曲线运动问题解析

曲线运动问题解析【知识结构】曲线运动恒定合外力匀变速曲线运动处理方法限定条件：F、v不同线规律（类）平抛运动运动的合成与分解特例F⊥v0曲线运动力的大小不变方向改变匀速圆周运动带电粒子在磁场中的运动天体的运动力的方向总与速度垂直限定条件：应用轨迹不是圆周的曲线此类问题往往应用能量守恒定律和牛顿第二定律求解此类问题往往应用动能定理或守恒律求解轨迹是圆周合力的大小和方向均在变化1.一般的曲线运动——运动的合成与分解注意：（1）仔细进行受力分析和运动分析，注意物体所受的力大小与方向是否会发生改变，力的方向与速度的方向是否在同一条直线上等等。（2）根据物体的受力情况和力与速度方向的关系，分析物体的运动情况，确定物体做什么性质的曲线运动。（3）对一般的曲线运动（非平抛运动和圆周运动）运用运动的合成与分解进行分析与处理。例1：在光滑水平面上有一质量m=1.0×10-3kg，电量q=1.0×10-10C的带正电小球，静止在O点，以O点为原点，在该水平面内建立直角坐标系Oxy，如图所示。现突然加一沿x轴正方向、场强大小为E=2.0×106V/m的匀强电场，使小球开始运动，经过，所加电场突然变为沿y轴正方向，场强大小仍为E=2.0×106V/m的匀强电场，再经过所加电场又突然变为另一个匀强电场。使小球在此电场作用下经速度变为0。求速度为0时小球的位置。OAxyBC解析：由牛顿定律可知小球在水平面上的加速度a=qE/m2。当场强沿x轴正方向时，经小球的速度大小为vx=at（方向沿x轴方向）小球沿x轴方向移动的距离为:沿y方向的距离:沿x方向的距离:△x2=vxt第2s未在y方向分速度为:vy=at在第2s内，电场方向y轴正方向，x方向不再受力，所以第2s内小球在x方向做匀速运动，在y方向做初速度为0的匀加速直线运动（类似平抛运动）由上可知，此时小球运动方向与x轴成45°角，要使小球速度变为0，则在第3s内所加电场方向必须与此方向相反，即指向第三象限，与x轴成225°角。在第3s内，设在电场作用下小球加速度的x分量和y方向分量分别为ax、ay，则

ax=vx/t2

ay=vy/t2

在第3s未，小球到达的位置坐标为：例2：如图所示，在距水平地面高为处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套有一质量m=2kg小球A。半径R＝的光滑半圆形细轨道，竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量也为m=2kg的小球B。用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来。杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响，g取10m/s2。现给小球A一个水平向右的恒力F＝55N。求：（1）把小球B从地面拉到P点正下方C点过程中，力F做的功；

BACOPF解析：（1）小球B运动到P点正下方C的过程中的位移为：BACOPF由于绳子不可伸长，所以小球B运动的位移大小等于小球B运动的位移大小，即xA=xB得：WF=FxA=22J（2）小球B运动到C处时的速度大小；（3）小球B被拉到离地多高时与小球A速度大小相等。BACOPF解析：（2）由动能定理得：

（3）涉及到绳子两端速度分解问题。当B球的速度沿绳子方向时，两者的速度相等，即：当绳与圆环相切时两球的速度相等。2.平抛、类平抛运动问题当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动。其轨迹为抛物线，性质为匀变速曲线运动。平抛运动可分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动。广义地说，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动。例3：一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状．此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧面．如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系xOy.已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y＝x2/2h；探险队员的质量为m.人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g.（1）求此人落到坡面时的动能；解析：（1）设该队员在空中运动的时间为t，在坡面上落点的横坐标为x，纵坐标为y.由运动学公式和已知条件得x＝v0t①

