广东省惠州市华罗庚中学数学直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系〔第1课时〕【授课类型】新授课【教学目标】1.知识与技能:理解直线与圆的位置关系；掌握判断位置关系的两种方法。2.过程与方法：〔1〕理解直线与圆的三种位置关系，感受直线与圆的位置与它们的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系；〔2〕体验通过比拟圆心到直线的距离和半径之间的大小判断直线与圆的位置关系，领会数形结合的思想方法，让学生通过观察图形,明确数与形的统一性和联系性.3．情感态度与价值观：让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，感受“方程思想〞、“坐标法〞等数学思想的内涵，养成良好的思维习惯。【教学重点】直线与圆的位置关系的判断及判定方法的应用；【教学难点】直线与圆的位置关系的判定方法的灵活应用。【学情分析】学生在初中平面几何中已经接触过直线与圆的位置关系，前面已经学习了直线方程、圆的方程、两直线的位置关系以及点到直线的距离等知识，具备了利用方程及图形研究直线与圆的位置关系的根本能力。授课班级是本校的重点班，学生根底较好，勤于思考，但不是很愿意主动发言，所以教师要设计好问题，引导学生一步一步得出结论.在教学中加强师生互动，尽多的给学生动手的时机，让学生观察、讨论，发表自己的思路和想法，锻炼语言表达能力。【教学内容分析】圆的教学在平面几何占有重要地位，并且直线与圆的位置关系应用比拟广泛。从知识体系上看，它安排在“点和圆的位置关系〞之后，“圆与圆的位置关系〞之前；从数学思想方法上看，它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程及相关知识间的联系，用数形结合的思想来研究问题使几何问题代数化。因此，无论是知识还是方法上直线与圆的位置关系都具有承上启下的作用。学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系,并知道可以利用直线与圆的公共点的个数，圆心与直线的距离d与半径r的关系来判断直线与圆的位置关系,但是判断的实质是定性研究〔d与r都是直接给数据或者利用几何证明来得出d与r的数量关〕。在高中要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法，也就是定量研究.解决问题的方法主要是几何法(d-r法)和代数法〔Δ法〕.其中几何法是在初中学习的根底上,结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离d后,比拟与半径r的关系从而作出判断.而代数法是结合直线方程与圆的方程，通过联立方程形成方程组，转化为二次方程根的判别问题从而做出判断。两种方法学生都可以自己讨论得到,通过具体问题学生掌握“代数法〞与“几何法〞，明确代数法更具有一般性，几何法那么紧扣圆的几何特性，充分利用圆的性质。所以在研究直线与圆的位置关系时“几何法〞更实用一些.通过教学想让学生体会：解析几何的核心就是坐标法即几何问题代数化，计算是必不可少的，提高计算能力也是必要的。含参数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用，也可适度地引入课堂教学中，但以深化“判定直线与圆的位置关系〞为目的，要控制难度。虽然学生学习解析几何了,但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法，学生仍是似懂非懂，因此应不断强化，逐渐内化为学生的习惯和根本素质。【教学方法】教师启发讲授、学生探究学习【教学准备】多媒体课件【教学过程】〔一〕、复习导入1、知识准备(1)直线方程一般式：Ax+By+C=0(A,B不同时为零)；(2)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为(a,b),半径为r；(3)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F＞0)，圆心为(-,-),半径为；(4)点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0〔A2+B2≠0〕的距离是。设计意图：为本节课的学习做好知识准备。2、问题引入在初中，我们学过直线与圆的位置关系，请同学们回忆一下，直线与圆有哪几种位置关系？我们怎样判断直线与圆的位置关系？设计意图：回忆直线与圆的位置关系，引入新课。在学生回忆口答的根底上，教师给出板书，得出以以下图表，注重数与形的结合。直线与圆的三种位置关系含义及判断方法图表：直线与圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系图形相交两个d＜r相切只有一个d=r相离没有d>r〔二〕、问题探究1、思考探究：现在，我们学习了直线和圆的方程，我们如何用直线方程和圆的方程判断它们之间的位置关系？实例探讨：先看以下问题，看看你能否从问题中总结出如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？直线与圆，判断它们的位置关系。解法一圆的圆心是O(0,0),半径是r=1,圆心到直线的距离所以，此直线与圆相切解法二建立方程组得，由=1\*GB3①得，=3\*GB3③把=3\*GB3③带入=2\*GB3②得，整理得，解得，，即此直线与圆只有一个公共点，从而直线与圆相切。