数值天气预报期末考已结束-第三章-sun

第三章

正压原始方程模式的基本原理

BarotropicPrimitiveEquationModel正压原始方程模式引言：实际大尺度运动包含两类过程：快过程和慢过程。

地转适应过程：非地转向地转平衡的调整，即惯性重力波的能量频散过程

地转演变过程：地转平衡的破坏的过程，即Rossby波演变。准地转模式与原始方程模式的区别：准地转模式：原始方程模式：

滤过快过程，不包含地转适应过程，仅描述地转演变过程，

其物理基础是准地转平衡性质。

（仅保留大气长波，虑去了惯性重力波）可以描述地转适应过程和演变过程，即包含大气长波又包含惯性重力波。原始方程模式的优点：物理性能比准地转模式更接近实际过程。正压原始方程模式实际过程带来的问题i》为保证计算稳定，

需很小，则增大了计算工作量ii》初始场中包含的误差可激发虚假惯性重力波，则可能产生计算不稳定iii》模式对边界条件敏感，则有可能造成计算紊乱对数值模式求解的要求本章内容重点i》应尽可能准确的模拟适应和演变两种过程ii》计算方法精度提高iii》模式描述重要物理规律方面应和连续大气保持一致i》正压原始方程的积分性质ii》保持这些性质的差分格式的构造§1正压原始方程组一般方程组如何简化为二维运动方程一般方程：绝热、无摩擦运动，P坐标系方程组其中：(1)(2)(3)(4)(5)(6)§1正压原始方程组基本假定：1》具有自由面的均匀不可压流体

均匀：自由面：地表面：可以证明：水平气压梯度力不随高度变化！因为：对静力方程（3）式两边积分

对任一高度z：对任一等压面p：(7)t§1正压原始方程组2》如果起始时刻（t＝0）风速不随高度变化，则永远不随高度变化当t＝0时，方程（1）、（2）两边对p求导。利用（7）式

得：且以后永远保持该关系，u，v垂直方向均匀。在此二假定下：（1）、（2）可看作垂直方向平均方程§1正压原始方程组连续方程（4）在垂直方向积分，利用边界条件同时：利用利用：(8)(8)’代入(8)’

得：§1正压原始方程组略去

“T”

与动量方程一起构成以下浅水方程组：（没有地形：

）给定初值条件：和一定得边界条件，方程组(9)~(11)可以求解。注：通常用这组方程来预报500hPa的形势变化。(9)(10)(11)§2正压原始方程组的波动性质均匀不可压：无层结，虑去重力内波f效应：惯性波

效应：Rossby波

自由面：重力外波（＋f）惯性重力外波为简单起见：令

（无地形）(12)(13)(14)§2正压原始方程组的波动性质若令：

（常数）将任一量写成基本量＋扰动量简单起见，令扰动量

与y无关，略去

“

’

”

