有限差分法的基本知识

§1差分方程

有限差分法和有限元法是解偏微分方程的两种主要的数值方法。由于数字电子计算机只能存储有限个数据和作有限次运算，所以任何一种适用于计算机解题的方法，都必须把连续问题离散化，最终化成有限形式的代数方程组。第1页/共30页第一页，共31页。

第2页/共30页第二页，共31页。

1区域的剖分(区域的离散化）xt0第3页/共30页第三页，共31页。高等数学中，我们学习过Taylor公式：1微分方程离散(差分方程）1微分方程离散(差分方程）第4页/共30页第四页，共31页。

第5页/共30页第五页，共31页。第6页/共30页第六页，共31页。第7页/共30页第七页，共31页。第8页/共30页第八页，共31页。高等数学中，我们学习过Green公式：2积分插值法2积分插值法第9页/共30页第九页，共31页。

oHxtEFGL1L2L3L4第10页/共30页第十页，共31页。

第11页/共30页第十一页，共31页。

oxtj-1jj+1n-1nn+1EFGH第12页/共30页第十二页，共31页。

第13页/共30页第十三页，共31页。

oxtj-1jj+1nn+1EFGH第14页/共30页第十四页，共31页。

第15页/共30页第十五页，共31页。§2截断误差第16页/共30页第十六页，共31页。第17页/共30页第十七页，共31页。第18页/共30页第十八页，共31页。§3收敛性

一个差分格式能否在实际中使用，最终要看能否任意地逼近微分方程的解。这样对于每一个差分格式，人们便从两个方面加以考虑：一是引入收敛性的概念，考察差分格式在理论上的准确解能否任意逼近微分方程的解；二是引入稳定性的概念，考察差分格式在实际计算中的近似解能否任意逼近差分方程的解。第19页/共30页第十九页，共31页。第20页/共30页第二十页，共31页。§4稳定性第21页/共30页第二十一页，共31页。第22页/共30页第二十二页，共31页。第23页/共30页第二十三页，共31页。第24页/共30页第二十四页，共31页。第25页/共30页第二十五页，共31页。１.

差分方程、截断误差、收敛性、稳定性的概念；

２.构造差分方程方法(直接法和积分插值法)、求截断误差；（重点）

３.如何将偏微分方程构造成相应的差分方程、并求由此产生的截断误差．（难点）主要内容第26页/共30页第二十六页，共31页。*作业*作业第27页/共30页第二十七页，共31页。第二章完第28页/共30页第二十八页，共31页。B.Taylor简介1685.8.18生于英格兰；

1731.11.29在伦敦去世.1705进入剑桥大学；1709法学学士；1714法学博士；1712英国皇家学会会员；1714~1718英国皇家学会秘书；微积分发明权仲裁委员；1715出版《增量法及其逆》，该书奠定有限差分法、幂级数展开、弦振动问题；在物理、流体动力等大量工作。写作风格过于简洁导致许多工作未获更高声誉。第29页/共30页第二十九页，共31页。感谢您的观看！第30页/共30页第三十页，共31页。内容总结§1差分方程。§1差分方程。有限差分法和有限元法是解偏微分方程的两种主要的数值方法。由于数字电子计算机只能存储有限个数据和作有限次运算，所以任何一种适用于计算机解题的方法，都必须把连续问题离散化，最终化成有限形式的代数方程组。1