2015年全国入学统一考试数学二试题详版答案

2015年入学统一考试数学（二）试一、选择题:1-8小题,4分,32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要下列反常积分收敛的是

1x2x

lnx (C)1 xln

x2【答案】

xdx(x1)ex

xdx(x1)ex3e2lim(x1)ex3e2

22sint2

fx

x)

在(,)内 【答案】

2sint2

sintxf(xt

)tet0xx

ex0f(xx0xcos设函数fx

,x

(00),fxx0处连续则

0,x

02(D)0【答案】x0fx

f0f0

xcos

1limx11 xxx111x111x11xx1fxx0处连续则f0f0limx1cos

0得1 f0limfx=limx1cos

x1

1 +

x0

x10设函数f(x)在内连续，其中二阶导数f(x)的图形如图所示，则曲线yf(x)的拐点的个数 (C)(D)【答案】设函数fu,v满足fxy,yx2y2，则f 与

依次是 x

u

v

1,0221

2,010,【答案】【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解令uxyvy，则xx

1

,y

1

f(x

x

x2y2u

uv

u2(1

2u(1v)

f(u,v)1v

1v

1

.故u

1

(1

0,

1.故选2D是第一象限由曲线2xy1，4xy1yx，y

3x围成的平面区域函数fx,y在D上连续，则fx,ydxdy D

3

frcos,rsin 2sin

3d

frcos,rsin1 1

3

frcos,rsin 2sin

3d

frcos,rsin1 1【答案】D(r,

12sin12sin

r 1sin1sin f(x,D

32sin2sin

f(rcos,rsin 1

1 设矩阵A a,bd.若集合1,2则线性方程组Axb有无 a2 2 d多解的充分必要条件为 a,d(B)a,d(C)a,d(D)a,d【答案】

1 1 【解析】(A,b)

d

a

d d2 (a1)(a (d1)(d2) ，rA)rAb)3a1或a2d1d2。故选设二次型

fx1,x2,

在正交变换xPy下的标准形为2y2y2y2 Pe1e2e3，若Qe1e3e2 为

x1x2x3xQy 2y2y2 (C)2y2y2 【答案】xPy

2y2y2 2y2 xTAxyT(PTAPy2y2y2y 0 PTAP 0 1 0 QP 1 0 0QTAQCT(PTAP)C 0

1 xTAxyT(QTAQy2y2y2y2。 二、填空题 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在指定位置上d2d2

y3tt3

t1【答案】

2【解析

d[3(1t2d[3(1t2)2

3(1td2 2

12t(1t2) 2

d2d2

)]

1t

12t(1tt函数f(x)x22x在x0处的n阶导数fn(0) 【答案】nn1ln【解析】根据公式得nfn0C222xn

n(n1)2ln2n2n(n1)ln2n2fx连续，x【答案】

xftdt，若11,15f1x1 x2 x1【解析】已知(x) f(t)dt，求导得(x) (112f(15f(12

f(t)dt2xf(x

f(t)dt0yyxyy2y0x0yx3yx=【答案】e2xy03y00220解得1 yCexCe2xy03y00C2C y2exZzxy由方程ex2y3zxyz1确定，则【答案】1dx2dy

0,0=x0,y0z0，则对该式两边求偏导可得(3ex2y3zxy)zyzex2(3ex2y3zxy)zxz2ex2y3z。将（0,0,0）点值代入即1,

2

3y(0, dz

1dx2dy1dx2dy 若3A的特征值为22,1BA2AEE为3B【答案】A22,1.B的所有特征值为37,1.所以|B|37121。三、解答题：15～23小题,94分.请将解答写指定位置上.解答应写出文字说明、证明(15)(10分f(xxaln(1xbxsinxg(xkx3.f(xgxx0时是等价无穷小，abk的值.a1k1b

因为ln(1x)x o(x)，sinxx o(x)

(1a)x(ba)x2ax31limf(x)limxaln(1x)bxsinx

x0

1a

a 可得：b 0，所以，b 22 22 a k

bsinxbxcos1

f(x)

xaln(1x)bxsin

1x0

由分母lim3kx20，得分子lim

)于是1

f(x)

1x

1bsinxbxcos

x0

3k2

由分母lim6kx0

6kx求得b12进一步，b

11sinx(1x)cosx1xcosx1x(1x)sin1

f(x) x0

1cosxcosx(1x)sinx1cosx1xsinx1(1x)sinx1xsinx1x(1x)cos

2k1 (16)10分A>0，DyAsinx(0xy0x所围成的平面区域，V Dxy轴旋转成旋转体的体积，若V1V2A8dxdx 1cos

2V2f2V2f2(x)dx2(Asinx)2dx2

V222xf(x)dx-2A2xdcosx 由题VV求得A8 (17)(11分x已知函f(xy满足f"(xy2y1)exx

f'(x,0)(x1)ex

f(0yy22y，求f(x,yf(01f(xy2y1)exyf(x,y)2(1y2y)ex(x)(y22y)ex(x) xf(x,0(x)x1)ex，求得(x)ex(x1，xxf(x,y)y22y)exex(1x)xxf(x,y)(y22y)exex(1(y22y)ex(1(y22y)ex(1x)ex(y22y)ex(1x)exex(y22y)exxexf(0yy22yCy22y，求得Cf(xy)y22y)exxexf(y22y)exexxex

x令

f(2y2)exy(y22y)ex2exxexy

，求得

y

2(y1)ex，f

2exACB20,f(01)1(18)(10分x(xy)dxdyD(xy)x2y22yD x(xy)dxdy 1212

x21x201

x222x2sin22202

2x2dx 5

242sin2t2cos2tdt 2u2t

24sin22tdt 2sin2udu 0(19)(11分

已知函数fx【答案】2f(x

11t2dt1x1x

X21tdtfx111x2(2x11f(x)0x12在(1)f(x单调递减,在1f(x 1f(2 f()11t2dt41tdt11t2dt

1 11t2dt11td11t2dt11td21 11111t在(,12

,故

dt

1tdt1f(1211t2

f(x)

dt

1tdt]1t21t2 1t21t2

f(x)

dt

1tdt]

1tdt

11x11t2

2x2x1 1

f(x)f(x在(12

及(,

21C，还需冷却多长时间？【答案】【解析】设tx(tk(0)，介质温度为mdxk(xmx(tCektmx(0)120m20，所以C100x(t)100ekt x2)30k2ln10x(t)100t1x21t１，所以还需要冷却fx在区间a，+2fa0fx0f''x0bayfx在点bfbx轴的交点是x0，0ax0b【证明】根据题意得点(b,f(byf(b)f(b)(xy0

b

fff(x)0f(xf(af(b)0f(b)x0b

f(b)fx0aba

ff(b)，而在区间（a,b）上应 日中值定理f(b)f(a)b

f(),(a,f

f

f

f(b)f(x0aba

f(b)

f()

f(b)f

f(b)f(f(x0f(x单调递增所以f(b)f()x0a0x0aax0b，结论得证.(22)11 0设矩阵A 1且A3O a 求a的值XXXA2AXAXA2EE3X

a0,X1

(I)A3O

A0

11

1a30a

XXA2AXAXA2EXEA2AXEA2 EAXEA2EXEA1EA21EA2E XEA2 11 EA2A 1 2 11 0 0 10 0 1 0 20 1 2 1

10

10 0 0 1 11 11 102

03

01 1 01 12 12 3X

2 2

0设矩阵A 3相似于矩阵B 0 a 1 求ab的值PP1AP为对角阵（1）a4,b5

P 1 【解析】(I)A~BtrA)tr(B)3a AB 3