有限元与数值方法讲稿

1教学内容计算固体力学的基本理论固体力学(以弹性力学为主描述)的基本理论能量、变分原理和变分法特殊问题的数值计算方法介绍各类方法的构造过程计算固体力学的主要方法有限差分法（FiniteDifferentMethod）加权残数法（WeightedResidualMethod）有限元法（FiniteElementMethod）无网格法（MeshlessMethod）边界元方法（BoundaryelementMethod）有限元法的应用和前后处理第1页/共47页第一页，共48页。2参考教材R.D.Cook,有限元分析的概念与应用（ConceptsandApplicationofFiniteElementAnalysis）关正西等译，西安交大出版社王勖成等,有限单元法基本原理和数值方法，清华大学出版社杨庆生,现代计算固体力学，科学出版社刘正兴等,计算固体力学，上海交大出版社第2页/共47页第二页，共48页。3第一章前言一计算固体力学的任务：

1.力学的任务物体机械运动的规律

——研究物体受到的力和物体发生的运动的关系物体（流体，固体，气体）力（热，电，磁等环境）运动

流体力学：研究对象是流体（水，空气等）；固体力学

2.固体力学的任务研究固体（结构）在外部作用（外力，温度等变化）下的变形和应力及其演化规律，根据这些规律研究固体和结构的破坏（刚度、强度、疲劳、断裂以及稳定性等）根据研究对象的不同：弹性力学，塑性力学，断裂力学，冲击力学;材料力学，理论力学等根据采用的方法：实验，理论和计算第3页/共47页第三页，共48页。4固体力学的任务（续）重点：建立固体在外部作用下的变形和应力以及演化规律的数学模型（控制方程）例如：应力~外力之间的关系：平衡方程（运动方程）应力~应变之间的关系：本构方程

研究变形的机理，变形的诱因（外部作用）、应力和应变的定量关系：

弹性问题：Hooke定律

热弹性问题：热膨胀规律

塑性问题：屈服条件；强化准则；流动准则断裂问题：起裂条件；扩展规律第4页/共47页第四页，共48页。5变形的描述以及几何关系主要研究变形的描述方式（应变，位移，转角等）建立变形与位移之间的定量关系 应变与位移之间的定量关系例如：小变形条件下：有限变形条件下：边界条件：位移边界：

应力边界：第5页/共47页第五页，共48页。6求解方法以及对应的控制方程（1）力法未知量：以应力作为基本未知量控制方程：平衡方程；相容方程（变形协调方程）（2）位移法：未知量：以位移作为基本未知量控制方程：位移表示的平衡方程；边界条件第6页/共47页第六页，共48页。7对应原理，变分原理研究：微分方程的积分形式，

泛函变分与基本方程的对应

建立各种问题所对应的变分原理任务：国体力学是建立固体变形规律所必须满足的规律以及数学模型，为各种求解策略提供理论基础。第7页/共47页第七页，共48页。8计算固体力学的任务和研究内容任务： 以固体力学的基本理论为基础，研究利用计算机科学与技术求解固体力学中各类问题的数值分析理论、方法、建模、软件实现；研究内容：（1）研究固体力学中各类问题的数值计算方法，基本原理；（2）采用数值模拟技术，分析固体的变形演化规律、破坏规律、应力分布规律，揭示新的力学现象，包括材料性能揭示；工程中的力学问题等。（3）工程问题的模型化、可视化、虚拟现实第8页/共47页第八页，共48页。9结构分析问题各种工程结构常见的结构元件：（1）杆、梁、柱（长＞＞宽和高）（2）板(中厚板)、壳（厚＜＜长和宽）（3）三维体（4）薄壁结构（飞机机翼与机身等）（5）以上结构类型的复合体

结构分析问题包括：（1）强度问题(应力)（2）刚度问题(变形)（3）稳定性问题（4）振动问题第9页/共47页第九页，共48页。10有限元法（位移协调元,杂交元，应力元，拟协调元）边界元法无网格法(mesh-freemethod):Non-structuralfinitedifference(Orkisz,2001)；Element-freeGalerkin(Belytschko,1994)Smoothparticlehydrodynamic(Gingold,1997)PartitionofUnity((Melenk,1996)FinitePointmethod(Onate,1996)Meshlessfiniteelement(Onate,2003)Finitesphere(Bathe,2001)Naturalelement(Belytschko,1998)扩展的有限元法（x-FEM)等几何法（isogeometricmethod)变分法加权残数法计算固体力学的主要方法第10页/共47页第十页，共48页。11近似求解偏微分方程的数值方法：LordRayleighandRitz,Galerkin

采用试函数(trialfunctions)

