群的基本知识

第一章群的基本知识二十一世纪以来，特别是爱因斯坦(Einstein)发现相对论之后，对称性的研究在物理学中越来越重要。对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性，如强作用的SU(2)同位旋对称，SU(3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU(1)的对称，偶偶核的U(6)动力学对称等等。从七十年代起，又开展了超对称性的研究。群论是研究对称性问题的数学基础，因此，它越来越受到物理学工作者的重视。1.1群定义1.1设G是一些元素的集合，G={…,g，…}={g}.在G中定义了乘法运算。如果G对这种运算满足下面四个条件：封闭性。即对任意f,geG，若fg=们必有heG。结合律。对任意f,g,heG，都有(fg》=f(gh).有唯一的单位元素。有eeG，对任意feG，都有ef=fe=f有逆元素。对任意feG，有唯一的f-1eG，使f~1f=ff-1=e则称G为一个群。e称为群G的单位元素，f-1称为f的逆元素。例1空间反演群。设E和I对三维实空间R3中向量了的作用为TTTTEr=r,Ir=—r即E是保持r不变的恒等变换，I是使T反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续对T作用。集合蜡,I}构成反演群，其乘法表见表1.1.为P={1Imv1例2〃阶置换群Sn，又称n阶对称群。将n为P={1Imv12…n',m…mj其中m「m2,…,m是1,2,…,n的任意排列，P表示把1映为m^，2映为m2，n映为m的映射。显然置换只与每列的相对符号有关，与第一行符号的顺序无关，如(1234、(4231)-4213>=13214>定义两个置换P'和P的乘积P'P，为先实行置换P，再实行置换P，(123)(123:(123)<213>。21/=。12>容易看出在这乘法定义下，全部n阶置换构成Sn群。Sn群共有n!个元素。例3平面三角形对称群，又称为6阶二面体群。考虑重心在原点，底边与%轴平行的巧平面上的正三角形AABC，见图1.1(a)。保持正三角形不变的空间转动操作有e:不转，d:绕z轴转2k/3，f:绕z轴转4厅3，a:绕车由1转兀，b:绕车由2转兀，c:绕车由3转兀定义两个转动操作的乘积，如ab为先实行操作b，再实行操作a。由图1.1(b)可看出，实行操作b和实行操作ab后NABC位置的变化，且可看出，实行操作ab和实行操作d一样，因此ab=d。在上述乘法定义下，保持正三角形不变的全体转动操作构成 D3群。D3={e,d,f,a,b,c}是6阶群，它的乘法表见表1.2.例4定义群的乘法为数的加法，则全体整数构成一个群，0是单位元素，n和-n互为逆元素。同理，全体实数在加法下也构成一个群。但实数全体在乘法为数乘时，并不构成一个群，因为0没有逆元素。除去0以外的实数构成一个群。例5空间平移群TG)。设了是R3中的向量，黄是R3中任意一向量，定义空间平移「为— ——Tr=r+a定义两个平移T和T的乘积TT，为先实行平移T，再实行平移T，ab ab b aTT—=T(—+—)=—+—+—=T—ab a a+b故TT=T=TTab a+b batG)群的单位元素是平移零向量，即不平移，其中。是零向量，Ta和-Ta是互逆元素。例6三维转动群SO(3)。保持R3中点O不动，设—是过O点的任一轴，绕—轴转W角的转动为匕(w)。定义两个转动樵(w)和C^(V')的乘积C(W)C^(V')，为先实行绕—轴转W角，再实行绕k'轴转w'角。则绕所有过O点轴的一切转动构成SO(3)群。SO(3)群的单位元素是转角w=0，即不转。绕同一轴—，转角W和2k-w的元素*(w)，C^W')互为逆元素。由上述例子可以看出群的元素不但可以是数，而且可以是空间反演、空间转动、空间平移等操作，也可以是置换等等。当群G的元素个数有限时，G称为有限群。当G的元素个数为无限时，G称为无限群。