a2ω2

X(jω)tg- 1/

X(1ω

π/π/a

Xω

π/0x(t)ea0

a

X(jω)

eate a a a2对此例有X(jω)X( X(jω)

2 a

X(ωaδtx(t)δδtX(jω)

δ(t)ejωtdtX(1ω0这表明δ(t)h(t)才能完全描述一个LTI系统的特性，δ(t)

x(t)

t

1t1t

2sinωT 2Tsin ejωtdt 1

2TSa(ωT)2TSinc(1 显然，将Xjω)中的ω代之以kω再乘以1T0T0

Sa(kωT)

sin

kω X(1tπω00XX(1tπ2ω00X( 1，ω0，ω

(称为理想低通滤波器)x(t)1

ejωtdωsinWtWSa(Wt)WsincWtW(W(W/π(W/ππW0t

X(X(1ω011tX(πω0(W(W/ππW0tX(1ω0W对例5W，则x(t)将趋于W若x(t)1则 X(jω)W

δ(ω)ejωtdω x(t)四信号的带宽BandwidthofSignals12X(jω下降到最12

周期信号 变TheFourierTransformationofPeriodicSignals 会给我们带来不便 0 X(jω)2πδ(ωω0)所对应的信0x(t)

X(jω)ejωtdω

δ(ωω)ejωtdωe若x(t)ejkω0t 0 kx(t)kk

ae k 级数的系数ak例1：x(tsinωt

1[ejω

ejωt 2X(jω)π[δ(ωω)δ(ωω ω0

X( jω j

x(t)cosωt

1[ejωtejωt X(jω)π[δ(ωω0)δ(ωω0ππX(πω00ω例3：x(t)δ(tnT T2T2 j2π T2T2ak

δ dt δ(t)dtTT TT X(jω)2πδ(ω2πTk 1X(1X(Ttω

T

0T

δ(t

X(jω)

T

δ(ω2πT1tsin2πT ak 1

πk12sin(2πkT1

TX(jω) δ(ω2πkTk

XX(ω22T1连续时 变换的性PropertiesoftheContinuous-TimeFourier 线性: x(t)X( y(t)Y( 时移:Timex(t)Xjω)

t0 X( 共轭对称性:Conjugateand x(t)X( x*(t)X*(由Xjω

x(t)e

x*

X*(jω)

x*(t)e x*(t)X*(若x(t)是实信号， x(t)x*(t) X(jω)X*(若XjωReXjωjImXjω)] ImXjωImX(jω)] 如果x(t) X(jω)

x(t)ex(t)ejωtdtx(τ)ejωτdtX( 表明：实偶信号 又因为X(jωX*表明Xjω)

所以XjωX*若x(tx(t)即信号是奇函数，同样可以得出XjωX(jω)表明XjωXjωX* 表明Xjω若x(txe(txo(t)则有X(jω)Xe(jω)jXo(xe(t)Xe( Xe(jω)Re[X(xo(t)jXo( Xo(jω)Im[X(1t0ue1t0uet0u(t)ue(t)uou(t) uot0-u(uot0- tSgn(t)

t1eteat1eteat a alim a0

u(t)1u(t)1 x(t)X则dx(t)jωXjω)(可将微分运算转变为代数运算(将x(t)

tt

x(τ)dτ1XjωπX(0)δ(ω（时域积分特性 δ(t) u(t)1πδ x(t)X(

x(at)1X(jω) 当a1时，有x(t)X(尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展a则其带宽相应压缩a倍，反之亦然。这就从理论上对偶性:若x(t)Xjω)则Xjt2π证明：x(t)

1

X(

jωtdω2πx(ω)

X(jt

jωtdt2πx(ω)

X(jt

jωtdtX(jt)2π

X(jω)

x(t)e

X(jt)

x(ω)ejωtdω

2πx(ω

由x(t)X(有对偶关系X(jt)jω利用时移特性有X[j(tt0)]2πx(ωjω再次对偶有2πx(t)e 2πX[j(ωω0 x(t)X(jω)x(t)ejω0tX[j(ωω0

由X(jω)

x(t)ejωtdtdX(jω)

jtx(t)e jtx(t)

X(jωx(t)X( X(jt)2πxXjt)2π

dX(jt)2π2πjtx(t)由x(t)X(

X(jωjtx(t)dX(

x(t)X(

X(jt)2πtt

X(jτ)dτ[2πx(ω)2π2x(0)δx(t)

πx(0)δ(t)]2π

X(jτω由x(t)X(jω)ωx(t)πx(0)δ(t)

X(jτ

x(t)Xjω)

x(t)

dt

1

X(

2dω

卷积性 TheConvolution一.卷积特性： x(t)X( h(t)H(则x(th(t)Xjω)H 由x(t)

1

X(jω)ejωt

的。这个特征值就是Hjω h(t)e y(t)x(t)*h(t)

X(jω)H(jω)e Y(jω)X(数信号e

Hjω都存在，因此用频率响应表征系统|h(t)|dt 由x(tX根据系统的描述，求出HY(jω)X(jω)H(y(t)F1[Y(相乘性质TheMultiplication若x1(t)X1( x2(t)X2( x(t)x(t)1X(jω)X( x1(t)X1(X1(jt)2π

x2(t)X2(X2(jt)2πx2X(jt)X(jt)4π2x(ω)x π2x x(t)x(t)1X(jω)X( 0例 x(t)X( e 2πδ(ωω0 X[j(ωω0

r(t)s(t)S(1ωr(t)s(t)S(1ωMt

s(t) P(jω)π[δ(ωω0)ωω ω例3同步解调r(t)cosωt1R(jω)π[δ(ωω)δ(ωω 1S(jω)1S[j(ω2ω)]1S[j(ω2ω ωωMH(2H(2ω0的系统即可从r(t)恢复出s(t只要

例4.

e

e

X(ωY(1ω

ωc W(ωωcω0ωcω0AF(ω1

H ωX中直接用一个带通滤波器滤出的频谱。表明整个系统相当于一个中心频率为ω0的带通滤波器，改变ω0即可实现中心频率可变。变换的性质 变换对列 由线性常系数微分方SystemsCharacterizedbyLinearCoefficientDifferentialNNak

dky(t)NN

dkx(t) k k 系统的输入为x(t)ejωt时，系统所产生的响应就y(tHjω)ejωt。表明在x(t)ejωt的情况下，求解LCCDEHjω)。但是这种方法太麻 a(jω)kY(jω)b(jω)kX( k k Y(jω)X(jω)H(bb(kkNH(jω)k Nka(kk个有理函数。由此可以看出，对由LCCDE的LTIh(t)时(比如时域分析时)Hjω做反变换得到。 二.频率响应的求法：Nakk0NN

dky(tdt

MkM

dkx(tdtMa(jω)kY(jω)b(jω)k

X(kk

kkMkY(jω

b(jω)kH(jω)

k NX(jωN

k

ak(jω)例：d2y(t)

8y(t)

dt H(jω) jω3 jω3 (jω)26(jω) (4jω)(21

22 4h(t)1[e2te4t]u(t)1x(t)

W(j