高中数学汇编-定积分

第八节

1212ni①如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a=x0<x1<x2<…<xi+1<xi<…<xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi-1,xi上任意取一点ξi(i=1,2,,n作和式ninf()xn

b

f(ibb

当n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做bf(x)在区间[a,b]上的定积分，记作afb

，即af

nnlim=n

。b②在af(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]bb①当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时，定积分af(x)dx的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0y=f(x)所围成的曲边梯形的面积（左图中阴影部分。bb②一般情况下，定积分af(x)dxxf(x)x=a,x=b之间的x轴下文的面积等于该区间上积分值的相反数。b ①akf(x)dxk

f(x)dx(k为常数； ②

f(x)dx

f(x)dx

f(x)dx(其中ac ③a[f1(x)f2(x)]dxaf1(x)dx

f2。SS1，S2SS1+S2，用定积分表示变是b叫做微积分基本定理,又叫做—公式。bbf(x)dxF(x)|bF(b)为了方便，常把F(b)-F(a)记成F（x）|ab,即 y=f(x)x=a,x=b(a<b)y=0如图①所示，f(x)≥0,∴Saf(x)dxbb如图②所示f(x)≤0,∴S=af(x)dxbbbS=af(x)g(x)dx.b（4）axc时，f(x)0,当cxb时，f(x)0, S

f(x)dx

f.x轴上下方时就不相)(bsav(t)dtbbx=b(a<b)(单位：m)F(x)所作的功为WaF(x)dxb1、相关 af(x)dxaf(t)dtaf②定义中区间的分法和ibaf(x)dx限定下限小于上限，即a<b,b af(x)dxbf(x)dxaf(x)dx=02b11〗用定积分的定义计算定积分a

分析：n等分区间[a,b近似代替求和解答：将区间[a,b等分，设分点分别为a=x0<x1<x2<xi+1<xi<xn=b,取ξxixixixi1(i0,1, ,n

i[xi,xi1

S

x)(1

)11n

xi

blim于是n

，即a 2x=1,x=2,y=0和曲线y=x3围成的图形的面积（1）n(nnn1,n(nn用分点

将区间[12]n n1n ni1n n(n , ni

Δx=

,xABCDn,sn形，它们的面积分别记作s1,sn

i

i

3i

xn小矩形面积代替第 个小曲边梯形的面积，可近似地表示xxni13nn, n个小矩形面积的ABCDS的近似值，即x(nnx(nn )3nnnn

当分点数目越多即Δx越小和式①的值就越接近于曲边梯形ABCD的面积当n 即Δx0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积。n

i111 1[n(n

nSlimn

(ni1

113)n )1、相关f(x)f(x)的一个原函数，正确运用求导f(x)进行变形。④利用—公式求出各个定积分的值232(4x32

(x1)5

2cos2（1）

（2）

（3）（1） 6

6 [(x1)6

(x

1(x

dx6(x1)|1（2）因 ，所 1、相关 f(x)为偶函数，且在关于原点对称的区间[-a,a]上连续，则af(x)dx af(x)为奇函数，且在关于原点对称的区间[-a,a]上连续，则af(x)dxa2

f;x3(0xf(x)x(1x

2x14(4x

在区间[0,5]2（2）求132xdx2（2）（1）

32x32x2x

1x23x2

0f(x)dx0f3x4 3| x2| 6232 16 1132xdx232xdx332xdx112 2 )dx3(2x12 x2)|2(x23x)|2 2

4 x0x

xx

t,t[0,1于是

1,dxdt2 1 x4 x∴0 222

2tdt221t

2(1

01

1

1 2 201dt201tdt2t|02ln(1t)|042ln

x号无关，所以dx2tdt，从而将问题转化为我们熟悉的被积函数式，再利用定积分公式求xaa

a2x2dx(a

解答： 表示 的图象与所围成的图形的面积，如图： 得且（y≥0，∴ 表示以原点圆心， 为半径的上半圆，其面积 ，f(x)在闭区间［-a，a］上连续，则：(1)f(x)是偶b函数，则afxdxb则afxdxb

f(x)在区间［a,b］上恒为正时，定积分f(x)dxx=a，x=b(a≠b)，y=0y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.b根据定积分的几何意义，若f(x)≥0，则在［a,b］上的阴影面积Safxdx；若bb0，则在［a,b］上的阴影Safxdxb注：当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与所围成的1、相关21yx21x=2，y=0所围成的图形的面积思路分析：画出图象x轴交点用定积分求面积x=2yx21（1，0 S1|x21|dx2(x21)dx1(1x2)dx2( x3