号若令：

（常数），则：(15)(16)(17)§2正压原始方程组的波动性质设：代入(15)~(17)非零解条件：（惯性重力波）§2正压原始方程组的波动性质若令：

，考虑

效应引入一个涡度方程(12)~(14)可变为：（有辐散Rossby波性质）扰动量：若令：§2正压原始方程组的波动性质§2正压原始方程组的波动性质当

很小时，低频（相速很小，慢波）（重力影响的Rossby波）若令：§2正压原始方程组的波动性质（无辐散Rossby波

）当

很大，高频（重力惯性波）所以，频散波

地转适应物理机制§3正压原始方程组的积分性质通量式的方程组令（z为流体自由面高度）(1)(2)(3)(3),(4),(5)构成了以

hu,hv,h

为变量的通量形式方程组§3正压原始方程组的积分性质(4)(5)Gauss定理Gn为垂直于L的分量显然:若Gn=0,则上式为零§3正压原始方程组的积分性质全球大气总质量守恒几个重要积分性质:由(3)式(连续性方程)全球积分故上式表示全球大气总质量守恒§3正压原始方程组的积分性质平流过程中全球大气动量守恒§3正压原始方程组的积分性质能量约束i》没有外力作用下，全球大气总动能守恒单位面积空气柱动能为：（z为自由面）动能方程：u*(1)+v*(2)得其中，§3正压原始方程组的积分性质h*(6)+K*(3)若不考虑外力：单位面积空气柱动能（此即为动能变化方程）动能、位能转换项(6)§3正压原始方程组的积分性质ii》全球大气（或封闭的有限区域）总能量守恒单位面积空气柱的位能定义如下：位能变化方程的推导：

乘以连续方程（3）§3正压原始方程组的积分性质此即为位能变化方程动能、位能转换项§3正压原始方程组的积分性质将位能和动能变化方程相加

总能量变化方程因为

全球或有限区域静能量通量为零，所以：即全球总能量守恒§3正压原始方程组的积分性质4.全球大气位涡拟能守恒位涡定义为：运动过程中，空气柱的位涡守恒消去和动能定义类似，可定义位涡拟能：§3正压原始方程组的积分性质即全球大气位涡拟能守恒qh*位涡方程＋q*q/2*连续方程§3正压原始方程组的积分性质5.涡度拟能守恒和不同尺度波之间的能量转换总能量守恒：

限制总能量（有可能所有能量单向输送）涡度拟能守恒：限制能谱

（对能量串级有约束）平流项Arakawa(1966)详细地讨论了无辐散涡度方程的积分关系，并指出涡度拟能守恒关系对于构造稳定的差分格式比动能守恒更重要。考虑无辐散正压涡度方程，并重点考虑非线性项，略去地球自转的作用。§3正压原始方程组的积分性质i)全球大气涡度守恒引入流函数：

涡度方程可改写为：§3正压原始方程组的积分性质ii)动能K守恒（无辐散假设）§3正压原始方程组的积分性质iii)涡度拟能（

）守恒§3正压原始方程组的积分性质涡度拟能守恒与能谱约束§3正压原始方程组的积分性质涡度拟能守恒与能谱约束即：§3正压原始方程组的积分性质涡度拟能守恒与能谱约束根据前面推导证明：

是守恒的，即

为按动能加权平均的波数，上述关系反映平均波数守恒故存在一

（波数），使得§3正压原始方程组的积分性质涡度拟能守恒与能谱约束考虑三个单波：

涡度拟能守恒：动能守恒：

设

为任意两时刻动能变化，则有：§3正压原始方程组的积分性质涡度拟能守恒与能谱约束

上两式系数均为正消去

得

消去

得

能量转换的规律若只有两个波，则（波能量不发生串级）有限差分模式中常发生虚假的长波向短波输送能量，故涡度拟能守恒格式对此具有很好的抑制作用（Arakawa,1966）§4正压原始方程计算稳定性条件一维平流方程§4正压原始方程计算稳定性条件原始方程模式§4正压原始方程计算稳定性条件原始方程模式相当于以U+c为平流速度的平流方程§4正压原始方程计算稳定性条件原始方程模式线性计算稳定性条件为：由于

c为重力波相速度，比

U大得多，故原始方程模式中，Δt需取得很小，才能保证计算稳定若考虑

f效应，则

c更大，Δt需取得更小。§4正压原始方程计算稳定性条件上述线性计算稳定性条件的推导证明：（时间和空间导数均用中央差分、显式时间积分方案）Winninghoff(1968)发现：有限差分的原始方程模式描述地转适应过程的准确程度与变量在网格点上的分布形式有很大关系。有怎样关系？1）方程组：以一维线性化方程为例（zs=0,,）§5差分格式和地转适应§5差分格式和地转适应设波动解

