【北师大版】高三数学一轮课时作业【49】

匠心文档，专属精选。课时作业49椭圆一、选择题(每题5分，共40分)22)．椭圆x＋y＝1的离心率为(1168A.1B.132C.3D.232分析：e＝2224＝2.答案：D2．设0≤α<2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是()π7πππA.0，3∪4，2πB.，3424C.π3πD.3π3π2，44，2x2y2＝1，分析：化为1＋1sinα－cosα∴－1>1>0，应选C.cosαsinα答案：Cx2y23．(2013·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E：a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()x2y2x2y2A.45＋36＝1B.36＋27＝1匠心教育文档系列1匠心文档，专属精选。x2y2x2y2C.27＋18＝1D.18＋9＝1分析：设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x2，y2)，22x12＋y12＝1ab∴22两式相减得，x22＋y22＝1abx2－x2y2－y21221a2＝b2，x1－x2x1＋x2即a2y2－y1y2＋y1＝b2，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，y2－y1b2∴k＝－＝a2，x－1－02∴b2＝1又∵k＝＝11－32a2又∵c2＝a2－b2＝2b2－b2＝b2，c2＝9，b2＝9，a2＝18，x2y2即标准方程为18＋9＝1，应选D.答案：D22．(2012·江西椭圆x＋y＝1(a>b>0)的左、右极点分别是A，B，ab左、右焦点分别是F1，F2若1，12，1成等比数列，则此椭.|AF||FF||FB|圆的离心率为()15A.4B.5匠心教育文档系列2匠心文档，专属精选。1C.2D.5－2分析：由于A，B为左、右极点，F1，F2为左、右焦点，所以|AF1|a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c.又由于|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2.5所以离心率e＝a＝5，应选B.答案：Bx2y25．(2014·兰州调研)“－3<m<5”是“方程5－m＋m＋3＝1表示椭圆”的()A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件x2y2分析：要使方程5－m＋m＋3＝1表示椭圆，应满足5－m>0m＋3>0，解得－3<m<5且m≠1，所以“－3<m<5”是“方程5－m≠m＋3x2＋y2＝1表示椭圆”的必需不充分条件．5－mm＋3答案：B．·莱芜期中若点和点22OF分别为椭圆x＋y＝1的中心和6(2013)95左焦点，点P为椭圆上任意一点，则→→的最小值为()OP·FP11A.4B．3C．8D．15匠心教育文档系列3匠心文档，专属精选。分析：设P(3cosθ，5sinθ)(0≤θ<2π)，→→∵F(－2,0)，∴FP＝(3cosθ＋2，5sinθ，)OP＝(3cosθ，5sinθ．∴)→→2θ＝θ＋321111·＝(3cosθ＋2)×3cosθ＋5sin4)＋4≥4.FPOP4(cos答案：A7．已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈(12，1)，则实数m的取值范围是()34A．(0，4)B．(3，＋∞)3434C．(0，4)∪(3，＋∞)D．(4，1)∪(1，3)分析：椭圆标准方程为x2＋y2＝1.当m>1时，e2＝1－1∈(1，1)，1m4m解得m>4；当0<m<1时，e2＝1－1m＝1－m∈(1，1)，解得0<m<3，故3144m34实数m的取值范围是(0，4)∪(3，＋∞)．答案：C．·大纲理，椭圆22(20138)：x＋y＝1的左、右极点分别为A、8C4312，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线A1斜率的取值范围是()PA1333A．[2，4]B．[8，4]13C．[2，1]D．[4，1]分析：如图：匠心教育文档系列4匠心文档，专属精选。直线A2M的方程为y＝－(x－2)＝2－xx2y2代入椭圆方程4＋3＝13x2＋4y2＝3x2＋4(4－4x＋x2)＝12整理得7x2－16x＋4＝01622＋x＝7，∴x＝7.12M点坐标为(7，7)24同理可得N点坐标为(19，19)123KA1M＝2＝47＋2243KA1N＝26＝8.19＋2答案：B二、填空题(每题5分，共15分)匠心教育文档系列5匠心文档，专属精选。x2y29．(2014·青岛模拟)设椭圆m2＋n2＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点同样，离心率为12，则此椭圆的方程为________．12分析：抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴m2－n2＝4①，e＝2＝m，∴m＝4，代入①得，n2＝12，x2y2∴椭圆方程为16＋12＝1.x2y2答案：16＋12＝110．(2014·佛山模拟)在等差数列{an}中，a2＋a3＝11，a2＋a3＋a4x2y221，则椭圆C：a6＋a5＝1的离心率为________．