数学分析-复旦-dvd8附送

16.2Fourier设(x在[0,上连续且lim(x0，证

(x)sinpxdx00证lim(x)0N0，使得当xN时，|(x|1。用积分第二中值定理AN(x)sinpxdxA

(N

sinpxdx(A)ANA

sinpxsinpxdxAsinpxdx4（ANN因此(xsinpxdxN

4，从p而由Riemann引理

(xsinpxdx0NN因N

(xsinpxdx00

(x)sinpxdx0

lim

(x)sinpxdx

(xsinpxdx0

p设函数(u)在[,上可积或绝对可积，在u0点连续且有单侧导数，证

cosucoslim du1[(u(u)]cotudup 2sin2

2 cosucos cosucos证 du[(u) du 2sin 由 2sin2lim(u)(u) 2sin2

sin2可知函数(u)(u)在[0,上可积或绝对可Riemann引理可2lim1[(u(ucospudu0p2于

sin2cosucos du1[(u)(u)]cotu 2sin 2 21[(u(ucospudu0（p2 sin2设函数(u)在[,上单调，证明 (u)1[(0) sinpudu0p

(0 u u [(u)(0)][(u)(0)]sinpu [(u)(0)]sinpudu[(u)(0)]sinpudu 因为(u在[,上单调，所以(u(0和(u(0都在[0,上单调，利用Dirichlet引理即得结论。证明Dirichlet 引理对(u)是分段单调有界函数的情况依然成立。证由于(u)在[0,]分段单调，所以存在1(0,)，使得(u)在[0,1]上单调，从而满足Dirichlet引理条件。由于在[1,]上(u)分段单调有界，所以(u(0)在[,Riemann引理条件。于是 p lim(u)(0p lim1(u(0sinpudulim(u(0sinpudu=0p p 证明 判别法的推论证取1。设limf(xuf(x)A，则存在0，当0u时成

A令L1|A|1，则|f(xuf(x|L1|u|同理存在20与L20，当0u2时，|f(xuf(x|L2|u|于是令min{1,2}Lmax{L1L2}，当0u时，|f(xu)f(x)|L|u|f(x)Lipschitz判别法的条件，推论成满足收敛判别法的条件，并分别写出这些Fourier级数的和函数。易验证这些函数都是分段单调有界，因而可积或绝对可积，所以满足Dirichlet-Jordan判别法的条件。习题2各函数Fourier级数的和函

x(0,x0,x(,

（２）|cosx

x[,（３）x222

x[, x[0, x[0,（４） x （５）(b , a)2 x(, x(,习题３各函数Fourier级数的和函xx

x(0,x0,x(,

e2x （２）e2x

x(0,x0,x(,

x(

（３）f(x)

2xx ,2

cos2

x(, 2习题4各函数Fourier级数的和函（１）|x|x2，x[,] （２）e|x|，x[,]（３）sin2|x

x(,

（４）|x

|x|

，x[,4 4 x[,][,4 4 习题6各函数Fourier级数的和函x x(0,2 x2 x(0,2（１） （２） （３）1

x0,2x(0,1e3x

x0,2x0, x(1,0（４）

x(0,1 x

（５）f(x

x(T,0x(0T), e3

x

x0,利用12，证明n1 1 1

（1）由

12可n1 12n1 n1 所1

1

2

2 n1 ⑵1

11

2 n1 求sinx全部非零零点的倒数的解sinx全部非零零点为{,2 ,n }，所以其倒数的平方和 211n1(n n1(n证明下列关系

2

⑴对0x2且a0，；eax(e2a1)1acosnxnsinnx；

a2 ⑵对0x2且a不是自然数asin2acosnxn(cos2a1)sinnxcosaxsin

a2⑶对⑵，令x ， 12a2 sin n1a2f(xeax(02)上单调连续有界，所以它在[0,2上的Fourier级数在(0,2)上收敛到自身 a(e2a1)（ an f(x)cos a2 n(e2a1)（ bn f(x)sin a2 可知（1）式成f(x)cosax在(0,2)上单调连续有界，所以它在[0,2]上的Fourier级数在(0,2)上收敛到自身a 2f(x)cosnxdxasin2a（n0,1, 0 0b

f(x)sinnxdx

（n1,2, a2可知（2）式成对⑵，令x ，利用sin2a2sinacosa，cosasin2aasin2acos a2sinacosa 2

(1)na所以（3）式也成

⑴验证

f(x)

1ln|x|

x x满足Dirichlet-Jordan判别法Dini-Lipschitz判别证函xcos xf(x)

2x满足Dini- 判别法条件（今后会学到，它不满Dirichlet- 判别法条件，在此从略证（1）f(x)是偶函

f(x)0且当x0时，f'(x) ln|x|

10x所以f(x)在[,]上是分段单调的连续函数，满足Dirichlet-Jordan别法条件。但对于任意的0,1]limulnu

0uln|f(0u)f(0ulnf(xx0点不满足Di