有限元数值算法

边界条件狄氏边界条件：又称强制或本质边界条件，即在满足这些条件的函数中寻找泛函极值。第1页/共24页第一页，共25页。边界条件纽曼边界条件：又称自然边界条件，不必事先考虑，变分的结果自然满足的边界条件。

为什么求解PDE之后，都能求出其通量值，这个通量值对应的就是自然边界条件，所以一般不需指定。第2页/共24页第二页，共25页。COMSOL自定义PDE中的边界条件1纽曼边界约束边界狄氏边界在整个边界上满足纽曼边界，而在一部分边界上满足约束边界，另一部分边界上满足狄氏边界

称为约束力Jacobain，若定义了狄氏边界，则；若定义了约束边界，则第3页/共24页第三页，共25页。通量边界条件的失效如果定义了狄氏边界条件u=r，则。通量边界条件变为：按照原来的通量边界基本上是不能使得边界上正好满足狄氏边界u=r，所以为了满足狄氏边界必须有reactionterms的存在才能得到一个合适的通量值使得在该边界处u=r注意：只有在同一边界上即添加约束边界又有通量边界，才会引起通量边界的失效。是在多物理场问题下出现的较多，因为单场问题，一般不会又加约束边界又加通量边界。第4页/共24页第四页，共25页。案例举例点源传热方程：相同边界处添加狄氏边界和通量边界狄氏边界+通量边界只有通量边界第5页/共24页第五页，共25页。结果稳态求解温度结果下顶点的总热通量与时间图上顶点的总热通量与时间图第6页/共24页第六页，共25页。显示拉格朗日乘子的结果第7页/共24页第七页，共25页。结果勾选上“使用弱约束”，可以计算得到拉格朗日乘子T_lm的值总通量ht.ntflux_acc=T_lm+ht.q0第8页/共24页第八页，共25页。五种不同的情形求解域中有两个变量u1和u2，对应两个方程缺省的纽曼边界条件为：

第9页/共24页第九页，共25页。

五种不同的情形纽曼边界条件变为：

情形3：R1=r1-u1,R2=0，即u1=r1

此时，纽曼边界为所以第一个纽曼边界失效这里r1和r2都是常数！第10页/共24页第十页，共25页。五种不同的情形情形4：改变域方程的顺寻

狄氏（约束）边界还是与情形3相同，R1=r1-u1,R2=0

此时，纽曼边界为

第11页/共24页第十一页，共25页。五种不同的情形

则相应的纽曼边界为：在两个纽曼边界上都只存在拉格朗日乘子，这是纽曼边界并没有失效，因为：

第12页/共24页第十二页，共25页。案例举例左侧边界定义狄氏边界u1=300右侧边界定义狄氏边界u2=200中间共用边界定义约束边界R=u1-u2情形1：两个方程下都在共用边界上定义通量边界，且取源项g=1情形2：两个方程下都在共用边界上定义通量边界，且取源项g=0或者不定义通量边界第13页/共24页第十三页，共25页。结果情形1：

边界处变量连续根据表达式利用一维绘图组在一维绘图的表达式中键入g.nx*u1x+g2.nx*u2x第14页/共24页第十四页，共25页。结果情形2：边界处变量连续而且：共用边界处通量也连续

第15页/共24页第十五页，共25页。特殊情况有一种特殊情况，在同一边界有狄氏边界和通量边界同时存在时，通量边界并没有失效。情况就是，所有边界的总的通量之和为0.上、下边界为零通量边界左边界为向内通量，值取3右边界为向内通量，值取-3Case1：当不加狄氏边界，这个问题也可以求解，但是没有唯一解。所以使用直接求解器没法得到结果，而使用迭代求解可以得到某一解域方程为Laplace方程Case2：当在左侧加狄氏边界u=2，其他不变。这时候左侧和右侧通量边界都没有失效，相对于1而言，狄氏边界就是一个约束条件，可以得到唯一解Case3：当在左侧加狄氏边界u=2，这时候左侧和右侧通量边界数值不同，这时左侧通量边界失效第16页/共24页第十六页，共25页。对称和非对称约束COMSOL中缺省都是对称约束（前面介绍的都是在对称约束下的情况），所谓对称（双向）约束就是指对于所有的物理场都有reactionterms，才能精确的得到通量条件，同时通量边界一定是与约束边界相关的。但是有时，主要是在多物理场的情况，在同一个边界上的通量边界需要更大的自由。例如对于多物理场（有变量u1和u2），需要在相同边界上分别对不同的域方程，定义约束边界和通量边界如果这里r1和u2没有关系，那么这两个边界条件有效(如上述情形3)，但是一旦r1是关于u2的函数，那么：第17页/共24页第十七页，共25页。对称和非对称约束非对称约束CurrentphysicsIndividualdependentvariablesCurrentphysics：reactionterms只在当前的物理场中才会出现，对于其他物理场的通量边界不影响Individualdependentvariables：reactionterms只与某一因变量有关参考上例：

如果u1和u2属于不同的物理场，使用Currentphysics和Individualdependentvariables的效果一样

如果u1和u2是与同一个物理场，那么Currentphysics和Allphysics的效果一样第18页/共24页第十八页，共25页。拉格朗日乘子拉格朗日乘子：只有在定义了狄氏边界或约束边界之后才会出现，同时也才会出现reactionterms：拉格朗日乘子有明确的物理含义：对于固体力学模块，如果在边界上指定了位移边界，那么reactionterms就相当于边界载荷对于声学模块，如果边界上指定了压力，那么reactionterms相当于一个法向加速度对于传热模块，如果边界上指定了温度边界，那么reactionterms相当于

热通量第19页/共24页第十九页，共25页。案例举例液固相变案例：锡熔化前端（tinmeltingfront）第20页/共24页第二十页，共25页。模型定义Boussineuq

假设使用变形几何，模拟相界面的移动界面处的能量守恒公式：第21页/共24页第二十一页，共25页。边界通量计算

注意：虽然在共用边界处温度是相同的，但是热通量不一定相同很多时候，使用up和down函数计算得到的结果不够精确，取决于网格离散化而这时候可以使用拉格朗日乘子来计算。第22页/共24页第二十二页，共25页。弱约束和逐点约束COMSOL自定义PDE中的边界条件1第23页/共24页第二十三页，共25页。感谢您的观看！第24页/共24页第二十四页，共25页。内容总结边界条件。总通量ht.ntflux_acc=T_lm+ht.q0。狄氏（约束）边界还是与情