分析：由题意，得a4＝10，设公差为d，则a3＋a2＝(10－d)＋(102d)＝20－3d＝11，∴d＝3，∴a5＝a4＋d＝13，a6＝a4＋2d＝16>a5，∴e＝16－1334＝4.3答案：4．已知P是以、F为焦点的椭圆x2＋y2＝1(a>b>0)上的一点，11F1222ab→→1若PF1·2＝0，tan∠PF12＝，则此椭圆的离心率为________．PFF2→→＝0，∴PF⊥PF，分析：∵PF1·PF21211又tan∠PF1F2＝2，令PF2＝2PF1＝x，a＝3x3x＝2a2则5x2＝4c2，∴5，c＝2x匠心教育文档系列6匠心文档，专属精选。5e＝a＝3.5答案：3三、解答题(共3小题，每题15分，共45分．解答写出必需的文字说明，证明过程或演算步骤)12．(2012·陕西理，19)已知椭圆C1：x2＋y2＝1，椭圆C2以C1的4长轴为短轴，且与C1有同样的离心率．(1)求椭圆C2的方程；设为坐标原点，点，分别在椭圆→→(2)OC1和C上，OB＝2OA，AB2求直线AB的方程．y2x2解：由已知可设椭圆C2的方程为a2＋4＝1(a>2)，3a2－43其离心率为2，故a＝2，则a＝4，22故椭圆C2的方程为y＋x＝1.164(2)设A，B两点的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)，→→由OB＝2OA及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，所以可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入x24＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x2A＝42，1＋4k→→216216k2由OB＝2OA，得xB＝1＋4k2，yB＝1＋4k2，222将xB2，yB2代入y＋x＝1中，得4＋k＝1，164＋214k匠心教育文档系列7匠心文档，专属精选。即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.13．(2014·南京一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2y23a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率为2，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不一样两点，直线PM与QN订交于点T.求证：点T在椭圆C上．2解：(1)由题意知，b＝＝2.3由于离心率e＝a＝2，bc1所以a＝1－a2＝2.所以a＝22.x2y2所以椭圆C的方程为8＋2＝1.(2)证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(－x0，y0)，y0－1则直线PM的方程为y＝x0x＋1，①匠心教育文档系列8匠心文档，专属精选。0－2y直线QN的方程为y＝－x0x＋2.②法一：联立①②解得x＝x03y0－40－3，y＝0－3，2y2y03y0－42200即T(x0－3)．由x＋y0－3，82＝1，可得x02＝8－4y02.2y2y1x013y0－402＋43y0－42由于8(－)2＋2(－)2＝－322y2y82y228－4y0＋43y0－482y0－3202－96y0＋720－3232y82y＝82y0－32＝82y0－32＝1，所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．法二：设T(x，y)，联立①②解得x0＝x，y0＝3y－4.2y－32y－3x02y021x13y－4由于8＋2＝1，所以8(2y－3)2＋2(2y－3)2＝1.x23y－42＝(2y－3)2，整理得8＋2x29y2x2y2所以8＋2－12y＋8＝4y2－12y＋9，即8＋2＝1.所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．14．(2013·新课标Ⅱ理，20)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2y2a2＋b2＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－3＝0交M于A，B两点，P1为AB的中点，且OP的斜率为2.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形面积的最大值．匠心教育文档系列9匠心文档，专属精选。解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x21y21x22y22a2＋b2＝1，a2＋b21，y2－y1＝－1，x2－x1b2x2＋x1y2－y1由此可得a2y2＋y1＝－x2－x1＝1，由于x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，y0＝1，x02所以a2＝2b2，又由题意知，M的右焦点为(3，0)，故a2－b2＝3.所以a2＝6，b2＝3.x2y2所以M的方程为6＋3＝1.x＋y－3＝0，(2)由x2y2解得6＋3＝1.x＝433，x＝0，3或y＝3.y＝－3，6所以|AB|＝3.由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n(－53，设，3<n<3)