对偏微分方程的解进行近似Courant引入子域内分片连续试函数（piecewise-continuousfunctions）

的概念，标志着有限元方法的起始有限元法的发展历史1960s.Clough在平面应力分析中引入

finiteelement

的名称1960s-1970s.板弯曲、壳弯曲、压力容器、三维弹性问题、流动、热传导等采用有限元方法求解；美国空间计划支持Nastran的开发1970s.开发了ANSYS,ALGOR,COSMOS/M,SAP,NONSAPandABAQUSetc.目前.FEM系统可在微机上解决大规模结构分析问题第11页/共47页第十一页，共48页。12计算力学发展展望计算力学研究采用计算机和相应计算方法求解力学问题、认识力学现象的方法、理论、软件实现和工程应用。计算力学是力学学科和计算机科学技术交叉而形成的力学分支，是计算科学和工程的核心学科。计算力学起始于有限元法.有限元法的诞生可追溯到50年代中期Martin,Clough,Turner(1956),Argyris(1955)等的工作；前者为了采用计算机求解波音公司的三角形机翼动力问题,在Zienkiewicz等人的努力下，这一方法被迅速推广至连续体、岩土工程、动力学问题、稳定性问题的求解，其基础数学理论和求解问题的算法也不断得到完善。有限元法取得的巨大成功是惊人的,它以经典牛顿力学为基础，为人们提供前所未有的能力，预测和理解复杂系统，模拟复杂的物理现象，利用这些模拟设计复杂的工程系统。它已使力学这个古老学科成为对制造、通讯、运输、医疗、国防和很多对人类文明非常核心的领域产生决定性影响的学科；对科学和技术已经产生了深远的影响。第12页/共47页第十二页，共48页。13计算力学发展展望计算力学的延伸造就了CAE软件和产业，而CAE产业产生了巨大的社会和经济效益，其直接经济效益每年达数十亿美元，而间接经济效益上百亿美元。计算力学已经引发一个令人振奋的新观点：理论、实验和计算成为现代科学的三大支撑；产生了一个新的领域“计算科学”。在2005年美国总统信息技术顾问委员会给总统的报告“计算科学：确保美国竞争力”中指出，“计算科学采用先进的计算能力理解和求解复杂问题,已经成为对美国科技领导地位、经济竞争力和国家安全的关键，计算科学是21世纪最重要的技术领域之一”。第13页/共47页第十三页，共48页。14随着计算机软硬件和软件开发新工具、外围设备和相关工具的改进和发展，新世纪的计算力学有了前所未有的发展机遇随着人们关心以量子、分子和生物力学为基础的物理（微电子、微机电系统）和生物系统的模型，关心巨尺度的自然现象（海啸、雪崩)，计算力学有无限的未来发展和应用的前景计算力学研究具有跨学科的性质，使其能反映概念、方法和原则的组合，常常横跨力学、数学、计算机科学和其他科学领域。其成功推动了“基于模拟的工程科学”的产生计算力学发展展望第14页/共47页第十四页，共48页。15计算力学发展展望“基于模拟的工程科学”已经并将持续对工程、科学研究和解决重大社会问题各个领域产生巨大的影响；将带来新世纪工程科学的革命性变革RevolutionizingEngineeringSciencethroughSimulation“基于模拟的工程科学”(Simulation-basedEngineeringScience)为工程系统的模拟提供科学和数学基础的学科，它关注复杂、相互关联的工程系统的计算机模型和模拟，关注满足规定精度和可靠度标准的数据的获取，它已科学理解的进步为基础，并通过计算机模拟，将其与解决工程问题的新方法结合第15页/共47页第十五页，共48页。16教学内容计算固体力学的基本理论固体力学(以弹性力学为主描述)的基本理论能量、变分原理和变分法特殊问题的数值计算方法介绍各类方法的构造过程计算固体力学的主要方法有限差分法（FiniteDifferentMethod）加权残数法（WeightedResidualMethod）有限元法（FiniteElementMethod）无网格法（MeshlessMethod）边界元方法（BoundaryelementMethod）有限元法的应用和前后处理第16页/共47页第十六页，共48页。17第17页/共47页第十七页，共48页。18常用的数学知识和记号：张量和张量运算张量：满足一定的坐标变化规律的数表。例如：向量：在不同的坐标系下，分量和满足矢量的变换关系称为一阶张量。二阶张量第二章弹性力学基本理论第18页/共47页第十八页，共48页。19加减运算：点积运算（内积）：求和约定：微分运算： 例如：应变张量的运算第19页/共47页第十九页，共48页。20弹性力学的基本理论弹性力学的基本假定:

连续性,均匀性,各向同性,完全弹性,小变形五个假设建立根据作用于弹性体上的外力,决定弹性体内的变形和应力及其演化规律的数学模型（控制方程）。弹性体的变形和内力描写——应变，应力的定义用应变张量描写每一点的变形

