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利用圆锥曲线光学性质解题圆锥曲线有如下几条大家熟知的光学性质：（1） 从焦点发出的光线经抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴；（2） 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点；（3） 从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点。现利用上述性质解决若干与圆锥曲线有关的习题。例1、 一束光线经抛物线y2=4x上A、B点反射后反向射回，求AB长度的最小值。解：由性质（1）及光路可逆定理知这束光线必经过抛物线的焦点F（1,0），故AB为抛物线的焦点弦。由焦点弦的性质容易得知AB=2P/sin2Z1 P=2・•・当Z1=n/2时，即AB垂直于坐标轴时，AB最短，此时AB=4。例2、P为双曲线上一点，M、N分别为其两焦点，过P作双曲线切线L,证明：L平分ZMPNo证明：延长MP，由光学性质（3）可将MP的延长线视为光线NP经双曲线（即镜面L）反射后的出射光路，由平面镜折射原理有，Z2=Z3又VZ1=Z3AZ1=Z2・•命题得证。例3、过椭圆外一点P引椭圆的两切线PA、PB切分别切椭圆于两点A、B，M、N分别为椭圆的二焦点，证明：ZAPM=ZBPN。证明：作M关于PA的对称点S,连MS，MS交PA于点Eo由对称性有MP=SP，SA=MA，ZSPA=ZMPA，ZSAE=ZMAE又由光学性质（2）,ZMAE=ZNAP/.ZSAE=ZNAP/.S>A、N三点共线。■■・・■■■■鬻点亮心灯~~~///「v')\\\~~~照亮人生■■・・■■■■鬻

同理，作出点T,有PN=PT,TB=NB,ZNPB=ZTPB,M、B、T三点共线。又•・•SN=SA+AN=MA+AN=2aMT=MB+BT=MB+BN=2a（a为椭圆的半长轴长）・•・SN=MT/.△PSN^APMT.\ZSPN=ZMPT・•・2ZAPM+ZMPN=2ZBPN+ZMPN・•・ZAPM=ZBPN，命题得证。例4、过双曲线外一点P引双曲线的两条切线PA、PB分别切双曲线于A、B,M、N分别为双曲线的二焦点,证明：ZAPM=ZBPN。分析：本题与例3基本是一类问题,利用例3的对称思想方法结合双曲线的光学性质不难证得。以上4例充分利用了圆锥曲线的光学性质来解决问题,从而避免了解析几何运算中的冗长计算,体现了数理结合的特点和解题威

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