空间反演群、Sn群、D3群是有限群，例4至例6是无限群。有限群G的元素的个数n称为群的阶，有时记为n(G)。反演群是二阶群，D3是6阶群，S是n!阶群。n群的乘法，可以是数乘和数的加法，也可以是空间反演、转动等连续两次操作和连续两次置换等等。有限群的乘法规则，可以列为乘法表。无限群的乘法虽然不能列出乘法表，但乘法规则总是确定的。群的乘法一般不具有可交换性。即对任意f,gcG，一般说来fg与gf并不相等。如果对任意f,gcG，有fg=gf，则称G是可交换群或阿贝尔(Abel)群。从前面例子还可以看出，群G的任何元素可以用指标«标记。当G是n阶有限群时，指标a取1,2,…,n，群元用g^(a=1,2,…,n)表示。当G是可数的无限群时，如整数加法群，a可以取所有整数值，a=0,±1,±2,…。当G是连续的无限群时，如实数加法群，有时a取全体实数，有时a取多个有序的连续变化的实数：如在平移群中，a是三个无界的有序实数(a,a^,a)，^ ^ ^ -7^a=ai+aj+ak又如在转动群中，a是3个有界的有序实数。,SW，其中°&是转轴k的方位角，v是转动角度，而且，0<°<^,0<^<2兀,0<V<^，综上所述，群G是任一个元素，总可用在一定范围内变化的一个数a标记为g.,给出此范围中任一个数a，就对应群G的一个元素。定理1.1(重排定理)设G={ga},ucG，当a取遍所有可能值时，乘积"ga给出并且仅仅一次给出G的所有元素。证明先证G中任意元素g§可以写成uga的形式。因为u-1cG，所以u-1g广gacG，自然有g广uga。再证uga当a不同时，给出G中不同的元素。用反证法，设以卫以,，而uga=ug'，两边左乘u-1得g=g，这与a可以唯一标记G中元素矛盾。故以^以'时，ug牛ug。aa' aa'于是当a改变时，%给出并仅一次给出G的所有元素。定理证毕。系gu在a取遍所有可能值时，也给出并且仅仅一次给出群G的所有元素。重排定理是关于群的乘法的重要定理。它指出每一个群元素，在乘法表的每一行(或每一列)中被列入一次而且仅仅一次。乘法表的每一行(或每一列)都是群元素的重新排列，不可能有两行(或两列)元素是相同的。1.2子群和陪集定义1.2设H是群G的一个子集，若对于与群G同样的乘法运算，H也构成一个群，则称H为G的子群。常记为HuG。容易证明，群G的非空子集H是G的子群的充要条件为：若h,h°GH，则hhGH，ap aP若hagH，则hagH。任意一个群G，其单位元素e和G本身都是G的子群，这两种子群称为显然子群和平庸子群。群G的非显然子群称为固有子群。若不特别说明，一般说是指固有子群。例7在定义群的乘法为数的加法时，整数全体构成的群是实数全体构成的群的子群。例8在%轴方向的平移{孔了}全体构成平移群T(3)的一个子群。例9绕固定轴k的转动"(w)，0<V<2兀是SO(3)群的一个子群。定义1.3n阶循环群是由元素a的幂ak组成，k=1,2,…,n，并且a=e，记为z={a,a2,…,an=e}.循环群的乘法可以交换，故循环群是阿贝尔群。从〃阶有限群G的任一个元素a出发，总可以构成G的一个循环子群I*,称a的阶为k，z是由a生成的k阶循环群。因为当a=e,e为G的一阶循环子群，这是显k然子群。当a牛e,a2牛a,如a2=e，则由a生成2阶循环子群。如a丰e,a2丰e,…,ak-1丰e,，用重排定理，知a,a2,…,ak-1,ak为G中不同元素。通过增加k，再利用重排定理，总可以在k<n中达到ak=e。因此，从阶有限群的任一元素a出发，总可以生成一个G的循环子群。定义1.4设H是群G的子群，H={ha}。由固定gGG，g任H，可生成子群H的左陪集gH=，七|七gH}同样也可生成H的右陪集Hg=hgheH\有时也将陪集称为旁集。当H是有限子群时，陪集元素的个数等于H的阶。定理1.2（陪集定理）设群H是群G的子群，则H的两个左（或右）陪集或者有完全相同的元素，或者没有任何公共元素。