2、方法提炼回忆我们前面提出的问题：如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？设计意图：抽象判断直线与圆的位置关系的思路与方法.引导学生从几何的角度说明判断方法和通过直线与圆的方程说明判断方法，并利用图形，寻找两种方法的数学思想，得出以下结论判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法：根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系来判断．如果d<r，直线与圆相交；如果d=r，直线与圆相切；如果d>r，直线与圆相离．代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的情况来判断．如果有两组实数解时，直线与圆相交；有一组实数解时，直线与圆相切；无实数解时，直线与圆相离．〔三〕、知识应用1、知识直接应用例1如图，直线l：3x+y–6=0和圆心为C的圆x2+y2–2y–4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.设计意图：体会判断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系.使学生熟悉判断直线与圆的位置关系的根本步骤.分析：方法一：由直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系.例1解法一：由直线l与圆的方程，得消去y，得x2–3x+2=0，因为△=(–3)2–4×1×2=1＞0所以，直线l与圆相交，有两个公共点.解法二：圆x2+y2–2y–4=0可化为x2+(y–1)2=5，其圆心C的坐标为〔0，1〕，半径长为，点C(0，1)到直线l的距离d=＜.所以，直线l与圆相交，有两个公共点.由x2–3x+2=0，解得x1=2，x2=1.把x1=2代入方程①，得y1=0；把x2=1代入方程①，得y2=0；所以，直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是A(2，0)，B(1，3).方法总结：判断直线与圆的位置关系的步骤及最优方法比拟两种解法,我们可以看出,几何法判断要比代数法判断快得多,但是假设要求交点,仍需联立方程组求解.2、变式应用1例2、设直线和圆相切，求实数m的值。活动:学生思考或交流,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价.我们知道,判断直线l与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解,或依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.反过来,当圆与直线的位置关系时,也可求字母的取值范围,所求曲线公共点问题可转化为m为何值时,方程组有有两组相同实根的问题，圆与直线只有一个公共点的问题,可转化为m为何值时圆心到直线的距离等于半径的问题。解法一：圆的圆心为O(0,0),半径r=1,那么O到直线的距离由得d=r,即解得m=解法二：把直线方程与圆的方程联立得把①代入②中得由直线和圆相切可得：3、变式应用2例3、⊙C：(x-1)2+(y-2)2=2，P(2,-1)，求过点P作⊙C相切线的直线方程.活动:学生思考讨论,教师提示学生解题的思路,引导学生回忆直线方程的求法,既考虑通法又考虑图形的几何性质.此切线过点p(2,-1),要确定其方程,只需求出其斜率k,可利用待定系数法(或直接求解).直线与圆相切的几何特征是圆心到切线的距离等于圆的半径.解：点评:过圆外点P(x,y)的圆的切线必有两条,一般可设切线斜率为k,写出点斜式方程,再利用圆心到切线的距离等于半径,写出有关k的方程，求出k。但是要首先根据题意，判断切线斜率是否存在。〔四〕、稳固练习：1、判断直线与圆的位置关系。2、以C(1,3)为圆心，为半径的圆与直线相切，求实数m的值3、求过点〔1，-7〕且与圆相切的直线方程。答案：1、相交2、3、〔五〕、课堂小结教师提出以下问题让学生思考：〔1〕通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？〔2〕判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？〔3〕如何求圆的求切线方程?〔六〕、作业习题4.2A组1、2、3.〔七〕、板书设计直线与圆的位置关系〔一〕多媒体投影区直线与圆的位置关系二、直线与圆的位置关系判断方法1、带书法2、几何法例1例2例3学生板演练习教学反思本节课是在学习了点和圆的位置关系的根底上进行的,是为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课.本节的主题是直线和圆,在解析几何中,直线与圆的关系是一个u非常重要的知识点,可以对学生的思维有一个很好的锻炼,将几种重要的数学思想灌输给学生.首先,一开始的复习提问全面又突出重点,特别是“初中学习的如何判断直线和圆的位置关系？〞这个问题,为学生思考提供了很好的引导.其次对于例题的选择有很高的要求,好的例题是一个好教案的重要保证.在例题的设计方面,本教案共分为三个层次来一步步的推进,让学生由浅入深,从思维容量上层层递进,对学生的思考和分析都有很好的引导作用,通过思路1的例题1、2对直线与圆的几种位置关系作了稳固,是每个学生都必须也能够掌握的.但这几题虽是根底题也并不是平淡无奇的题