用应力张量描写每一点的内力第20页/共47页第二十页，共48页。21弹性力学的基本方程应力-外力之间的关系：平衡方程（运动方程）位移和应变的关系：几何关系应力-应变之间的关系：物理本构

研究变形机理，变形的诱因（外部作用）

例如： 弹性力学问题：Hooke定律。热弹性问题：热膨胀规律,弹性常数岁温度的变化规律。塑性力学：屈服条件，强化准则，流动准则。断裂力学：裂纹起裂条件和裂纹扩展规律等。第21页/共47页第二十一页，共48页。22应力和平衡方程应力：单位面积上的内力应力与作用面的方向相关。各方向上的应力称为一点的应力状态。为了完整地描述一点的应力状态，可取与坐标轴垂直的三个面上的应力表示。

为应力张量对称性：应力向量（矩阵形式的表示方法）yxz第22页/共47页第二十二页，共48页。23平衡方程：可写成或矩阵形式第23页/共47页第二十三页，共48页。24应力边界条件矩阵形式张量形式其中

方向余弦第24页/共47页第二十四页，共48页。25几何关系（位移和应变的关系）根据弹性体每一点的位移,给出每一点的变形（应变、转角）,建立变形与位移之间的定量关系

QPdsQ’P’ds’变形前Ｐ,Ｑ；变形后Ｐ',Ｑ'任意点的运动（u,v,w)第25页/共47页第二十五页，共48页。26Green应变Green应变E定义为：设分别为变形前后的材料矢量Green应变的推导：与Green应变定义对比，得到第26页/共47页第二十六页，共48页。27位移、应变与几何方程位移应变小变形第27页/共47页第二十七页，共48页。28位移、应变与几何方程张量形式矩阵形式第28页/共47页第二十八页，共48页。29大变形：第29页/共47页第二十九页，共48页。30线性弹性应力－应变关系（线弹性）

胡克定律：单向拉伸，如弹簧等广义胡克定律：复杂应力状态非线性弹性应力－应变关系塑性本构关系：含“内变量”并与热相关粘弹性本构关系：应力与应变率相关材料的本构关系第30页/共47页第三十页，共48页。31低碳钢单轴拉伸试验曲线试件颈缩第31页/共47页第三十一页，共48页。32一般线弹性材料的本构关系应力和应变满足由功的互等关系，共有21个独立的弹性常数注意：主应力和主应变方向不重合第32页/共47页第三十二页，共48页。33各向同性线弹性材料的本构关系各向同性线弹性和小变形假设下，应力和应变满足广义虎克定律对各向同性材料有(有2个独立的弹性常数)主应力和主应变方向重合第33页/共47页第三十三页，共48页。34各向同性线弹性材料的本构关系对于平面应力状态，上式成为或对于平面应变状态，则为或第34页/共47页第三十四页，共48页。35

线弹性本构关系的张量表示一般的各向异性材料的线弹性应力－应变关系：或对于一般的各向异性材料，弹性常数中只有21个独立三维各向同性材料本构方程：第35页/共47页第三十五页，共48页。36正交各向异性线弹性材料的本构关系应力和应变满足（选取弹性对称轴为x,y,z轴）由功的互等关系，共有9个独立的弹性常数若坐标旋转，则上述正交性质将被掩盖第36页/共47页第三十六页，共48页。37热应变对于各向同性材料，热应变与温度变化成正比：考虑热应变，应力－应变关系成为：第37页/共47页第三十七页，共48页。38边界条件在位移边界条件上：在应力边界上：第38页/共47页第三十八页，共48页。39弹性力学问题的构成弹性力学问题的建立与求解变量：3个位移分量，6个应力分量，6个应变分量基本方程：平衡方程，几何方程，物理方程边界条件：位移边界条件，应力边界条件第39页/共47页第三十九页，共48页。40求解方法及相对应的控制方程： 力法：以应力为基本位移量 平衡方程：变形协调方程 位移法：以位移为基本未知数 平衡方程：位移表示的平衡方程对应原理：变分原理微分方程的积分形式，泛函变分与基本方程的对应。建立各种问题所对应的变分原理。总之：固体力学是建立固体变形规律所必需满足的规律以及数学模型。为各种求解策略提供理论基础第40页/共47页第四十页，共48页。41弹性力学的主要解法解析法；凑合法与半凑合法；简化假定平截面假定－杆，梁；直法线假定－板壳；平面应力问题;平面应变问题;对称问题（轴对称问题，球对称问题）应力函数法；复变函数法；积分方程法；有限差分法；变分法；光测;电测;数值方法只能求解简单的问题：简单的结构形状、荷载分布和边界条件第41页/共47页第四十一页，共48页。42求解策略物理模型的简化杆（梁）平面问题平面应力问题，薄板平面应力问题：（很厚）柱体板（壳）发展数值求解策略直接求解方法：差分方法