证明设u,veG，u,v任H，考虑由u,v生成的H的两个左陪集，uH={uh|heH},vH={vh\heH}设左陪集uH和vH有一个公共元素，uh^=vh^则v-iu=h°h-ieH根据重排定理，v-iuh,当y取遍所有可能值时，v-iuh,给出群H的所有元素一次，并且仅仅一次，故左陪集v[v-iuhy]=uhy与左陪集vhy重合。因此当左陪集uH和vH有一个公共元素时，uH和vH就完全重合。定理证毕。同样的证法，也适用于右陪集。定理1.3（拉格朗日定理）有限群的子群的阶，等于该有限群阶的因子。证明设G是n阶有限群，H是G的m阶子群。取七eG，七任H，作左陪集七H。如果包括子群H的左陪集串H,uH不能穷尽整个群G，则取ueG,uWH,uWuH，作i 2 2 2i左陪集u2H。根据陪集定理，u2H与H和uH完全不重合。继续这种做法，由于G的阶有限，故总存在j，使包括子群H的左陪集串H,七H,u2H,,uiH穷尽了整个G。即群G的任一元素被包含在此左陪集串中，而左陪集串中又没有相重合的元素，故群G的元素被分成j个左陪集，每个陪集有m个元素。于是群G的阶n=（子群H的阶m）xj定理证毕。系阶为素数的群没有非平庸子群。上面把群G的元素，分成其子群H的左陪集串的作法，不仅对证明拉格朗日定理有用，而且提供了一种把群G分割为不相交子集的方法。这是一种很有用的分割群的方法。同样，也可以把群G分割成其子群的右陪集串。例10D3有子群Hi={e,a},H={e,b},H={e,c}和H4={e,d,f}。D3可按气分成左陪集串，Hi={e,a},bHi={b,f},cHi={c,d}。也可按H4分成右陪集串，H={e,d,f},Ha={a,b,c}。1.3类与不变子群定义1.5设f,h是群G的两个元素，若有元素geG,使gfgT=h,则称元素h与f共轭。记为h~f。共轨具有对称性，当h~f，则f~h。且f~f。共轨还具有传递性，即当f~h，f~h，，则有f~f。因f=ghg-1,f=ghg-1,故1 2 1 2 1 112 2 2f=gg-1fgg-1=(gg-1)f(gg-1)-1,1 12 221 12 2 12定义1.6群G的所有相互共轨的元素集合组成G的一类。由于共轭关系具有对称性和传递性，因此一个类被这类中任意一个元素所决定。只要给出类中任意一个元素f，就可求出f类的所有元素，f类{f，|f，=gafg；，gaeG}。一个群的单位元素e自成一类，因对任意gaeG，有gaeg-1=e。阿贝尔群的每个元素自成一类，因对任意f,g以已G，有g冬fg：=f。设元素f的阶为m，即fm=e，则f类所有元素的阶都是m，因(gafg：)m=gafmg：=e，对任意gaeG成立。应该指出，当ga取遍群G的所有元素时，gafg-1可能不止一次地给出f类中的元素。如f=e，gafg：永远给出单位元素e。由共轨关系具有传递性可以知道，两个不同的类没有公共元素。因此可以对群按共轨类进行分割。这种对群按共轨类进行的分割，每个类中元素个数不一定相同。而按子群的陪集对群进行的分割，每个陪集元素的个数是相同的。按类和按陪集分割群，是分割群的两种重要方式。定理1.4有限群每类元素的个数等于群阶的因子。证明设G是〃阶有限群，g是G的任一个元素，看g类元素的个数。作G的子群Hg，Hg={heGhgh-1=g},Hg由G中所有与g对易的元素h组成，即hg=gh。对于g,geG,g,g冬Hg，，如果ggg-1=ggg-1，则g,g必属于Hg的同一12 12 11 22 12左陪集gHg。因为按定义，gegHg。由ggg-1=ggg-1可得1 1 1 11 2 2