②根据题意有③根据机械能守恒，此人落到坡面时的动能为④联立①②③④式得⑤例3：一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状．此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧面．如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系xOy.已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y＝x2；探险队员的质量为m.人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g.（2）此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？解析：（2）⑤式可以改写为⑥v2取极小值的条件为⑥式中的平方项等于0，由此得此时v2＝3gh，则最小动能为例4：抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。现讨论乒乓球发球问题，如图所示，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力。（设重力加速度为g）（1）若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台的P1点(如图实线所示)，求P1点距O点的距离x1。类型1：平抛运动问题解析：如图所示。x1=v1t1解得：设发球时飞行时间为t1，根据平抛运动：（2）若球在O点正上方以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2（如图虚线所示），求v2的大小。解析：设发球高度为h2，飞行时间为t2，同理根据平抛运动：x2＝v2t2且h2＝h2x2＝L可得：（3）若球在O正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3，求发球点距O点的高度h3。解析：如图所示，发球高度为h3，飞行时间为t3，同理根据平抛运动得：x3＝v3t3且3x3＝2L设球从恰好越过球网到最高点的时间为t，水平距离为s，有：s＝v3t由几何关系知，x3＋s＝L解得：例5：如图所示，MN和PQ是两根放在竖直面内且足够长的平行金属导轨，相距l=50cm。导轨处在垂直纸面向里的磁感应强度B=5T的匀强磁场中。一根电阻为r的金属棒ab可紧贴导轨左右运动。两块平行的、相距d=10cm、长度L=20cm的水平放置的金属板A和C分别与两平行导轨相连接，图中跨接在两导轨间的电阻RΩ。其余电阻忽略不计。已知当金属棒ab不动时，质量m=10g、带电量q=－10－3C的小球以某一速度v0沿金属板A和C的中线射入板间，恰能射出金属板（g取10m/s2）。求：（1）小球的速度v0；类型3：类平抛运动的综合问题解析：（1）根据题意，小球在金属板间做平抛运动，根据平抛运动规律可得：所以：例5：如图所示，MN和PQ是两根放在竖直面内且足够长的平行金属导轨，相距l=50cm。导轨处在垂直纸面向里的磁感应强度B=5T的匀强磁场中。一根电阻为r的金属棒ab可紧贴导轨左右运动。两块平行的、相距d=10cm、长度L=20cm的水平放置的金属板A和C分别与两平行导轨相连接，图中跨接在两导轨间的电阻RΩ。其余电阻忽略不计。已知当金属棒ab不动时，质量m=10g、带电量q=－10－3C的小球以某一速度v0沿金属板A和C的中线射入板间，恰能射出金属板（g取10m/s2）。求：（2）若使小球在金属板间不偏转，则金属棒ab的速度大小和方向；解析：（2）由于小球带负电，A板必须带正电，金属棒ab的a点应为感应电动势的正极，根据右手定则可知，金属棒ab应向右运动。设金属棒ab的速度为v1，则：E=BLv1金属板A、C间的电压：

金属板A、C间的电场：小球受力平衡：qE电=mg

联立以上各式解得：

例5：如图所示，MN和PQ是两根放在竖直面内且足够长的平行金属导轨，相距l=50cm。导轨处在垂直纸面向里的磁感应强度B=5T的匀强磁场中。一根电阻为r的金属棒ab可紧贴导轨左右运动。两块平行的、相距d=10cm、长度L=20cm的水平放置的金属板A和C分别与两平行导轨相连接，图中跨接在两导轨间的电阻RΩ。其余电阻忽略不计。已知当金属棒ab不动时，质量m=10g、带电量q=－10－3C的小球以某一速度v0沿金属板A和C的中线射入板间，恰能射出金属板（g取10m/s2）。求：（3）若要使小球能从金属板间射出，则金属棒ab匀速运动的速度应满足什么条件？解析：（3）当金属棒ab的速度增大时，小球所受电场力大于小球的重力，小球将向上做类平抛运动，设金属棒ab的速度达到v2，小球恰沿A金属板右边缘飞出。有：qE场-mg=ma。根据对称性，a=g。所以：E′场=2E场。则有：v2=2v1=10m/s所以若要使小球能射出金属板间，则金属棒ab的速度大小：0≤v≤10m/s例6：从阴极K发出的电子束经电势差U0=4500V的阳极P加速后沿平行于板面的方向从中央射入两块长L1=10cm、间距d=4cm的平行金属板A、B之间，在离金属板右端边缘L2=75cm处放置一个周长为20cm的带有记录纸的足够高的圆筒，如图，整个装置放在真空中，电子从阴极K发出的初速不计，所受重力不计，并取电子质量m=0.90×10－30kg。求：（1）电子经U0加速后的速率。KPdU0ABHL1L2U2O解析：（1）电子经U0加速后进入偏转电场，速度v由动能定理：得：KPdU0ABHL1L2U2O例6：从阴极K发出的电子束经电势差U0=4500V的阳极P加速后沿平行于板面的方向从中央射入两块长L1=10cm、间距d=4cm的平行金属板A、B之间，在离金属板右端边缘L2=75cm处放置一个周长为20cm的带有记录纸的足够高的圆筒，如图，整个装置放在真空中，电子从阴极K发出的初速不计，所受重力不计，并取电子质量m=0.90×10－30kg。求：（2）现在两金属板上加上U2=900sin2πt（V）的交流电压，并使圆筒按图示方向绕中心轴转动，电子达到圆筒上离中心点O的最大距离。解析：（2）两金属板上所加交流电压U2变化的周期：电子在金属板间运动时间：

