有限元伽辽金法

9.1伽辽金方法

一、加权余量法当微分方程不易求得精确解时，可以用加权余量法求得一个近似解。例如一维微分方程

（D为一维微分算子）

假定u(x)为上微分方程的精确解，为近似解。—余量

第1页/共27页第一页，共28页。9.1伽辽金方法

一、加权余量法

定理：对任意连续函数

若将换成，微分方程的等效积分形式：

第2页/共27页第二页，共28页。9.1伽辽金方法

一、加权余量法满足边界条件第3页/共27页第三页，共28页。9.1伽辽金方法

一、加权余量法

（i=1，2，…，n，…

）—权函数

权函数的取法可以是各种各样的，从而得到不同的加权余量法，常用的方法包括配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。第4页/共27页第四页，共28页。9.1伽辽金方法

一、加权余量法

（i=1，2，…，n，…

）与是已知函数

当m=n时，则可确定出待定系数ci第5页/共27页第五页，共28页。9.1伽辽金方法

二、伽辽金法

（i=1，2，…，n，…

）是已知函数

取权函数，就得到了含有m个未知量的代数方程组

（i=1，2，…，m）伽辽金法第6页/共27页第六页，共28页。9.1伽辽金方法

二、伽辽金法例：用伽辽金法求解下二阶常微分方程解：第7页/共27页第七页，共28页。9.1伽辽金方法

二、伽辽金法

（i=1，2，…，m）伽辽金法(m=2)第8页/共27页第八页，共28页。9.1伽辽金方法

二、伽辽金法x=0.25x=0.5x=0.750.044010.069750.060060.044080.069440.06008第9页/共27页第九页，共28页。9.2二维稳态热传导微分方程

对于二维稳态热传导，各向同性热传导微分方程提法为—质量密度

—单位质量热源物质在单位时间内的生热率

—热传导系数

边界条件（给定温度边界）

（给定热流边界）（对流换热边界）边界外法线单位向量的方向余弦

热流量对流换热系数环境温度第10页/共27页第十页，共28页。9.3二维稳态热传导有限元方程

一、有限元方程有n个结点的一个单元内的温度场设为结点形函数结点温度

形函数矩阵单元结点温度列阵

微分方程的余量

第11页/共27页第十一页，共28页。9.3二维稳态热传导有限元方程

一、有限元方程

第12页/共27页第十二页，共28页。9.3二维稳态热传导有限元方程

一、有限元方程上

第13页/共27页第十三页，共28页。9.3二维稳态热传导有限元方程

一、有限元方程第14页/共27页第十四页，共28页。9.3二维稳态热传导有限元方程

一、有限元方程第15页/共27页第十五页，共28页。9.3二维稳态热传导有限元方程

一、有限元方程热传导刚度矩阵

温度载荷列阵

第16页/共27页第十六页，共28页。9.3二维稳态热传导有限元方程

一、有限元方程第17页/共27页第十七页，共28页。9.3二维稳态热传导有限元方程

二、三结点三角形单元单元结点温度列阵

第18页/共27页第十八页，共28页。9.3二维稳态热传导有限元方程

二、三结点三角形单元第19页/共27页第十九页，共28页。9.3二维稳态热传导有限元方程

二、三结点三角形单元热传导刚度矩阵

第20页/共27页第二十页，共28页。9.3二维稳态热传导有限元方程

二、三结点三角形单元是常数，若设对流换热系数是ij边

热传导刚度矩阵

第21页/共27页第二十一页，共28页。9.3二维稳态热传导有限元方程

二、三结点三角形单元温度载荷列阵

如果单元的热源密度Q为常数，由内部热源产生的温度载荷列阵设都是常数，

为jm边，

为ij边第22页/共27页第二十二页，共28页。9.3二维稳态热传导有限元方程

三、四结点等参元对四结点等参元，须要导数变换热传导矩阵元素的积分（暂不计）第23页/共27页第二十三页，共28页。例厚壁圆筒内半径为0.3m，外半径为0.5m,圆筒内壁温度500ºC，外壁温度100ºC，圆筒两端设为绝热，材料的导热系数为7.5W/(m·K)，求沿圆筒壁厚方向的温度场。第24页/共27页第二十四页，共28页。例厚壁圆筒内半径为0.3m，外半径为0.5m,圆筒内壁温度500ºC，外壁温度100ºC，圆筒两端设为绝热，材料的导热系数为7.5W/(m·K)，求沿圆筒壁厚方向的温度场。第25页/共27页第二十五页，共28页。本次课结束第26页/共27页第二十六页，共28页。谢谢您的观看！第27页/共27页第二十七页，共28页。内容总结9.1伽辽金方法。9.1伽辽金方法。9.1伽辽金方法。假定u(x)为上微分方程的精确解，为近似解。（i=1，2，。，n，。，n，。对于二维稳态热传导，各向同性热传导微分方程提法