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文档简介

一、定积分的概念第二节定积分(之一)二、定积分的性质引例曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积解决步骤:1)

分割.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

近似替代.在第i

个小曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应小曲边梯形面积得3)近似求和.4)取极限.令则曲边梯形面积一、定积分定义(P71)在[a,b]内任一分法任取总趋于确定的极限

I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称

f(x)在[a,b]上可积

.记作积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和注：定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和(3)一般f(x),

例1.利用定积分的几何意义求定积分的值：

解：被积函数为由定积分的几何意义知此定积分等于由曲线及x轴，x=-1,x=1所围成的图形面积.例3.利用定义计算定积分取解:将[0,1]n

等分,分点为定积分的充分条件:定理1.定理2.且只有有限个间断点(证明略)二、定积分的性质证:=右端扩展:(k为常数)abxyk注:

a,b,c

为任意实数.证:

当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取

c

为分点,于是当a,b,c

的相对位置任意时,例如则有5.

若在[a,b]

上则证:推论1.

若在[a,b]上则例4.比较解:设则即推论2.证:即6.

设则例6.

估计积分解：是增函数，所以7.

定积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质6可得所以使因此定理成立.故说明:

几何解释：使得该矩形的面积等于曲边梯形的面积.

积分中值定理对在[a,b]上，至少存在一点内容小结1.定积分的定义:特殊和式的极限．4.定积分的性质3.定积分的几何意义分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分取极限２．定积分的思想和方法：作业练习题3.2（P75）：1,2观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系。观察以下演示，注意当分割加细

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