(gTg)g(gTg)T=g，故gTgeHg,gGgHg。TOC\o"1-5"\h\z12 12 1 2 2 1反之，如果g,g属于Hg的同一左陪集gHg，必有g=gh,hgHg。于是有1 2 1 2 1ggg-1=ghgh-1g-1=ggg-122 1 1 11因此g类中元素的个数，等于群G按Hg分割陪集的个数，也就是群G的阶的因子。g类元素个数g类元素个数=G的阶Hg的阶定义1.7设H和K是群G的两个子群，若有geG，使K=gHg-1={k=ghg-1|heH}，则称H是K的共轭子群。由共轭关系的对称性和传递性，知共轭子群也有对称性和传递性。即若H是K的共轭子群，则K也是H的共轭子群。若H1和H2是K的共轭子群，则HH2也互为共轭子群。G的全部子群可分割为共轭子群类。定义1.8设H是G的子群，若对任意ggG,h^eH，有gh^g-1eH。即如果H包含元素ha，则它将包含所有与ha同类的元素，我们称H是G的不变子群。定理1.5设H是G的不变子群，对任一固定元素feG，在ha取遍H的所有群元时，乘积fhaf-1一次并且仅仅一次给出H的所有元素。证明首先证明H的任意元素hg具有fhaf-1的形式。因为H是不变子群，故f-1hgfeH，令f-1hgf=«，则hg=fhj-1。而且当ha。h时，fhaf-1。fh,f-1，否则必引起矛盾。因此当ha取遍所有可能的H元素时，fhaf-1一次并且仅仅一次给出H的所有元素。例11以加法作为群的乘法时，整数加法群是实数加法群的不变子群。实事上，阿贝尔群的所有子群都是不变子群。不变子群的左陪集和右陪集是重合的。因为对G的不变子群H，由geG,g任H，生成H的左陪集gH={ghjhaeH}和右陪集Hg={haghaeH}而由H是G的不变子群知g-1、geH。由下式可以看出左陪集的元素g(g-1h侦g)也是右陪集的元素。g(gTh^g)=h以geHg故H的左右陪集重合。因此对不变子群，就不再区分左陪集和右陪集，只说不变子群的陪集就够了。设H是G的不变子群。考虑没有公共元素的H的陪集串，H,gH,gH，…,gH，…，，1 2 i假定陪集串穷尽了群G，两个陪集gH和gH中元素的乘积。必属于另一陪集。因ghgh=ggg-ihgh=gghh=ggh=ghegHiajPijjajPijyPij8k5k其中h=gThg,h=hh,g=ggyjaj8ypkij定义1.9设群G不变子群H生成的陪集串为H,gH,gH，…,gH，…，，把其中每一个1 2 i陪集看成一个新的元素，并由两个陪集中元素相乘的另一个陪集的元素，定义新的元素间的乘法规则，即 陪集串新元素H-fg1HTf1g2HTf2gHTf乘法规则 ghgh=ghTff=fiajPk8ijkTOC\o"1-5"\h\z这样得到的群{f,f,f，…,f，…}，称为不变子群H的商群，记为G：H。不变子群H对0 1 2 i应商群GH的单位元素f，每一个陪集gH对应商群GH的一个元素f。陪集gH和0 i i i陪集gH的乘积对应f和f的乘积。事实上，群{f,f,f，…,f，…}和群j ij 0 1 2i{H,g1H,g2H，…,g,H，…}同构，它们都可以作为商群G/H的定义。例12气群的元素可以分为三类，即c类={e}，d类={d,f}，a类={a,b,c}。恒等转动e自成一类，绕乙轴转2兀/3和4兀/'3是一类，绕角等分线转兀角是一类。因此D3的子群H1={e,a},H2={e,b},H3={e,c}，是互为共轭的子群，H4={e,d,f}是不变子群。H4的陪集串和商群DJH4的元素间有以下对应

={={e,d,f}—f0,aH={a，b,C}—f故商群DJH4是二阶循环群z2。1.4群的同构与同态定义1.10若从群G到群F上，存在一个一一对应的满映射①，而且①保持群的基本运算规律（乘法）不变；即群G中两个元素乘积的映射，等于两元素映射的乘积，则称群G和群F同构，记为G=F。映射①称为同构映射。同构映射可由图1.2表示：其中中:G—Fg—f气—fgg—ffiiii同构映射①，把G的单位元素g映为F的单位元素f，因对任意fgG,中：g—f。0 0 i ii设①：g—f'，则有①：gg=gg=g—f'f=ff'=f0 0 0ii0i0ii0i故f=f,f'必为F的单位元素f。同构映射①，还把G的互逆元素g,g-1映为的互逆0 0 0 0 ii元素f,f-1。jj由于同构映射①是一一满映射，故逆映射中T恒存在，中T把F映为G，而且中-1保持群的乘法规律不变，即0-1:F—Gf—gtf—gjff—ggij ij所以当群G和群F同构，必有群F与群G同构，F=G。