所以电子在金属板间运动时可认为交流电压不变。根据带电粒子在电场中偏转规律可知，电子在金属板间竖直方向偏转距离为：最大偏转距离为：

而解得：yH=16y

即打到记录纸上竖直方向的随交流电压的变化而变化，最大值为。KPdU0ABHL1L2U2Ox/cmy/cm0例6：从阴极K发出的电子束经电势差U0=4500V的阳极P加速后沿平行于板面的方向从中央射入两块长L1=10cm、间距d=4cm的平行金属板A、B之间，在离金属板右端边缘L2=75cm处放置一个周长为20cm的带有记录纸的足够高的圆筒，如图，整个装置放在真空中，电子从阴极K发出的初速不计，所受重力不计，并取电子质量m=0.90×10－30kg。求：（3）当圆筒以ω=πrad/s，在图中画出记录到的图形（以竖直向上为y轴正向，并以简要文字说明）解析：（3）由于圆筒转动周期为：又：T1=2T所以，圆筒转动周，交流电压变化1次，所以在圆筒上记录的是2个完整的正弦形状：x/cmy/c圆周运动问题注意：①仔细分析物体作圆周运动是受到的外力。物体受到的指向圆心方向的合外力即为向心力。向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力，解题时要明确各种情况下向心力的来源。②明确物体做圆周运动的运动平面，建立坐标时，一条坐标轴一定要指向圆心③圆周运动中的动力学方程即将牛顿第二定律应用于圆周运动，由于向心加速度表示不同，有以下各种情况，解题时应根据已知条件进行选择。（1）重力、弹力和摩擦力作用下的圆周运动问题例7：如图所示，一个小球沿竖直放置的光滑圆环形轨道做圆周运动，圆环的半径为R。关于小球的运动情况，下列说法中正确的是（）A.小球的线速度的方向时刻在变化，但总在圆周切线方向上B.小球的加速度的方向时刻在变化，但总是指向圆心的C.小球线速度的大小总大于或等于D.小球通过轨道最低点的加速度的大小一定大于g

R答案：ACD例8：在我国南方农村地区有一种简易水轮机，如图所示，从悬崖上流出的水可看做连续做平抛运动的物体，水流轨道与下边放置的轮子边缘相切，水冲击轮子边缘上安装的挡水板，可使轮子连续转动，输出动力．当该系统工作稳定时，可近似认为水的末速度与轮子边缘的线速度相同．设水的流出点比轮轴高h＝5.6m，轮子半径R＝1m．调整轮轴O的位置，使水流与轮边缘切点对应的半径与水平线成θ＝37°角．问：（1）水流的初速度v0大小为多少？（2）若不计挡水板的大小，则轮子转动的角速度为多少？（1）水流的初速度v0大小为多少？解析：（1）水流做平抛运动，解得：所以vy＝gt＝10m/s，由图可知：v0＝vytan37°＝7.5m/s.（2）若不计挡水板的大小，则轮子转动的角速度为多少？解析：（2）由图可知：根据

可得ω＝12.5rad/s.例9：“空中飞椅”的示意图如图所示，在半径为r=4m的水平转盘的边缘固定着N=10条长为L=10m的钢绳，纲绳的另一端连接着座椅（图中只画出2个），转盘在电动机带动下可绕穿过其中心的竖直轴OO′转动。设在每个座椅内坐着质量相同的人，可将人和座椅看成是一个质点，人和座椅的质量为m=60kg，已知重力加速度为g=10m/s2，不计钢绳的重力及空气的阻力。当转盘以某一角速度匀速转动时，座椅从静止开始随着转盘的转动而升高，经过一段时间后达到稳定状态，此时钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ=37。求（1）求稳定时钢绳对座椅的拉力F的大小及转盘转动的角速度ω；Lr解：（1）对人和座椅，做匀速圆周运动，绳的拉力与重力的合力指向圆心。竖直方向平衡：所以：F=mg/cos

