（江苏专版）2023年中考数学复习第三单元函数课时训练15二次函数的综合应用

〔江苏专版〕2022年中考数学复习第三单元函数课时训练15二次函数的综合应用Page17课时训练(十五)二次函数的综合应用(限时:40分钟)|夯实根底|1.一个直角三角形两直角边之和为20cm,那么这个直角三角形的最大面积为 ()A.25cm2 B.50cm2C.100cm2 D.不确定2.如图K15-1,在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm,动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过多少秒时,四边形APQC的面积最小? ()图K15-1A.1 B.2 C.3 D.43.二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴相交于M,N两点,点P在该函数的图象上运动,能使△PMN的面积等于12的点P共有个4.[2022·长春]如图K15-2,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx交x轴的负半轴于点A.点B是y轴正半轴上一点,点A关于点B的对称点A'恰好落在抛物线上.过点A'作x轴的平行线交抛物线于另一点C.假设点A'的横坐标为1,那么A'C的长为.

图K15-25.[2022·长春]如图K15-3,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax+83(a>0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M,P为抛物线的顶点,假设直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,那么a的值为图K15-36.:如图K15-4,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2,顶点为A.点P为抛物线对称轴上一点,连接OA,OP.当OA⊥OP时,求P点的坐标.图K15-47.边长为4的正方形CDEF截去一个角后成为五边形ABCDE(如图K15-5),其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积,求此时PM的长.图K15-58.如图K15-6,矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发.(1)经过多长时间,△PBQ的面积等于8cm2?(2)经过多长时间,五边形APQCD的面积最小,最小值是多少?图K15-6|拓展提升|9.如图K15-7,抛物线m:y=ax2+b(a<0,b>0)与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°,得到新的抛物线n,它的顶点为C1,与x轴的另一个交点为A1.假设四边形AC1A1C为矩形,那么a,b应满足的关系式为 ()图K15-7A.ab=-2 B.ab=-3C.ab=-4 D.ab=-510.如图K15-8,在平面直角坐标系xOy中,假设动点P在抛物线y=ax2上,☉P恒过点F(0,n),且与直线y=-n始终保持相切,那么n=(用含a的代数式表示).