两个同构的群，不仅群的元素间有一一对应关系，而且他们所满足的乘法规律间也有一一对应关系。因此从数学角度看，两个同构的群具有完全相同的群结构。作为抽象的群来说，两个同构的群本质上没有任何区别。例13空间反演群｛E,I｝和二阶循环群Z=｛a,a2=e｝同构。2例14三阶对称群S3和正三角形对称群D3同构。例15群G的两个互为共轭的子群H和K是同构的。因为存在geG，使h/H与keK有对应关系，h=gkg-1,k=g-1hga aaa a以上各个同构的群，有完全相同的乘法表。因此作为抽象的数学群来说，它们是一样的。当然，对同一抽象群，当它用于不同的物理或几何问题时，它将代表不同的物理或几何意义。这和初等数学中2+3=5可以代表不同对象相加是同样的。定义1.11设存在一个从群G到群F上的满映射①，①保持群的基本规律（乘法）不变;即G中两个元素乘积的映射，等于两个元素映射的乘积，则称群G与群F同态，记为G〜F。映射①称为从G到F上的同态映射。图1.3表示从G到F上的同态映射①：其中中:GTFg{TfgjTfggTffiiij也有定义从群G到群F中的同态映射①，这时①保持群的乘法规律不变，但并不是满映射。以后如不特别说明，我们说同态，是指从群G到群F上的同态。一般说，同态映射①并不是一一对应的。即对群F中的一个元素f，G中可能不止一个元素g,,g；,,与之对应。因此群G与群F同态，并不一定有群F与群G同态。同构是一种特殊的同态，即当同态映射①是一一映射时，同态就是同构。因此若群G与群F同构，则G必与F同态。反之，若群G与群F同态，G与F不一定同构。任何群G与只有单位元素的群Z1=@}同态。这种同态是显然的，一般不考虑这种同态。定义1.12设群G与群F同态，G中与F的单位元素fo对应的元素集合H={ha}，称为同态核。定理1.6（同态核定理）设群G与群F同态，则有（1） 同态核H是G的不变子群；（2） 商群GH与F同构。同态核定理可以用图1.4表示。证明先证明同态核H是G的子群。对任意h,heH，有①:hTf,hTf,hhTfap a0P0ap0故hheH。因此同态核中二元素hhTf，的乘积仍在H中。而且由于同态映射把ap ap0单位元素映为单位元素，故H含有G的单位元素g，因设①:gtf'，则对任意geG，0 0 0 i

gg=gg=g—ff=ff'=f,0ii0i0ii0if0=f°于是，如果h于是，如果h‘eH，必有h~1eH。否则，设h~1冬H,中:ha^f0'Af0而又有①:h-1ha=g0这不可能，因此若ha属于H，必有h-属于H。这就证明了H是G的子群。再证同态核H是G的不变子群。对h广H，与ha同类的元素为gh^g-i,g§是群G的任意元素。同态映射①有以下作用。中:gTf,g-1Tf-1,iii ighg-1Tfff-1=fiaii0i0故所有与h同类的元素ghg-1eH。H是G的不变子群。iai最后证明商群GH与F同构。包括H的陪集串，H={h},gH={gh},…,gH={gh},…是商群GH的元素。因为同态映射①保持TOC\o"1-5"\h\za1 1a i ia群的乘法规律不变，故只要证明陪集串的元素与F的元素有 对应，就证明了GH与F同构。首先，H的一个陪集gH={gh}对应F的一个元素，设中:gTf，则i ia ii中:ghTf，对任意heH。其次H的不同陪集gH,gH，对应F中的不同元素，iai a ij因为gH和gH不同，由陪集定理可知，它们没有公共元素。设①:gTf,gTf，i j iijj中:ghTff=f,假设/=f.，则y；Of£iJ g-1ghTf-1ff=fijaij0 0得到g-1gheH，gH和gH重合。这与假设矛盾，故f二fija i j ij因此H的陪集与F的元素有一一对应关系，商群GH与F同构。定理证毕。从图L4可以看到，如群G与群F同态，同态映射为中。G中对应F单位元素f0的元素集合｛h^｝是G的一个不变子群H。