有限单元法力学基础

弹性力学：众多的机械零部件通常可以看作是由杆件、板块、壳体、块体等组合而成的。在弹性范围内，对于这类构件的应力、应变和位移等，可通过弹性力学方程予以描述和求解。引申一步来讲，从数学角度看，一个工程问题往往可以通过系列偏微分方程来描述，如弹性力学基本方程组、塑性力学基本方程组、流体力学基本方程组等。但是由于方程本身的复杂程度和求解域及边界条件的复杂性，常很难或根本得不到上述偏微分方程组的精确求解（解析解）。在这种情况下，寻求上述问题的数值解法以获得满足上述工程精度要求的近似解，就显得十分重要和必要。数值分析法

数值分析法近似数值分析方法中，开始常用的是有限差分法。一个问题的有限差分法求解步骤是：首先将求解域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程近似微分方程第1页/共49页第一页，共50页。和边界条件，从而把求解微分方程的问题改换成求解代数方程的问题。一个问题的有限差分模型可以给出它的基本微分方程的逐点近似，当网格较密时求解的精度可以大大提高。但是当遇到几何形状复杂的边界条件时，应用有限差分法，解的精度低，甚至求解发生困难。在流体力学领域内，有限差分法有自己的优势，至今仍占主要地位。

随着电子计算机的迅速发展和普遍应用，开发了另一种近似数值分析法－－有限单元法（FiniteElementMethod，简称FEM）。有限单元法的出现，是数值分析方法研究领域内重大突破性进展。有限元法与有限差分法相比，其优点就在于可以计算复杂结构的场问题，这是因为单元能按各种不同的连接方式组合在一起，且单元本身又可以有不同的几何形状，因此可以模拟几何形状复杂的结构，得出其近似解；又由于有限元法第2页/共49页第二页，共50页。的解题步骤已经系统化、标准化，且有相对数量的通用计算机程序，可以解决各种不同的工程问题，因此是目前工程计算中应用最广泛的数值计算方法。有限单元法应用：广泛用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械工程、能源、汽车交通、国防军工、电子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等一般工业及科学研究。第3页/共49页第三页，共50页。第4页/共49页第四页，共50页。第5页/共49页第五页，共50页。第6页/共49页第六页，共50页。第7页/共49页第七页，共50页。1.2结构的分类

结构的种类很多，其几何特征、受力状态和计算方法也各不相同，可以用不同的角度来分类。1.2.1按几何特征分类按几何特征分类：杆件结构、板壳结构和实体结构□杆件结构：杆件的几何特征是其长度远大于其截面的宽度和高度（或直径）。由杆件组成的结构称为杆系结构，包括：

桁架结构

刚架结构

组合结构第8页/共49页第八页，共50页。

◎桁架结构：由直杆组成，所有杆件之间的连接结点均为铰接,如图1－1所示。为了简化计算，通常认为载荷只作用于桁架的结点处，称为结点载荷，而将非结点处作用的载荷转化为结点载荷，即等效结点载荷。因此，桁架的杆件只产生轴向力。

◎刚架结构：由直杆组成，所有杆件之间的连接结点均为刚接点,如图1－2所示。为了简化计算，认为刚架在变形过程中，各杆之间在连接处的夹角保持不变。因此，组成刚架的的杆件除承受轴向力外同时还承受弯矩和剪力。第9页/共49页第九页，共50页。

◎组合结构：指由桁架与梁、桁架与刚架组合在一起的结构，其中有些杆件只承受轴力，另一些杆件同时还承受弯矩和剪力，如图1－3所示。□

板壳结构板是指厚度远小于其长度和宽度的构件。按照中面的几何形状，板又可分为薄板和薄壳。薄板是中面为平面的板，薄壳是中面为曲面的板。薄板和薄壳组成板壳结构（又称薄壁结构），如图1－3所示。第10页/共49页第十页，共50页。□

实体结构实体也称块体，是指长、宽、高各方向都相当的构件。实体结构应用极为普遍，如地基、挡土墙、水坝、机架、轴承座…。如图1－4所示。1.2.2按受力状态分类按照杆轴线和外力的空间位置，结构可以分为平面结构和空间结构。如果结构的各杆轴线及外力（包括载荷和反力）均在同一平面内则称为平面结构，否则便是空间结构。第11页/共49页第十一页，共50页。1.2.3按计算方法分类按照计算方法分类，结构可以分为静定结构和静不定结构。如果在任意载荷作用下，结构的全部内力和反力都可以由静力平衡条件确定，这样的结构便称为静定结构；若还需考虑变形协调条件才能确定，这样的结构便称为超静定结构。1.3结构分析的任务

结构分析的目的：知晓结构在给定载荷作用下回有什么样的的响应。结构分析的对象是杆件结构、板壳结构和实体结构，其具体任务是：（1）研究结构在载荷等因素作用下的内力，用于结构设计中的强度校核；（2）研究结构在载荷等因素作用下的变形，用于结构的刚度校核；（3）研究结构的稳定性问题，确定结构的临界载荷，给出结构在不改变其承载方式的临界状态。第12页/共49页第十二页，共50页。1.4弹性力学的基本方程1.4.1应力的概念第13页/共49页第十三页，共50页。第14页/共49页第十四页，共50页。第15页/共49页第十五页，共50页。1.4.2主应力及应力主向第16页/共49页第十六页，共50页。第17页/共49页第十七页，共50页。第18页/共49页第十八页，共50页。第19页/共49页第十九页，共50页。第20页/共49页第二十页，共50页。第21页/共49页第二十一页，共50页。1.4.3位移及形变.几何方程.刚体位移第22页/共49页第二十二页，共50页。第23页/共49页第二十三页，共50页。第24页/共49页第二十四页，共50页。第25页/共49页第二十五页，共50页。第26页/共49页第二十六页，共50页。1.4.4物理方程.弹性矩阵第27页/共49页第二十七页，共50页。第28页/共49页第二十八页，共50页。第29页/共49页第二十九页，共50页。1.5虚功及虚功方程第30页/共49页第三十页，共50页。第31页/共49页第三十一页，共50页。FF第32页/共49页第三十二页，共50页。1.6两种平面问题FF第33页/共49页第三十三页，共50页。第34页/共49页第三十四页，共50页。第35页/共49页第三十五页，共50页。第36页/共49页第三十六页，共50页。FFF第37页/共49页第三十七页，共50页。第38页/共49页第三十八页，共50页。第39页/共49页第三十九页，共50页。第40页/共49页第四十页，共50页。第41页/共49页第四十一页，共50页。第42页/共49页第四十二页，共50页。1.7轴对称问题第43页/共49页第四十三页，共50页。第44页/共49页第四十四页，共50页。第45页/共49页第四十五页，共50页。第46页/共49页第四十六页，共50页。第47页/共49页第四十七页，共50页。FFF第48页/共49页第四十八页，共50页。感谢您的观看。第49页/共49页第四十九页，共50页。内容总结弹性力学：众多的机械零部件通常可以看作是由杆件、板块、壳体、块体等组合而成的。