有限元单元荷载移置

1第6章用有限单元法解平面问题6－6非结点荷载向结点移置（单元的结点荷载列阵）（三结点三角形单元的单元分析）第1页/共31页第一页，共32页。2单元非结点荷载向结点移置与单元的形函数及其性质有密切关系第2页/共31页第二页，共32页。3形函数及其性质位移模式(6-10）

补充：解答的收敛性第3页/共31页第三页，共32页。4性质4形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分公式为

(6-14）式中为边的长度。在三角形的形心，＝1/3在三角形的ij和im边的中点，＝1/2第4页/共31页第四页，共32页。5单元分析6－6单元非结点荷载向结点移置

（单元的结点荷载列阵）第5页/共31页第五页，共32页。6单元载荷移置概念如果弹性体受承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的作用点取为离散结构的结点，就不存在移置的问题，集中力就是结点载荷。但实际问题往往受有分布的面力和体力，都不可能只作用在结点上。因此，就必须进行载荷移置。如果集中力的作用点未被取为结点，该集中力也要向结点移置。

有限元分析的基本未知量是离散结构的结点位移，基本方程是结点平衡方程。相应地，作用在离散结构上的所有非结点荷载，都必须向结点移置－－成为等效结点荷载第6页/共31页第六页，共32页。7单元载荷移置原则

在确定的位移模式下，原载荷与等效结点载荷在任意虚位移上的虚功应相等，与静力等效的原则是等价的，移置结果也是唯一的。我们采用后者实现荷载的静力等效移置。

将载荷移置到结点上，必须遵循静力等效的原则。亦即原载荷与结点载荷静力等效的原则。第7页/共31页第七页，共32页。8单元载荷移置（集中力）

第8页/共31页第八页，共32页。9结点虚位移

等效结点荷载

等效结点荷载虚功

单元载荷移置（集中力）第9页/共31页第九页，共32页。10集中力作用点虚位移

集中力

单元载荷移置（集中力）集中力虚功

第10页/共31页第十页，共32页。11＝集中力虚功

单元载荷移置（集中力）等效结点荷载虚功

注意：N中的x，y必须带入集中力作用点的坐标

第11页/共31页第十一页，共32页。12单元载荷移置（集中力）注意：N中的x，y必须带入集中力作用点的坐标

P119式（6－41）*解释与说明

第12页/共31页第十二页，共32页。13计算单元位移函数举例

例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵和位移函数第13页/共31页第十三页，共32页。14计算单元位移函数举例

由三角形的面积第14页/共31页第十四页，共32页。15

设a=3,单元厚度t＝1。荷载作用点坐标为M（1，1）单元载荷移置举例（集中力）第15页/共31页第十五页，共32页。16

设a=3,单元厚度t＝1。荷载作用点坐标为：M（0，a）；M（a，0）；M（0，0）；M（2，1）时第16页/共31页第十六页，共32页。17单元载荷移置（分布力）

分布体力的移置分布面力的移置第17页/共31页第十七页，共32页。18（1）单元自重（分布体力）

图1-9所示平面应力三角形单元，单元厚度为h。单元单位体积自重为，自重指向y轴的负方向。PvixPviyPvjxPvjyPvmxPvmy图1-9xyijm-单元载荷移置（举例）第18页/共31页第十八页，共32页。19注意到形函数的性质：得自重荷载的等价结点力（i,j,m）第19页/共31页第十九页，共32页。20上式表明：自重载荷的等价结点力为单元重量的1/3。

第20页/共31页第二十页，共32页。21（2）均布面力ijm图1-10xyqs单元边界上作用了均匀的分布力，如图1-10所示，其集度为qs。

①计算公式第21页/共31页第二十一页，共32页。22注意到形函数性质：得均匀分布力的等价节点力为第22页/共31页第二十二页，共32页。23

上式表明：在ij边上受均布面力的平面问题三角形单元，其等价节点力等于将均布面力合力之半简单地简化到i、j节点上，方向与分布力方向相同。m节点上为零。ijmxyqsxFs1Fs3ijmxyqsyFs2Fs4第23页/共31页第二十三页，共32页。24（3）线性分布面力ijm图1-11xys

表面力集度在i点为[qsxqsy]T，而在j点为0。设坐标轴s的原点取在j点，沿ji为正向，。ij边上任一点的面力集度qssqsiqs第24页/共31页第二十四页，共32页。25ijm图1-12xysl在ij边上有：将qs和上式代入积分公式，有由形函数的性质3：第25页/共31页第二十五页，共32页。26

第26页/共31页第二十六页，共32页。27上式表明：ij边受线性分布面力：

i点为[qsx,qsy]T，j点为0时，其等价节点力可将总载荷的2/3分配给i点，1/3分配给j点，m点为零得出。xyijmqsiqs第27页/共31页第二十七页，共32页。28小结（三结点三角形单元的单元分析）第28页/共31页第二十八页，共32页。29

单元分析（3结点三角形单元）取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力：其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。单元分析的步骤可表示如下：（增加单元荷载移置）第29页/共31页第二十九页，共32页。30作业P141习题6－2下周五交作业第30页/共31页第三十页，共32页。31感谢您的观看！第31页/共31页第三十一页，共32页。内容总结1。第1页/共31页。第3页/共31页。第6页/共31页。亦即原载荷与结点载荷静力等效的原则。M（0，0）。图1-9所示平面应力