H陪集串中的每一个陪集gH,唯一地对应F中的一个元素f。F中的一个元素f也唯一地对应H的一个陪集gH。已知各个陪集中元素数目相同，故G中与F的每一个元素对应的元素数目是相同的。同态核定理，说明同态映射保持群的乘法规律不变，它是关于同态性质的重要定理。在处理各种群的问题中，我们会经常用到它。例16D3群与二阶循环群Z2同态。同态核是不变子群H=｛e,d,f｝，陪集是aH=｛a,b,c｝。图1.5表示这个同态映射。定义1.13群G到自身的同构映射^，称为G的自同构映射v:GTG。即对任意g冬£G。有v(ga)=g/G,而且保持群的乘法规律不变，v(ggR)=v(g)v(g)。故自同构映射v总是把群G的单位元素g映为g，把互逆元素ap aP 0 0ga和g；映为互逆元素gp和gp1。定义1.14定义两个自同构v和v的乘积vv，为先实行自同构映射v，再实行自同构12 12 2映射v］。恒等映射v0对应单位元素。每个自同构映射v有逆v-1存在。于是群G的所有自同构映射v构成一个群，称为群G的自同构群，记为A(G)或Aut(G)。A(G)的子群也称为G的一个自同构群。如果群G的自同构映射^，是由u£G引起，即对任意ga£G，有R(ga)=ugau-1则称R是G的内自同构映射。与定义自同构的乘法一样，可以定义内自同构的乘法。于是群G的所有内自同构R构成一个群，称为群G的内自同构群，记为I(G)或In(G)。内自同构群I(G)是自同构群A(G)的一个子群，而且是A(G)的不变子群。因为对任意r£I(G)，与R同类的元素为vrv-1，其中v£A(G)，设v-1(ga)=gp，贝gvRv-1(g)=vR(g)=vugu-1=v(u)v(£)v(u-1)=v(u)gv(u-1)a p p p avgv-1£I(G)其中v=v(u)£G，故I(G)是A(G)的不变子群。例17三阶循环群Z3=｛e,a,a2｝的自同构群A(Z3)有两个元素，v:{e,a,a2}t{e,a,a2},0v:{e,a,a2}t{e,a2,a},故A(Z3)={v0,v}与Z2同构。显然A(Z3)不是内自同构群。例18三阶对称群S3有以下的内自同构映射：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"P(g )=g,P (g )=(1 2)g (12),p (g )=(1 3)g (13),p(g)=(2 3)g (23)0aa1a a 2a a 3a aP(g)=(123)g(132),p(g)=(132)g(123)4a a 5a a因此s群的内自同构群为I(S)={p,P,P,P,P,P}3 3 012345内自同构群I(S)的子群{P,P},{P,P},{P,P},{P,P,P}，也都是s的内自同构3 01 02 03 045 3群。总之，同构的群作为抽象的数学群来说，是相同的。群的同态映射，是保持群结构的一种映射，是常用的重要概念。1.5变换群前面所讨论的都只涉及到抽象群。而将群论用于物理对称性的研究时，常常借助变换群来研究被变换对象和变换群之间的关系。因此变换群提供了把群论用到几何和物理问题中的重要途径。变换与变换群又称为置换与置换群。对置换群的讨论应包括被变换对象和变换群两部分。设被变换对象X由元素x,J,乙…组成，它是一个非空的集合，X={x,y,Z…}。X上的置换f是将X映入自身的一一满映射，f:XtX，即对任意xeX，有f(x)=yeX，而且f有逆f-1，f-心)=x。定义1.15定义X上两个置换f和g得乘积fg为先实行置换g，再实行置换f。即对任意xeX，有fg(x)=f(g(x))，X的全体置换在次乘法下构成一个群，称为X上的完全对称群，记为Sx={f,g,…}。恒等置换e是Sx的单位元素，置换f与其逆置f-1换为Sx的互逆元素。被置换对象X的元素个数可以是无限的，如X是三维实欧式空间R3中所有的点，或是希耳伯特空间的所有态矢量等等。X的元素个数也可以是有限的，如平面正三角形的3个顶点，或正四面体的4个顶点等等。