有限元原理及其应用

2023/2/111第2章预备知识

第3节内积空间

第2节线性空间

第4节索伯列夫空间HK

InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第6节小结

第1节概述

第5节Galerkin变分原理和Ritz变分原理

第1页/共46页第一页，共47页。2023/2/112第1节概述

本章介绍关于有限元方法的一些数学概念和结论，目的在于对于有限元解的收敛性以及单元精度问题能有确切的了解。对于有限元方法的数学研究，目前已进行得相当充分，对这方面有兴趣的读者可进一步查阅有关的专著[1,2]。实际上有限元解是有限元插值函数的线性组合，因此，有限元解空间为函数空间(即某种函数的集合)。相关的概念可以从泛函分析书籍中了解[3]。[概述]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation[1]李开泰,黄艾香,黄庆怀.有限元方法及其应用[M].西安:西安交通大学出版社,1992.[2]陈传淼,黄云清.有限元高精度理论[M].长沙:湖南科学技术出版社,1995[3]李广民,刘三阳.应用泛函分析原理[M].西安:西安电子科技大学出版社,2003第2页/共46页第二页，共47页。2023/2/113第2节线性空间[线性空间的定义

]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第3页/共46页第三页，共47页。2023/2/114第2节线性空间[线性空间的定义

]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4页/共46页第四页，共47页。2023/2/115第2节线性空间[线性空间的维数

]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5页/共46页第五页，共47页。2023/2/116第2节线性空间[线性空间的维数

]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第6页/共46页第六页，共47页。2023/2/117第2节线性空间[线性空间的模/范数

]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第7页/共46页第七页，共47页。2023/2/118第2节线性空间[线性空间的模/范数

]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第8页/共46页第八页，共47页。2023/2/119第2节线性空间[线性空间的模/范数

]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第9页/共46页第九页，共47页。2023/2/1110第2节线性空间[线性空间的模/范数

]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第10页/共46页第十页，共47页。2023/2/1111第3节内积空间[内积]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第11页/共46页第十一页，共47页。2023/2/1112[内积模/范数]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第3节内积空间第12页/共46页第十二页，共47页。2023/2/1113[正交性]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第3节内积空间第13页/共46页第十三页，共47页。2023/2/1114[正交性]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第3节内积空间第14页/共46页第十四页，共47页。2023/2/1115[许瓦兹不等式]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第3节内积空间第15页/共46页第十五页，共47页。2023/2/1116[收敛性与完备性]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第3节内积空间第16页/共46页第十六页，共47页。2023/2/1117[收敛性与完备性]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第3节内积空间第17页/共46页第十七页，共47页。2023/2/1118[Sobolev空间HK定义]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4节索伯列夫空间HK

第18页/共46页第十八页，共47页。2023/2/1119[Sobolev空间HK定义]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4节索伯列夫空间HK

第19页/共46页第十九页，共47页。2023/2/1120[Sobolev空间HK定义]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4节索伯列夫空间HK

第20页/共46页第二十页，共47页。2023/2/1121[Sobolev空间HK定义]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4节索伯列夫空间HK

第21页/共46页第二十一页，共47页。2023/2/1122[Sobolev空间HK的模/范数]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4节索伯列夫空间HK

第22页/共46页第二十二页，共47页。2023/2/1123[Sobolev空间HK的半模/范数]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4节索伯列夫空间HK

第23页/共46页第二十三页，共47页。2023/2/1124[能量模/范数和能量内积]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4节索伯列夫空间HK

第24页/共46页第二十四页，共47页。2023/2/1125[能量模/范数和能量内积]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4节索伯列夫空间HK

第25页/共46页第二十五页，共47页。2023/2/1126[能量模/范数和能量内积]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4节索伯列夫空间HK

第26页/共46页第二十六页，共47页。2023/2/1127[能量模/范数和能量内积]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4节索伯列夫空间HK

第27页/共46页第二十七页，共47页。2023/2/1128InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5节Galerkin-Ritz变分原理

[椭圆型PDEs实例]考察具有定解的椭圆型偏微分方程边值问题

其中p(x,y)一阶连续可导，且p(x,y)≥p0>0,σ(x,y)≥0且连续，n是ƏΩ的外法线方向，Ω是R2中的连通区域，它的边界ƏΩ=Γ1∪Γ2分段光滑。记C1(Ω)和C2(Ω)分别为Ω上一切一阶和二阶连续可导函数的全体。如果函数u(x,y)∈C2(Ω)，并且具有一直到边界上的一阶连续导数，同时u(x,y)在Ω内和边界ƏΩ上满足偏微分方程，那么u(x,y)称为该方程的古典解。绝大多数PDEs求不出第28页/共46页第二十八页，共47页。2023/2/1129InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5节Galerkin-Ritz变分原理

[椭圆型PDEs实例]

古典解要求过严，为解出方程，必须扩大解的范围，为此，在线性解空间Ω中引入范数

完备化C1(Ω)所得到的空间为H1(Ω)，在该空间中定义内积

则H1(Ω)亦为Hilbert空间。

记D(Ω)为Ω上一切无限可微且支集在Ω内函数的全体，将D(Ω)赋予范数和内积，得到的空间记为H10(Ω)。第29页/共46页第二十九页，共47页。2023/2/1130InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5节Galerkin-Ritz变分原理