图K15-811.[2022·临沂]在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点A,B.(1)求a,b满足的关系式及c的值.(2)当x<0时,假设y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,求a的取值范围.(3)如图K15-9,当a=-1时,在抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积为1?假设存在,请求出符合条件的所有点P的坐标;假设不存在,请说明理由.图K15-9【参考答案】1.B[解析]设一条直角边为xcm,那么另一条直角边长为(20-x)cm,∴直角三角形的面积S=12x(20-x)=-12(x-10)2∵-12<∴当x=10时,S最大=50cm2.应选B.2.C[解析]设P,Q同时出发后经过的时间为ts,四边形APQC的面积为Scm2,那么有:S=S△ABC-S△PBQ=12×12×6-12(6-t)×2t=t2-6t+36=(t-3)2∴当t=3s时,S取得最小值.应选C.3.4[解析]二次函数y=x2-8x+15的图象与x轴交点为(3,0)和(5,0),MN=2,设P点坐标为(x,y),y=x2-8x+15,S△PMN=12=12MN·可得y1=12,y2=-1当y=12时,x=8±当y=-12时,x=8±所以共有四个点.4.3[解析]如图,设A'C与y轴交于点D.∵点A与点A'关于点B对称,∴AB=A'B.又A'C∥x轴,∴∠A'DB=∠AOB=90°,∠DA'B=∠OAB,∴△ABO≌△A'BD,∴AO=A'D,∵点A'的横坐标为1,∴A'D=AO=1,∴点A坐标为(-1,0).把(-1,0)代入抛物线解析式y=x2+mx,得m=1,∴抛物线解析式为y=x2+x,∴点A'坐标为(1,2).令y=2得,x2+x=2,解得x1=-2,x2=1,∴A'C=1-(-2)=3.5.2[解析]在y=ax2-2ax+83中,令x=0,可得y=8∴点A的坐标为0,83,∵y=ax2-2ax+83=a(x-1)2+83-∴点M的坐标为2,83,抛物线的顶点P的坐标为1,83-a,∴直线OP的解析式为y=83-ax,令y=83,可得x=8∴点B的坐标为88-3a,∵M为线段AB的中点,∴88-3a=6.解:∵抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2,∴-12a∴a=-14∴抛物线的表达式为:y=-14x2+x∴顶点A的坐标为(2,1),设对称轴与x轴的交点为E.如图,在直角三角形AOE和直角三角形POE中,tan∠OAE=OEAE,tan∠EOP=PE∵OA⊥OP,∴∠OAE=∠EOP,∴OEAE=PE∵AE=1,OE=2,∴21=PE解得PE=4,∴P(2,-4).7.解:设矩形PNDM的边DN=x,NP=y,那么矩形PNDM的面积S=xy(2≤x≤4),易知CN=4-x,EM=4-y,作BQ⊥NP于Q,那么有BQ=CN,PQ=NP-BC,且有NP-BCCN即y-34∴y=-12x∴S=xy=-12x2+5x(2≤x此二次函数的图象开口向下,对称轴为直线x=5,∴当x≤5时,S随x的增大而增大.∵2≤x≤4,∴当x=4,即PM=4时,S有最大值.8.解:(1)设运动时间为t秒,那么PB=6-t,BQ=2t,那么S△PBQ=12PB·BQ=12×(6-t)×2解得t=2或t=4,故经过2秒或4秒时,△PBQ的面积等于8cm2.(2)S△PBQ=12PB·BQ=12×(6-t)×2t=-t2当t=-b2a=3时,S△PBQ最大=-故S五边形APQCD最小=S矩形ABCD-S△PBQ最大=6×12-9=63(cm2).故当t=3秒时,五边形APQCD的面积最小,最小值是63cm2.9.B[解析]令x=0,得y=b.∴C(0,b).令y=0,得ax2+b=0,∴x=±-b∴A--ba,0,B-ba,0,∴AB=2-ba,BC=OC要使四边形AC1A1C是矩形,必须满足AB=BC,∴2-ba=∴4×-ba=b2-ba,∴ab=-3.∴a,b应满足关系式ab=-3.应选B.10.14a[解析]如图,连接PF.设☉P与直线y=-n相切于点E,连接PE.那么PE∵动点P在抛物线y=ax2上,∴设P(m,am2).∵☉P恒过点F(0,n),∴PF=PE,即m2+(a∴n=1411.[分析](1)求出点A,B的坐标,即可求解;(2)当x<0时,假设y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,那么函数图象的对称轴x=-b2a≥0,由(1)知b=2a+1,即-(3)假设存在符合题意的是P.过点P作直线l∥AB,作PQ∥y轴交BA于点Q,作PH⊥AB于点H,易求∠QPH=45°,S△PAB=12×AB×PH=12×22×PQ×22=1,那么|yP-yQ解:(1)根据直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,令x=0,那么y=2,令y=0,那么x=-2,故点A,B的坐标分别为(-2,0),(0,2),将B(0,2)的坐标代入y=ax2+bx+c,得c=2,那么函数表达式为:y=ax2+bx+2,将点A坐标代入上式得4a-2b+2=0,整理得:b=2a+1.(2)当x<0时,假设y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,那么函数图象的对称轴x=-b2a≥0,而b=2即-2a+12a≥0,解得:0故a的取值范围为:-12≤a<0(3)当a=-1时,二次函数表达式为:y=-x2-x+2,假设存在符合题意的点P,过点P作直线l∥AB,作PQ∥y轴交BA于点Q,作PH⊥AB于点H,∵A(-2,0),B(0,2),∴OA=OB,AB=22,∴∠BAO=45°,∴∠PQH=45°,S△PAB=12×