题直线和圆易错起源

→ →1．(2017·北京卷 )已知点 P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则AO·AP的最大值为________．→ →解析：法一 由题意知，AO＝(2，0)，令P(cos α，sin α)，则AP＝(cos α＋2，sin α)，→ → → →AO·AP＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cosα＋4≤6，故AO·AP的最大值为 6.→法二 由题意知，AO＝(2，0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，→ → → →则AO·AP＝(2，0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故AO·AP的最大值为 6.答案：6(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________．3．【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy中,A(12,0),B(0,6),点P在圆O：x2y250上,若PAPB≤20,则点P的横坐标的取值范围是▲.【答案】52,1【解析】设Px,y，由PAPB20，易得2xy50，由{2xy50，可得A:{x5或x2y250y5B:{x1，由2xy50得P点在圆左边弧AB上，结合限制条件52x52，可得点P横坐y7标的取值范围为 5 2,1．4.【2016高考新课标2理数】圆22axy101的圆心到直线的距离为，则a=（）（A）43（C）3（D）2（B）3 4【答案】A【解析】圆的方程可化为(x1)2(y4)24，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：a414，故选A．d1，解得a3a215.【2016高考上海理数】已知平行直线l1:2xy10,l2:2xy10，则l1,l2的距离___________.【答案】255【解析】利用两平行线间距离公式得d|c1c2||11|25.a2b2221256.【2016高考新课标3理数】已知直线l：mxy3m30与圆x2y212交于A,B两点，过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点，若AB23，则|CD|__________________.【答案】47.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆2y22x150,1,0的圆心为）A直线l过点B（且与x轴不重合,l交圆A于,两点,过B作的平行线交于点.CDACADE（I）证明EAEB为定值,并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线1,直线l交1于,两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于,两点,求四边CCMNPQ形面积的取值范围.MPNQ【答案】（Ⅰ）x2y21（y0）（II）[12,83)4 3【解析】（Ⅰ）因为|AD||AC|，EB//AC，故EBDACDADC，所以|EB||ED|，故|EA||EB||EA||ED||AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA||EB|4.由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：x2y21（y0）.43（Ⅱ）当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x,y)，N(x,y).1122yk(x1)由x2y2得(423)x282x4k2120.1kk43则x1x28k2，x1x24k212.4k24k233所以|MN|1k2|x1x2|12(k21).4k23过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y1(x1)，A到m的距离为2，所以kk21|PQ|242(2)244k23.故四边形MPNQ的面积k21k21S1|MN||PQ|1211.24k23可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83).当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83).8.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:x2y212x14y600及其上一点A(2,4)（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点，且BCOA,求直线l的方程；（3）设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q,使得TATPTQ,,求实数t的取值范围。【答案】（1）(x 6)2 (y 1)2 1（2）l:y 2x 5或y 2x 15（3）2 221 t 2 221（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为402.20设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，则圆心M到直线l的距离2 6 7 m m 5d .5 5因为BCOA224225,而MC2d2（BC2）,22m55，解得m=5或m=-15.所以255故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.（3）设Px1,y1,Qx2,y2.因为A2,4,Tt,0,TATPTQ，所以x2x12t⋯⋯①y2y14因为点Q在圆M上，所以x22y272⋯⋯.②625.x1t42y1225.将①代入②，得3于是点Px1,y1既在圆M上，又在圆xt42y3225上，2225与圆xt42y225没有公共点，从而圆x6y73所以55t4623722221t2221.55,解得因此，实数t的取值范围是2221,2221.易错起源1、直线的方程及应用例1、(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2(2)已知两点(3,2)和(－1,4)到直线＋＋3＝0的距离相等，则的值为()ABmxym11A．0或－2B.2或－6111C．－或2D．0或22答案(1)C(2)B解析(1)两直线平行，则AB－AB＝0且AC－AC≠0或BC－BC≠0，所以有－2(k－3)－2(k－3)(4－122112211221k)＝0，解得k＝3或5，且满足条件，故正确答案为C.(2)依题意，得|3m＋5||－m＋7|2＝2.m＋1m＋1所以|3m＋5|＝|m－7|.所以(3m＋5)2＝(m－7)2，2所以8m＋44m－24＝0.2所以2m＋11m－6＝0.1所以m＝2或m＝－6.【变式探究】已知直线 l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：(3－a)x－y＋a＝0，若l1⊥l2，则a的值为( )A．1 B．2C．6 D．1或2答案 D解析 由l1⊥l2，则a(3－a)－2＝0，即a＝1或a＝2，选D.【名师点睛】求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．【锦囊妙计，战胜自我】1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线 l1，l2的斜率k1，k2存在，则 l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|.22A＋B|Ax＋By＋C|(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝000.的距离公式d＝A2＋B2易错起源2、圆的方程及应用例2、(1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A．(x－2)2＋(y±2)2＝3B．(x－2)2＋(y±3)2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4D．(x－2)2＋(y±3)2＝4(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为23，且与直线l2：2x－ 5y－4＝0相切，则圆 M的方程为( )A．(x－1)2＋y2＝4