=750N水平方向由牛顿第二定律可得：mgtan=m2R由几何关系得：R=r+lsinLrmgFF向θ代入数据得：（2）每个座椅从静止开始到随转盘稳定转动的过程中，绳子的拉力对座椅做的功；解析：（2）在转盘从静止启动到转速稳定这一过程中，由能量守恒定律可得：又：h=l（1-cos）

v=R解得W=3450JLr（3）如果带动转盘的电动机输出机械功率的效率为80%，转盘转动因因自身转动及克服各种摩擦损失的机械功率为20%，求从座椅开始运动到随转盘稳定转动的过程中，电动机消耗的电能。解析：（3）设在座椅从静止开始到随转盘稳定转动的过程中，电动机消耗的电能为ELr解得：E=5.4×104J例10：如下图左所示是游乐场中过山车的实物图片，右图是过山车的模型图。在模型图中半径分别为R1＝和R2＝的两个光滑圆形轨道，固定在倾角为α＝37°斜轨道面上的Q、Z两点，且两圆形轨道的最高点A、B均与P点平齐，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接。现使小车（视作质点）从P点以一定的初速度沿斜面向下运动。已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ＝1/24，g＝10m/s2，sin37°＝，cos37°＝。问：（1）若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处，则其在P点的初速度应为多大？ZPQABαO1O2ααR1R2解析：（1）小车经过A点时的临界速度为v1ZPQABαO1O2ααR1R2h1h2设Q点与P点高度差为h1，PQ间距离为L1，

P到A对小车，由动能定理得:解得例10：如下图左所示是游乐场中过山车的实物图片，右图是过山车的模型图。在模型图中半径分别为R1＝和R2＝的两个光滑圆形轨道，固定在倾角为α＝37°斜轨道面上的Q、Z两点，且两圆形轨道的最高点A、B均与P点平齐，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接。现使小车（视作质点）从P点以一定的初速度沿斜面向下运动。已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ＝1/24，g＝10m/s2，sin37°＝，cos37°＝。问：（2）若小车在P点的初速度为10m/s，则小车能否安全通过两个圆形轨道？ZPQABαO1O2ααR1R2解析：⑵Z点与P点高度差为h2，

PZ间距离为L2ZPQABαO1O2ααR1R2h1h2小车能安全通过两个圆形轨道的临界条件是在B点速度为v2且在B点时有：

设P点的初速度为：v02，P点到B点的过程，由动能定理得：解得：可知

，能安全通过。

（2）万有引力与航天中的圆周运动问题例11：我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图所示，关闭动力的航天飞船在月球引力作用下向月球靠近，并将沿椭圆轨道与空间站在B处对接，已知空间站绕月做圆周运动轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，下列说法中正确的是（）A.图中航天飞机正减速飞向B处B.航天飞船在B处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速C.根据题中条件可以算出月球质量D.根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小航天飞机空间站月球B答案：BC例12：在发射宇宙飞船时，控制中心的大屏幕上出现记录了飞船在地球表面垂直投影的位置变化。图中表示在一段时间内飞船绕地球圆周飞行四圈，依次飞经中国和太平洋地区的四次轨迹①、②、③、④，图中分别标出了各地点的经纬度（如：在轨迹①通过赤道时的经度为西经157.5°，绕行一圈后轨迹②再次经过赤道时经度为180°……），若地球半径为R=6400Km，地球表面处的重力加速度g=10m/s2，从图中的信息计算宇宙飞船的（1）运行的周期（2）飞船离地面的高度（3）运行的线速度大小解析：①飞船每运行一周，地球自转角度为180°－157.5°=22.5°则神舟飞船运行的周期T为

②由万有引力提供向心力，即：在地球表面处：可求得飞船的轨道半径：

或轨道高度：

③v=2πr/T

=7.8×103m/s

例13：地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω。万有引力恒量为G，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为m的物体离地心距离为r时，具有的万有引力势能可表示为。国际空间站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大气层上空绕地球飞行的一个巨大人造天体，可供宇航员在其上居住和科学实验。设空间站离地面高度为h，如果在该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到达地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行，由该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？解析：由

