四川省2023中考数学专题突破复习题型专项（九）四边形的简单证明与计算试题

PAGEPAGE5题型专项(九)四边形的简单证明与计算1．(2022·陕西)如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF，CE，求证：AF∥CE.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠ADB＝∠CBD.∵BF＝DE，∴BF＋BD＝DE＋BD，即DF＝BE.在△ADF和△CBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝BC，,∠ADB＝∠CBD，,DF＝BE，))∴△ADF≌△CBE(SAS)．∴∠AFD＝∠CEB.∴AF∥CE.2．(2022·长春)如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF与CD交于点G.(1)求证：BD∥EF；(2)假设eq\f(DG,GC)＝eq\f(2,3)，BE＝4，求EC的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵DF＝BE，∴四边形BEFD是平行四边形．∴BD∥EF.(2)∵四边形BEFD是平行四边形．∴DF＝BE＝4.∵DF∥EC，∴△DFG∽△CEG.∴eq\f(DG,CG)＝eq\f(DF,CE).∴CE＝eq\f(DF·CG,DG)＝4×eq\f(3,2)＝6.3．(2022·南充二诊)如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，EF＝EC，且EF⊥EC.(1)求证：△AEF≌△DCE；(2)假设DC＝eq\r(2)，求BE的长．解：(1)证明：在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AFE＋∠AEF＝90°.∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°.∴∠AEF＋∠CED＝90°.∴∠AFE＝∠CED.在△AEF和△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D，,∠AFE＝∠CED，,EF＝EC，))∴△AEF≌△DCE(AAS)．(2)∵△AEF≌△DCE，∴AE＝DC＝eq\r(2).在矩形ABCD中，AB＝CD＝eq\r(2).在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，即(eq\r(2))2＋(eq\r(2))2＝BE2，∴BE＝2.4．(2022·苏州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；(2)假设AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形．∴AB∥CD，AC⊥BD.∴AE∥CD，∠AOB＝90°.又∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°.∴∠AOB＝∠EDB.∴DE∥AC.∴四边形ACDE是平行四边形．(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6.∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝eq\r(DO2＋CO2)＝5.又∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.5．(2022·绵阳中江模拟四)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)假设OD＝eq\f(1,2)AC，那么四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．解：(1)证明：∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO.∵O为AC的中点，∴OA＝OC.∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.在△BOE和△DOF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FDO＝∠EBO，,∠DFO＝∠BEO，,OE＝OF，))∴△BOE≌△DOF(AAS)．(2)假设OD＝eq\f(1,2)AC，那么四边形ABCD是矩形．证明：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD.∵OD＝eq\f(1,2)AC，∴OA＝OB＝OC＝OD，且BD＝AC.∴四边形ABCD为矩形．6．(2022·攀枝花)如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF＝AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E.(1)求证：DE＝AB；(2)以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，假设BF＝FC＝1，求扇形ABG的面积．(结果保存π)解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC.∴∠DAE＝∠AFB.∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°＝∠B.在△ABF和△DEA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AFB＝∠DAE，,∠B＝∠DEA，,AF＝AD，))∴△ABF≌△DEA(AAS)．∴DE＝AB.(2)∵BC＝AD，△ABF≌△DEA，∴AD＝AF，BC＝AF＝2.∵BF＝1，∠ABF＝90°，∴由勾股定理得AB＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).∴∠BAF＝30°.∴扇形ABG的面积为eq\f(30π×〔\r(3)〕2,360)＝eq\f(π,4).7．(2022·娄底)如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F.(1)求证：△BCF≌△BA1D；(2)当∠C＝α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．解：(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠C.∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，∴A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1.在△BCF与△BA1D中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C＝∠A1，,BC＝A1B，,∠CBF＝∠A1BD，))∴△BCF≌△BA1D.(2)四边形A1BCE是菱形．理由：∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，∴∠A1＝∠A.∵∠ADE＝∠A1DB，∴∠AED＝∠A1BD＝α.∴∠DEC＝180°－α.∵∠C＝α，∴∠A1＝α.∴∠A1BC＝360°－∠A1－∠C－∠A1EC＝180°－α.∴∠A1＝∠C，∠A1BC＝∠A1EC.∴四边形A1BCE是平行四边形．∵A1B＝BC.∴四边形A1BCE是菱形．8．(2022·济宁)如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF＝CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO.(1)EO＝eq\r(2)，求正方形ABCD的边长；(2)猜测线段EM与CN的数量关系并加以证明．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝OC，△ABC是等腰直角三角形．在△ACF中，AC＝CF，CE平分∠ACF，∴AE＝EF.∴EO为△AFC的中位线．∴CF＝2EO＝2eq\r(2).∴AC＝2eq\r(2).∴AB＝eq\f(AC,\r(2))＝2.(2)EM＝eq\f(1,2)CN.证明：∵CF＝CA，CE是∠ACF的平分线，∴CE⊥AF.∴∠AEN＝∠CBN＝90°.∵∠ANE＝∠CNB，∴∠BAF＝∠BCN.在△ABF和△CBN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAF＝∠BCN，,AB＝BC，,∠ABF＝∠CBN＝90°，))∴△ABF≌△CBN(ASA)．∴AF＝CN.∵∠BAF＝∠BCN，∠ACN＝∠BCN，∴∠BAF＝∠OCM.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∴∠ABF＝∠COM＝90°.∴△ABF∽△COM.∴eq\f(CM,AF)＝eq\f(OC,BA).∴eq\f(CM,CN