当X有无限多个元素时，Sx是无限群。当X有n个元素时，X的完全对称群Sx就是n个元素的置换群Sn。Sn共有n!个元素。X的完全对称群SX的任何一个子群，是X的一个对称群。又称为X上的变换群。同一个数学抽象群，可以对应不同的变换群。如二阶循环群z=｛a,a2=e｝，可以对2应转动群的子群，｛q(0),Ck(兀)｝,也可以对应空间反演群｛E,I｝。群｛Ck(0),Ck(兀)｝和群｛E,I｝是z2的两个不同的实现。虽然这两个群是同构的，具有完全相同的乘法表，但他们作用于被变换对象R3中的向量时，引起的后果并不相同。这说明两个同构的群，应用到物理问题上，若是不同的实现，必须注意它们的区别。定理1.7(凯莱定理)群G同构于G的完全对称群S的一个子群。特别地，当G是n阶G有限群时，G同构于Sn的一个子群。证明设G=｛f,g,h,…｝。将G本身看作被变换对象X=｛f,g,h,…｝，则任意G的元素g，把heH按群G的乘法映入X，即g(h)=(gh)eX。由重排定理知道，g是把X映入X的一一满映射，故G是将X=G映入自身的一个变换群。因此G是G上完全对称群S的一个子群。G下面将讨论关于变换群的轨道等重要概念。设G=｛f,g,h,…｝是X=｛x,y,乙…｝的一个变换群，如果X中两个元素x和y，有geG，使gx=y，则称元素x是G等价于元素y，或称为x点与y点等价。记为x〜y。因此等价是指被变换对象X中两个元素x和y，可以通过变换群G的作用，从x变到y。显然等价具有对称性，若x〜y，必有y〜x，因gx=y，必有g-1y=x。等价也具有传递性，若x〜y，y〜z，必有x〜z，因gx=y，fy=z，必有fgx=z。由X中全部与x等价的点组成的轨道称为含x的G轨道，即为｛gx|geG｝。即从点x出发，用G中元素g作用于x，当g取遍G的所有元素时，gx给出X的一个子集，这个子集就是含x的G轨道。含x的G轨道，就是x点经群G作用后，可以变到的所有的点。有时也简称为轨道，不过要注意是过那一点的轨道。X的G不变子集Y，是指X的子集Y，在变换群G的作用下，不会变到Y外面去，即对任意geG,yeY，有g(y)eY。显然，X中每一个G轨道是G不变的；几个轨道的和集也是G不变的。当集合Y是G不变时，G也是Y的对称群。设G是X的变换群，那么对于X的任意子集Y,YuX，总可以找到G的一个子群H，使任意子集Y是H不变的，即H={geG\g(Y)=Y)。Y不变的子群H总是存在的，因为Y对由单位变换何}构成的显然子群总是不变的。例19设X是二维平面，G是绕乙轴转动的二维转动群。一- -、 - (XX\G={C(v)|0Vw<2兀},X={r=Xi+yj},平面X上任意一点r可写为r=\y)-经C(w)作用变到-，-=c(w)-=(xcosw"ysinw)k k xsinw+ycosw-与-等价，-〜-，以原点O为圆心，过-点的圆周上的全部点，是含-的G轨道。一般说来，过不同的点的G轨道是不相同的。如含r0的G轨道，是以原点O为圆心，过ro点的圆。对绕z轴转动的平面转动群，G轨道如图1.6所示，是一个个同心圆。从图1.6可以看出，X中G不变的子集有，原点O和以原点为圆心的同心圆的任意和集，即X中几个G轨道的和集是G不变的。因此，G既是原点O的对称群，又是任意以原点为圆心的同心圆及其和集的对称群。例20平面正方形对称群d4。设X为xy平面，G是绕原点O的转动群。中心在O的正方形ABCD是的X子集，ABCDuX用求正三角形对称群D3的同样办法，我们可以求出下面8个转动使不变：e:恒等转动，r:绕z轴转兀，P角，r2：绕z轴转兀角，r3：绕z轴转3兀以角，a:绕对角线1转兀角，b:绕对角线2转兀角u:绕x轴转兀角，v:绕y轴转兀角，见图1.7。这8个保持正方形ABCD不变的元素，构成G的一个子群，称为D4群。即D={e,r,r2,r3,a,b,u,v}正方形ABCD是D4不变的。过A点的D4轨道包括A,B,C,D4个点，故正方形ABCD只有一个D4轨道。对正方形ABCD的不同子集Y可以找到D4的不同子群H，使Y是H不变的。