得卫星在空间站上动能为：卫星在空间站上的引力势能为：机械能为：同步卫星在轨道上正常运行时有：故其轨道半径：

由上式可得同步卫星的机械能：卫星运动过程中机械能守恒，故离开航天飞机的卫星的机械能应为E2设离开航天飞机时卫星的动能为Ekx：则:注意：①仔细分析物体作圆周运动是受到的外力。物体受到的指向圆心方向的合外力即为向心力。在多种力作用下，会可能有些力恰好平衡相抵消，如重力与电场力（大小相等，方向相反）②明确物体做圆周运动的运动平面，粒子在匀强磁场中只受洛伦兹力运动时，运动平面与磁场垂直。③带电体（带电粒子）在重力场、匀强电场和匀强磁场中运动，是圆周运动的综合性问题，也是高考的重点和热点。一定要掌握运动分析和运动规律，有的必须抓住临界点（条件）或特殊点（条件）才能正确求解。（3）重力、弹力和摩擦力及电场力、洛伦兹力作用下的圆周运动问题例14：回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频电源的两极相连接的两个D形金属盒，两盒间的狭缝中有周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如图所示，则下列说法中正确的是（）A．只增大狭缝间的加速电压，可增大带电粒子射出时的动能B．只增大狭缝间的加速电压，可增大带电粒子在回旋加速器中运动的时间C．只增大磁场的磁感应强度，可增大带电粒子射出时的动能D．用同一回旋加速器可以同时加速质子（）和氚核（）答案：C类型1：带电粒子在磁场中的圆周运动例15：如图所示，在平面直角坐标系中有一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场，其边界过原点O和y轴上的点a（0，L）。一质量为m、电量为e的电子从a点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场，从b点射出，此时速度方向与x轴正方向的夹角为60°。些列说法正确的是（）A.电子在磁场中运动的时间为B.电子在磁场中运动的时间为C.磁场区域的圆心坐标为D.电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为（0，-2L）Obav0xy答案：B例16：电子质量为m、电量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，大小均为v0，如图所示,现在某一区域加方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏MN与y轴平行，求：（1）若射入时速度方向与x轴正向的夹角为θ，则电子离x轴的最远点P的坐标（xP，yP）。OxyMN解析：电子在磁场中运动，有：所以：由图可知，电子离x轴的最远点P的坐标（xP，yP）OxyMNθP离x轴最远点P的坐标：（，）例16：电子质量为m、电量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，大小均为v0，如图所示,现在某一区域加方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏MN与y轴平行，求：（2）荧光屏上光斑的长度。OxyMN解析：当θ=0°时：当θ=90°时：荧光屏上光斑的长度为：Δy例16：电子质量为m、电量为e，从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，大小均为v0，如图所示,现在某一区域加方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏MN与y轴平行，求：（3）所加磁场范围的最小面积，并在图中较准确地画出这个区域的示意图。OxyMN解析：所加磁场区域如图所示。例17：如图所示，在水平方向的匀强电场中的O点，用长为l的轻、软绝缘细线悬挂一质量为m的带电小球，当小球位于B点时处于静止状态，此时细线与竖直方向（即OA方向）成θ角。现将小球拉至细线与竖直方向成2θ角的C点，由静止将小球释放。若重力加速度为g，则对于此后小球的受力和运动情况，下列判断中正确的是（）A．小球所受电场力的大小为mgtanθB．小球从C点到B点的运动时间可能等于πC．小球可能能到达A点，且到A点时的速度不为零D．小球运动到A点时所受绳的拉力可能最大ABCEOθθ答案：A类型2：带电体在重力场、电场和磁场中的圆周运动例18：如图所示，虚线EF的下方存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度为E，磁感应强度为B.一带电微粒自离EF为h的高处由静止下落，从B点进入场区，做了一段匀速圆周运动，从D点射出。下列说法正确的是（）A．微粒受到的电场力的方向一定竖直向上B．微粒做圆周运动的半径为C．从B点运动到D点的过程中微粒的电势能先增大后减小D．从B点运动到D点的过程中微粒的电势能和重力势能之和在最低点C最小hBCDEF答案：ABC例19：如图所示，在地面附近有一范围足够大的互相正交的匀强电场和匀强磁场。磁感应强度为B，方向水平并垂直纸面向外。一质量为m、带电量为－q的带电微粒在此区域恰好作速度大小为v的匀速圆周运动。（重力加速度为g）（1）求此区域内电场强度的大小和方向。P45°解析：（1）带电微粒在做匀速圆周运动，电场力与重力应平衡，因此：mg=Eq解得：方向：竖直向下例19：如图所示，在地面附近有一范围足够大的互相正交的匀强电场和匀强磁场。磁感应强度为B，方向水平并垂直纸面向外。一质量为m、带电量为－q的带电微粒在此区域恰好作速度大小为v的匀速圆周运动。（重力加速度为g）（2）若某时刻微粒运动到场中距地面高度为H的P点，速度与水平方向成45°，如图所示。则该微粒至少须经多长时间运动到距地面最高点？最高点距地面多高？P45°解析：（2）粒子作匀速圆周运动，轨道半径为R，