，代入以上方程组，得频散关系式令

，为Rossby变形半径，则故：若

，则

随

单调增加，为频散波（

）§5差分格式和地转适应2）变量分布形式Winninghoff(1968)u,v,zu,v,zu,v,zm+1m-1mA:xxm+1m-1mu,vu,vzzzB:xxm+1m-1mv,zv,zv,zuuC:xxm+1m-1mu,zu,zu,zvvD:§5差分格式和地转适应3）离散化后的方程组及其波动性质u,v,zu,v,zu,v,zm+1m-1mA:设

代入上式得§5差分格式和地转适应设

代入上式得xxm+1m-1mu,vu,vzzzB:§5差分格式和地转适应设

代入上式得xxm+1m-1mv,zv,zv,zuuC:§5差分格式和地转适应设

代入上式得xxm+1m-1mu,zu,zu,zvvD:§5差分格式和地转适应综上所述，对应于A，B，C，D变量分布形式的差分方程对应的频散关系式为真解：B：C：D：A：两个参数：

和A：当

=0.5时，

达极大值，cg=0；

=1.0时，=fB：当0时，在0<

1区域内，

与真解接近，单调增加C：当/d>0.5时，单调增加，与真解接近；

当/d<0.5时，递减；当/d=0.5时，=fD：先是递增，在

处达极大值，在

=1处，=0，驻波§5差分格式和地转适应因为差分识别的最短波长为2d，所以最大波数即波数范围为：

或

或即A~D的频率只在上述范围内有意义。故：对于一维问题，B网格对于描述地转适应过程最好对于二维问题Arakawa跳点的C网格最好1.012031.0真解BCAD0.51§6守恒差分格式的构造1）守恒差分格式：保持连续大气的某些重要积分关系的格式

（时间差分截断误差较小，故大多只讨论空间差分格式）2）数值模式中的两类重要格式i）能量守恒格式，正压原始方程组满足总能量（平均能量）守恒的

差分格式ii)化为涡度方程后，无辐散气流对涡度的平流项满足涡度拟能守恒§6守恒差分格式的构造1能量守恒格式

为讨论方便，采用A-网格（变量分布），尽管C-网格描述地转适应

过程最好。取zs=0，h=z

i)连续性方程的差分格式与质量守恒约束离散化后：设积分区域如下：i=0,1,2,……,I;j=0,1,2,……,J0iIJj

(1)§6守恒差分格式的构造将差分格式（1）在求解区域内点域内求和即：i=1,2,……,I-1;j=1,2,……,J-1上式各项为图中虚线边界的法向通量，如果离散区域是封闭的，或是全球大气，则上式为零，即若半点的数值用整点的平均值代替，则（1）式变为：（质量守恒）(2)(3)§6守恒差分格式的构造ii)位能方程的差分格式与无外力作用时位能守恒约束构造以下位能方程的差分格式：用

乘以（3）式两边：左边第一项：上式即位能方程的时间导数项的离散形式§6守恒差分格式的构造左边第二部分：上式是位能方程以下项的差分格式：§6守恒差分格式的构造右边第三部分：上式是位能方程以下项的差分格式：§6守恒差分格式的构造三部分相加得位能方程的差分格式为：(4)（4）式右边第一个方括号对全球格点求和为零(令“-”项中的i为i+1，

j为j+1，与“+”项抵消)，因此(5)上式右边为能量转换项，无外力作用时此项为零，位能守恒§6守恒差分格式的构造iii)动量方程与平流过程中动量守恒约束构造以下动量方程的差分格式：平流过程中（不考虑气压梯度力和科氏力）动量守恒约束§6守恒差分格式的构造引入符号:§6守恒差分格式的构造构造动量方程的差分格式，以保证平流过程中全球大气动量守恒（这里气压梯度力差分格式待定）(7)(6)§6守恒差分格式的构造差分方程（6）和（7）式的平流项中，令“-”项中的i为i+1，j为j+1，与“+”项抵消，故全球所有格点求和后，平流项为零，即格式保证了平流过程中全球大气动量守恒(8)(9)§6守恒差分格式