如Y={A}或Y={C} H={e,b}r={B}或y={D}H={e,a}={A,C}或Y={B,D}H={e,a,b,r2}={A,B}或Y={C,D}H={e,u}={A,D}或Y={B,D}H={e,v}等等。定义1.16设G是X上变换群，%是X内一点，G的子群Gx保持%不变，Gx={heG|hx=x}Gx称为G对%的迷向子群。在正四方形对称群D4中，A,C和B,D点的迷向子群分别为Ga=Gc={e,b} Gb=Gd={e,a}定理1.8设Gx是G对x的迷向子群，则Gx的每一个左陪集，把点x映为X中一个特定的点J。也就是说，含x的G轨道上的点，和Gx的左陪集间有一一对应关系。证明设j是含x的G轨道上的点，即有geG，使gx=y。则Gx左陪集gGx也将x映为y。因为Gx={heG|hx=x}gGx={gh\heGx}得ghax=gx=y。反之，若有feG，f把x映为y，fx=y，则由fx=y=gx，得x=gtfx,g-1feGx,fegGx。即只有左陪集gGx中的元素，才可能把x映为y。因此，含x的G轨道上的点和Gx的左陪集间有一一对应关系。定理证毕。系设G是n阶有限群，Gx左陪集的个数，就是含x的G轨道中点的个数。设Gx的阶为n(Gx)，则含x的G轨道中共有nn(Gx)个点。彳列21设A,B,C是平面正三角形AABC的三个顶点，D3是X={A,B,C}的对称群。A点的迷向子群GA={e,a}，即A在GA作用下不变。左陪集bGA={b,f}把A映为C，cGA={c,f}把映A为B。含A的D3轨道上共有62=3个点。见图1.1(a)。例22设A,B,C,D是正四方形ABCD的4个顶点，D4是X={A,B,C,D}的对称群。A点的迷向子群GA={e,b}，即A在GA作用下不变。左陪集aGA={a,r2}将A映为C，uGA={u,r}将A映为B，vGA={v,r3}将A映为D。含A的D4轨道共有82=4个点。见图1.7。以上对迷向子群的讨论是很重要的。特别是定理1.8，使迷向子群的陪集和轨道上的点之间，建立了一一对应关系，并把代数的陪集概念与几何的轨道概念联系起来了。1.6群的直积与半角积先讨论两个群G1和G2的直积。设g疽%,g邓£G2，则G1和G2直积群G的元素命为由于在群G1和气间并没有乘法规则，故定义直积群时，总可以取g1a和g2p可交换。对gap,gap"G，定义直积群的乘法为gRg=(ggJ(gg)=(gg)(gRg)apa'p' 1a2p 1a'2p' 1a1a' 2p2p'=(gg )(gg)=g"g"=g"g”g"gggggg"g2P2p' 1a1a' 1a2p 2p1aTOC\o"1-5"\h\z其中gg=g"eG，gg=g”eG。由g并按上述乘法规则，得到G和弓1a1a' 1a1 2p2p' 2p 2 ap 1 2得直积群G。记为G=G1⑤G2或G=G1xG2。设e,e分别是群G,G的单位元素，群F={ge}和群F={eg}分别于群G12 1 2 1 1a2 2 12p 1和群G同构。G=F，G=F。按以上乘法规则可得直积群G=F⑤F。G的单位2 112 2 1 2元素为e=ee，元素g 的逆元素为g-1=g-1g-1。12 ap ap 1a2p当群G有子群G1和G2，若满足（1）G的每个元素gap能够唯一地表示成gap=g1ag2p，其中g1a€G1,g2peG2；(2)G的乘法规则满足g2萨1a。即气与气的元素，按G的乘法规则可以交换。这时气和气元素乘法规则已包含在GG1和气称为群G的的乘法规则中。则称群G是其子群Gi和气的直积，G=GG1和气称为群G的直积因子。当然Gi和气本身并不一定是阿贝尔群。2唯一的公共元素。而当群Gi和G2是群G的直积因子时，G的单位元素。是Gi和G且Gi和G2都是G2唯一的公共元素。而设e'ggcG2，而且e'^e，则在直积群G=QxG2中有两个不同的元素e'e和ee'都对应e'gG，这与G的每个元素g郎可以唯一表为giag2p矛盾。故只有egqcG2。对任意giagGi，与g