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文档简介

第二节相似矩阵和矩阵对角化本节目的：利用相似变换把一个矩阵化成对角矩阵，并且讨论矩阵可对角化的条件和相似变换阵的求解方法。1课件相似矩阵的定义定义3已知矩阵，是两个阶方阵如果存在一个满秩矩阵

使得则称，相似，记作相似关系满足以下性质：（1）自反性：；（2）对称性：；（3）传递性：2课件一些有用的定理

定理3相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。证明：因为相似，所以存在可逆阵使得

3课件证明假设存在可逆矩阵，使得为对角阵，设，则由即5课件于是可见，是的特征值，向量就是矩阵关于特征值的特征向量反之，设恰有个特征值，并可对应个特征向量，并且它们线性无关。令即是要找的相似变换。定理4不仅给出了一个方阵可对角化的充要条件，而且也给出了求解相似变换阵的方法。6课件定理5如果矩阵的特征值，则与它们对应的特征向量和线性无关。推论若阶方阵有个互异的特征值则可对角化，且

注意上述命题的逆命题不成立，例如单位阵7课件定理7设是的一个重特征值，对应的特征向量线性无关的最大个数为，则也就是说线性无关的特征向量的个数不超过其对应的特征值的重数。定理8阶矩阵可对角化的充要条件是的每个重特征值对应有个相形无关的特征向量。即9课件例题例1设试问可否对角化？若能，求出相应的矩阵。解：由可得的特征值为（二重）求解特征向量，分别求解10课件可得对应的特征向量分别为即由三个线性无关的特征向量，从而由定理4，可以对角化。令11课件但是若令则应有13课件例2设，而

问可否对角化？解因为即是的重特征值。而由知，即的线性无关的特征向量的个数不超过个，因此，由定理8知，不可以对角化。14课件例3设（1）问可否对角化？若能，求出相应的，使得为对角阵。（2）求。解由15课件解得其基础解系为令则有17

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