有限单元法平面问题例题

右图为取1/4模型，离散后，单元、结点、荷载和约束的简图。1简化力学模型、选取单元类型

结构及荷载沿双轴对称，选取1/4结构结构。

图所示为平面应力问题，平面应力单元类型中，3结点三角形单元

第1页/共38页第一页，共39页。2结构离散，单元编号、结点编号第2页/共38页第二页，共39页。将对象划分成4个单元，共有6个结点，单元和结点上均编上号码，其中结点的整体编码1至6，以及个单元的结点局部编码i,j,m,均示于上图中。单元号ⅠⅡⅢⅣ局部编码整体编码i3526j1253m2435第3页/共38页第三页，共39页。3.1结点位移列阵、荷载列阵3单元分析（对逐个单元进行分析。以单元1为例）第4页/共38页第四页，共39页。3.2位移函数3单元分析第5页/共38页第五页，共39页。3.3讨论位移函数的收敛性

（1）完备性

（2）协调性3单元分析第6页/共38页第六页，共39页。3.4推导形函数（只需分析1个单元，其余可直接用公式计算）

代入结点坐标和位移3单元分析第7页/共38页第七页，共39页。常数3单元分析第8页/共38页第八页，共39页。设3单元分析第9页/共38页第九页，共39页。得到3单元分析第10页/共38页第十页，共39页。3单元分析第11页/共38页第十一页，共39页。3单元分析得到内部任意一点位移和结点位移的关系式第12页/共38页第十二页，共39页。3单元分析得到内部任意一点位移和结点位移的关系式第13页/共38页第十三页，共39页。3单元分析得到形函数矩阵第14页/共38页第十四页，共39页。3单元分析3.5推导内部任意一点应变和结点位移的转换关系第15页/共38页第十五页，共39页。3单元分析第16页/共38页第十六页，共39页。3单元分析第17页/共38页第十七页，共39页。3单元分析第18页/共38页第十八页，共39页。3单元分析3.6推导内部任意一点应力和结点位移的转换关系平面应力的弹性矩阵为第19页/共38页第十九页，共39页。3单元分析把D、B矩阵代入公式即可应力转换矩阵S第20页/共38页第二十页，共39页。3单元分析3.7得到单元刚度矩阵

把B和D矩阵代入对3结点三角形，可以简化为第21页/共38页第二十一页，共39页。3单元分析3.8单元等效荷载计算

第22页/共38页第二十二页，共39页。4组成整体刚度矩阵暂时不考虑位移边界条件，把所分析结构的整体结点平衡方程组列出：整体刚度矩阵写成6×6的矩阵，它的每个子块是2×2的矩阵，实际它是一个12×12的矩阵。如K23，它的四个元素表示当结构的结点3沿x或y方向有单位位移时，在结点2的x方向或y方向引起的结点力。第23页/共38页第二十三页，共39页。4组成整体刚度矩阵整体刚度矩阵写成6×6的矩阵，它的每个子块是2×2的矩阵，实际它是一个12×12的矩阵。如K23，它的四个元素表示当结构的结点3沿x或y方向有单位位移时，在结点2的x方向或y方向引起的结点力。第24页/共38页第二十四页，共39页。4整体刚度矩阵续由于于结点3和结点2在结构中是通过Ⅰ和Ⅲ这两个单元相联系，因而K23应是单元Ⅰ的k23和单元Ⅲ的k23之和。同理，可以找到各单元刚度矩阵中所有子矩阵在整体刚度矩阵K中的位置，得到整体劲度矩阵。式中k的上标1,2,3,4表示是哪一个单元的刚度矩阵中的子矩阵，空白处是2×2的零矩阵。第25页/共38页第二十五页，共39页。4整体刚度矩阵续对于单元Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ，根据公式，可求得A=0.5m2，将上式中各子块的具体数值代入整体刚度矩阵K表达式中，得出整体刚度矩阵。对于单元Ⅲ，根据公式，可求得A=0.5m2，把μ＝0，t＝1m，代入单元的刚度矩阵，得两种单元的刚度矩阵k都是：(37’)第26页/共38页第二十六页，共39页。4整体刚度矩阵整体刚度矩阵K(38’)第27页/共38页第二十七页，共39页。5引入位移边界条件位移边界条件为：因此，整体结点的位移列阵就简化为：第28页/共38页第二十八页，共39页。5引入位移边界条件与这6个零位移分量相应的6个平衡方程不必建立，因此，将整体刚度矩阵中，第1、3、7、8、10、12各行以及同序号的各行划去，因而整体劲度矩阵K简化为：第29页/共38页第二十九页，共39页。6整体结点载荷列阵确定了每个单元的结点载荷列阵：根据各单元的结点局部编码与整体编码的关系，确定三个子块FLi,FLj,FLm在FL中的位置。第30页/共38页第三十页，共39页。6整体结点载荷列阵由于该结构只是在结点1受有向下1N/m的载荷，因而，非零元素子块，只有在考虑了边界条件后，整体载荷列阵为：第31页/共38页第三十一页，共39页。平面有限元解法——求解整体结点载荷列阵求解化简后的整体刚度矩阵：(39)求解以后，得结点位移：第32页/共38页第三十二页，共39页。平面有限元解法——求解应力转换矩阵应用单元的应力转换矩阵S，求出各单元中的应力：根据μ＝0，以及已求出的A、b和c的值，再由式(21)和(22)得出应力转换矩阵如下，对于单元Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ

：对于单元Ⅲ第33页/共38页第三十三页，共39页。平面有限元解法——求解各单元中的应力（续）应用单元的应力转换矩阵S，求出各单元中的应力：Pa单元Ⅰ单元ⅡPa第34页/共38页第三十四页，共39页。平面有限元解法——求解各单元中的应力应用单元的应力转换矩阵S，求出各单元Ⅲ、Ⅳ中的应力：Pa单元Ⅲ单元ⅣPa第35页/共38页第三十五页，共39页。通用有限元计算程序ANSYS计算结果第36页/共38页第三十六页，共39页。通用有限元计算程序ANSYS计算结果第37页/共38页第三十七页，共39页。2023/2/11南京农业大学工学院机械工程系感谢您的观看！第38页/共38页第三十八页，共39页。内容总结右图为取1/4模型，离散后，单元、结点、荷载和约束的简图。第1页/共38页。2结构离散，单元编号、结点编号。得到内