(x3

3)|1(

x)|1(13)(13)(3

2)(32y22xy=x-4y=x-4y22x解方程组得y=x-4y22x交点的坐标分别为（2，-2）和（8，4） S0 (2x)]dx2 (x 22 xdx 2 xdx2xdx2223

0x2|20

23

x2|823223

x2|84x 161(2623)1(8222)4(8 1、相关物体作变速直线运动的速度v(t)等于加速度函数a=a(t)在时间区间[m,n]nma(t)dtv(mn①求变力作功，要根据物理学的实际意义，求出变力F(x) 即可求出变力F(x)所作的功。 制动到经过t秒后的速度为v=v0+0adx2000.4dx200.4tv=0 ss

vdt0(200.4t)dt〖例〗如图所示 已知曲线

:y

与曲线C:yx22ax(a （1）yyx2（1

xyy解得

x或y或

∴（00（a,a2St(x22ax)dx1tt21(t22att2)(a (1x3ax2)|t1t3(t2at)(a 1t3at21t3t32at2a2t1t3at2 Sf(t)1t3at2a2t(0t6111122（2）f’(t)=2t2-2at+a2,令f’(t)=0，即2t2-2at+a2=0。解得 )a或 222 )a212若 )a≥1,即a≥22∵0<t≤1，∴f’(t)≥0

2 1∴f(t)在区间0,1上单调递增，S的最大值是f(1)=a2-a+62 2若 时22当 )a时22当 )a<t≤1时222∴f(t)在区间(0, 2212222 )a)=6[ )a]3- 2222

222 a2a (a2 2f 222

(1a2 2

【感悟高

1(ex0

等于 【思路点拨】寻求函数ex2x的原函数，从而求得积分值 被积函数ex2x的原函数为exx2,1(ex2x)dx(exx2) 112)(e00)

xyx2yA.

C.

y xy

xyx联立yx2得交点坐标为(42) 2 xS (x2)dxx

x2

2x)]|4030,x,y

1A．

3 C． 3 |

3cosxdx3

|sinx|33 3 3 xf(x)x

x„4.（2011·陕西高考理科·T11）

，若ff(11，则a x1算起是解答本题的突破【精讲精析】答案： 因

x1

af(x)x3t2dtxa

f(0a3a31a05（2010

42 A2ln【答案】

B2ln(lnx)1x

Cln

Dln41dxlnx|4ln4ln2ln所以2

2页,1第一小题改编而来.原题为:16661f(x)为偶函数，且6

f(x)dx8，则6f(x)dx 2、(2011·福州模拟) (其中e为自然对数的底数)，则e0fe

的值为 ee0f 0fee【解析】选A.根据积分的运算法则,可 可以分为两段, 1

e1 0+ 10+

3、(2011·临沂模拟)若a

、bc大小关系是ac

ab

cb

ca433（A）233

（B）2

（C）3

（D）5、设函数f(x)=ax2+b(a≠0)，若0fxdx3fx0,则 23 233 3 C.∵f(x)=ax2+b，∴f(x)dx=3 3

(ax2+b)dx=(3x3+bx)1

=36、一质点做直线运动,由始点起经过ts后的距离为s=4t4-4t3+16t2,（A.4s末 B.8s末 C.0s与8s末 D.0s,4s,8s末 1gt

1gt

1gt

ln2ex0

的值为 ln2ex【解析】选 2102

x2(0xf(x)2x(1x2

0f

等于（ 3

D

bf'(3x)dxaf(b)f

（CB

f(3b)f1f(3b)f m1exdx与n=e

3f(3b)f12

1 的大小关系是（A

De(2x1)dx1、计算 22

1x2dx 1

12xdx01x30

3= +(2x-5

x2)|1 +(2-2)=6

02sinxacosxdx0

，则实数 2sinx

|【解析】

=(asinx-cosx)0