[椭圆型PDEs实例]在Ω内分片一阶光滑，},中赋予范数，完备化得到的空间等价于：在V中引入内积，则V也是一个Hilbert空间，且：引入双线性泛函所谓双线性泛函，即固定u时，B(u,v)是v的线性泛函，而固定v时，则是u的线性泛函。换言之，若α1,β1,α2,β2为任意常数，则第30页/共46页第三十页，共47页。2023/2/1131第5节Galerkin-Ritz变分原理

[椭圆型PDEs实例]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation可以证明B(u,v)具有以下性质：(1)对称性(2)在V×V上连续，即存在一个常数M>0，使得(3)在V上具有强制性/正定性，即存在一个常数γ>0，使得式(8a)(9a)表示有界性和强制性对任意引入的范数||·||均成立。有界性第31页/共46页第三十一页，共47页。2023/2/1132InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5节Galerkin-Ritz变分原理

[椭圆型PDEs实例]再作v的连续线性泛函：式(1)相应的变分问题就是：求u∈V，使得

满足式(11)的解u称为原椭圆型偏微分方程的弱解，将弱解所在的空间称为容许空间/试函数空间。同时由于式(11)必须对V中任一元素v都成立，故V称为检验空间。上述问题其容许空间和检验空间取同一个Hilbert空间V，这时V又称为能量空间。第32页/共46页第三十二页，共47页。2023/2/1133InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5节Galerkin-Ritz变分原理

[古典解和弱解的关系]

作二次泛函古典解和弱解的关系：若u∈C2(Ω)是椭圆偏微分方程式(1)的古典解，则u必为变分方程式(11)的弱解。反之，若变分方程式(11)的解为u，且u∈C2(Ω)，则u也是式(1)的古典解。

注：该关系具有严格的证明，证明可见[1]。1李开泰,黄艾香,黄庆怀.有限元方法及其应用[M].西安:西安交通大学出版社,1992.

式(12)称为椭圆偏微分方程边值问题式(1)的Galerkin变分形式，其解的存在性由Lax-Milgram定理[1]保证。J(v)的极小值问题就是求u

∈V,使得第33页/共46页第三十三页，共47页。2023/2/1134InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5节Galerkin-Ritz变分原理

[Galerkin和Ritz解关系]式(13)称为椭圆偏微分方程式(1)的Ritz变分形式。

设V是Hilbert空间，B(u,v)是V

×V上满足条件式(7)、式(8a)、式(9a)的双线性泛函，f是V上线性连续泛函，J(v)为式(12)所定义的二次泛函，那么，Galerkin变分形式(11)和Ritz变分形式(13)两个问题中(1)任何一个问题有解，则解多于一个(2)任一个问题的解，必式另一个问题的解Galerkin变分形式和Ritz变分形式解及其关系定理：下面给出该定理的详细证明第34页/共46页第三十四页，共47页。2023/2/1135InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5节Galerkin-Ritz变分原理

[Galerkin和Ritz解关系]第35页/共46页第三十五页，共47页。2023/2/1136InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5节Galerkin-Ritz变分原理

[Galerkin和Ritz解关系]第36页/共46页第三十六页，共47页。2023/2/1137InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5节Galerkin-Ritz变分原理

[Galerkin和Ritz解关系]第37页/共46页第三十七页，共47页。2023/2/1138InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5节Galerkin-Ritz变分原理

[Galerkin和Ritz解关系](3)由于Galerkin解具有唯一性，则Ritz解唯一性由Galerkin解和Ritz解的等价性得到。证毕。第38页/共46页第三十八页，共47页。2023/2/1139InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5节Galerkin-Ritz变分原理

[Galerkin和Ritz解关系]

相当广泛的一类椭圆偏微分方程边值问题，都存在与之对应的对称、连续、有界、强制的双线性泛函，使得边值问题的弱解，对应一个Hilbert空间上的抽象变分。对于这一类问题的研究是从事有限元研究的应用/计算数学研究者主要工作，即推导出方程的计算格式。第39页/共46页第三十九页，共47页。2023/2/1140InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5节Galerkin-Ritz变分原理

[Galerkin逼近解推导]

有限元数值分析方法的任务就是将工程实践中抽象出来的PDEs离散为代数方程，即将无穷维空间中的问题转化到有限维子空间中来，然后求其近似解。

以本节给出的椭圆型偏微分方程为例，推导其Galerkin逼近解。

设Vh是V的有限维子空间，当h→0时，Vh的维数无限增加，直到充满V为止。那么，Galerkin变分问题式(11)逼近解uh∈Vh，使得设Vh的基函数系为第40页/共46页第四十页，共47页。2023/2/1141InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5节Galerkin-Ritz变分原理

[Galerkin逼近解推导]

设Vh是V的有限维子空间，当h→0时，Vh的维数无限增加，直到充满V为止。那么，Galerkin变分问题式(11)逼近解uh∈Vh，使得其中，{ai},{bi}∈Rn。将式(15)代入式(14)，得第41页/共46页第四十一页，共47页。2023/2/1142InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5节Galerkin-Ritz变分原理

[Galerkin逼近解推导]由{bi}的任意性，可得令则

式(18)是对应于Galerkin变分形式的线性代数方程组，求解可得Galerkin逼近解。第42页/共46页第四十二页，共47页。2023/2/1143InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5节Galerkin-Ritz变分原理

[Ritz逼近解推导]而原问题变为多元函数的极小值问题，有从而得到第43页/共46页第四十三页，共47页。2