B．(x＋1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝4

D．x2＋(y＋1)2＝4答案

(1)D

(2)B解析

(1)因为圆

C经过(1,0)

，(3,0)

两点，所以圆心在直线

x＝2上，又圆与

y轴相切，所以半径

r＝2，设圆心坐标为

(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝±

3，所以选

D.【变式探究】x2y2的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为(1)一个圆经过椭圆＋＝1164________________．(2)两条互相垂直的直线2x＋y＋2＝0和ax＋4y－2＝0的交点为P，若圆C过点P和点M(－3,2)，且圆心在直线＝1上，则圆的标准方程为______________．y2xC答案(1)x－32＋y2＝2524(2)(x＋6)2＋(y＋3)2＝34解析(1)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点，(4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2)，335令y＝0，解得x＝2，圆心为2，0，半径为2.得该圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝25.24由直线2x＋y＋2＝0和直线ax＋4y－2＝0垂直得2a＋4＝0，故a＝－2，代入直线方程，联立解得交点坐标为P(－1,0)，易求得线段MP的垂直平分线的方程为x－y＋3＝0，设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心(a，b)为直线x－y＋3＝0与直线y＝1x的交点，由x－y＋3＝0，1解得圆心坐2y＝2x，标为(－6，－3)，从而得到r2＝34，所以圆C的标准方程为(x＋6)2＋(y＋3)2＝34.【名师点睛】解决与圆有关的问题一般有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程； (2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．【锦囊妙计，战胜自我】1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为 r时，其标准方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2y2＝r2.2．圆的一般方程22＋＋＝0，其中22DED2＋E2－4Fx＋y＋D＋E－4>0，表示以(－，－)为圆心，为半径的圆．DxEyFF222易错起源3、直线与圆、圆与圆的位置关系例3、(1)已知直线2x＋(－3)－4＝0(∈R)恒过定点，若点P平分圆2＋y2－2x－4－4＝0的弦，ymmPxyMN则弦所在直线的方程是()MNA．x＋y－5＝0 B．x＋y－3＝0C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形 PACB的最小面积是 2，则k的值为( )A．3 B.

212C．2 2 D．2答案 (1)A (2)D解析 (1)对于直线方程 2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)，取y＝3，则必有x＝2，所以该直线恒过定点 P(2,3)．设圆心是C，则易知C(1,2)，3－2所以kCP＝2－1＝1，由垂径定理知 CP⊥MN，所以kMN＝－1.又弦MN过点P(2,3)，故弦MN所在直线的方程为 y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.(2)如图，把圆的方程化成标准形式得x2＋(－1)2＝1，所以圆心为(0,1)，半径为r＝1，四边形的面yPACB积S＝2S，所以若四边形PACB的最小面积是2，则S的最小值为1.而S＝12△PBC△PBC△PBC值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，此时d＝|5|＝12＋22＝5，k2＋1即k2＝4，因为k>0，所以k＝2.【变式探究】(1)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或12(2)已知在平面直角坐标系中，点A(22，0)，B(0,1)到直